北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本部分共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出最符合题意的一项. 1. 已知，，且，则 A B. C. 2 D. 10 2. 若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为 A. B. C. D. 3. 过点，且横、纵截距相等的直线方程为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知以点为圆心，2为半径的圆C，则点与圆C的位置关系是 A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断 5．如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为 A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系Oxyz中，若点关于y轴的对称点为点，点关于Oyz平面的对称点为点，则= A． B． C． D． 7. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 A. 1 B. 2 C. D. 8. 设A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为 A. B. C. D. 9. 在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP = A. B. C. 2 D. 10. 已知在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当AM，BN均最短时， A． B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分. 11. 圆的圆心坐标为___________；半径为___________. 12. 已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为， 则 . 13. 已知两平行直线，，则与间的距离是________. 14. 已知，，，若A，B，C，D四点共面，则实数__________________. 15. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，则= ；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是 . 三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.（本小题共13分） 已知直线过点，直线． （Ⅰ）若，求直线的方程； （Ⅱ）若直线和与轴所围成的三角形的面积为2，求直线的方程． 17. （本小题共14分） 如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上， 且. （Ⅰ）用表示向量； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求证：. 18. （本小题共14分） 已知圆，圆及点. （Ⅰ）判断圆和圆的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 19. （本小题共15分） 如图，在长方体中，，，点在上，且AE=1. （Ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P到直线距离的最小值． 20. （本小题共15分） 如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点． （Ⅰ）求证：直线BD∥平面AEF； （Ⅱ）求直线BD到平面AEF的距离； （Ⅲ）试判断棱PC上是否存在一点G，使平面AEF与平面ADG夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. （本小题共14分） 已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点. （Ⅰ）求圆M的标准方程； （Ⅱ）设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 9 高二数学 第7页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习 高二数学 参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 1、 选择题（每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B A B C D A 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 2、 填空题（每小题5分，共25分） 11. ；1 12. 13. 14. 3 15. ； （第一个空3分；第二个空2分) 3、 解答题（共85分） 16.（本小题共13分） 解：（I）设直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以， ...............2分 又因为，所以， ...............3分 又因为直线过点(2,2) 所以直线的方程为，即．.............6分 （II）若直线斜率不存在，则直线：， 此时，直线和直线与x轴围成的三角形面积为2，符合题意. .............8分 若直线斜率存在，设直线的斜率为， 设直线：，与x轴交点为点， 令，解得，所以点坐标为 ..............10分 直线与直线的交点为点(2,2) 因为直线和直线与x轴所围成的三角形面积为2， 即，即，解得 ...............12分 则直线的方程为， ...............13分 综上：直线的方程为或． 17. （本小题共14分） 解：（I） .............4分 （II） ， 则 .............8分 （III） .............10分 .............12分 所以，即. ............. 13分 18.（本小题共14分） （I）圆方程可整理为：， 则圆心，半径， ...............2分 由圆方程可知：圆心，半径， ...............3分 因为， ...............4分 ，， 所以， ...............5分 所以圆和圆相交. ...............6分 （II）当过的直线斜率不存在， 即直线为时，其与圆不相切， ...............7分 所以可设所求切线方程为：，即，....8分 所以圆心到切线的距离，即，..10分 解得：或， ...............12分 所以切线方程为：或， 即或. ...............14分 19．（本小题共15分） 解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： ...............1分 (I) ............... 2分 ............... 4分 所以直线与直线所成角为. ............... 5分 （II）设平面的一个法向量为 因为 所以 设,则 所以 ............... 8分 设直线与平面所成角为 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. ...............10分 （III）设，根据题意有， 即 ............... 12分 则点到的距离 ...............14分 当时，取得最小值1. ...............15分 20. （本小题共15分） 解：（I）连接 因为点分别为棱的中点， 所以是的中位线， 所以， ............... 2分 因为平面，平面， ............... 3分 所以平面. ............... 4分 （II）由（I）知直线到平面的距离等于点到平面的距离 取中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，所以平面， 所以， 因为为中点， 所以. ............... 5分 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示: 设平面的一个法向量为 因为 所以 所以 设,则所以 ............. 7分 ............... 9分 （III）棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为 ............... 10分 设 ............... 11分 设平面的一个法向量为 因为 所以 设,则 所以 ............... 13分 ............... 14分 解得 所以 ............... 15分 21. （本小题共14分） (1) 因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为， 又因为半径为2，且经过点， 所以，解得：， 所以圆M的标准方程为：. ...............4分 （II）若直线的斜率不存在，则的方程为，的方程为， 则，则， ...............5分 若直线的斜率存在，设直线直线的方程，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ...............8分 若，则直线斜率不存在， 则，则， ...............9分若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ...............11分 则 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7. ...............14分 1 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$