湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试题卷（平行班） 命题人：杜超群 （本试题卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.不等式（3-x）（x+1）≥0的解集为（　　） A.{x｜-1≤x≤3}　　　B.{x｜－1＜x≤3} C.{x｜x＞－1或x≤3} D.R 2. 函数y = 的定义域为 ( ) A. (-∞ , 1 ] B. (-∞ , -1) ∪ (-1，1 ] C. (-∞ , 1) D. (-∞ , -1) ∪ (-1，1) 3.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4.下列函数在区间 (0，1) 上为增函数的是 ( ) A. y = 1 -x B. y = C. y = D. y = 5．幂函数在上递增，则实数（    ） A．-2 B． C．2 D．2或 6.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步．刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着．不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离。兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会．而乌龟呢，它一刻不停地爬行．当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了．如图“路程 s一时间 t”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是 ( ) A B C D 7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列各组函数中，是同一个函数的有（　　） A．与 B．f（x）＝x2与g（x）＝ C．与g（x）＝|x| D．f（x）＝x与 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 11.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有 勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形 (黄) 和两个小直角三角形 (朱、青) 将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a + b，宽为内接正方形的边长 d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图 3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE，过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F， 则下列推理不正确的是 ( ) A.由图1和图2面积相等得 B.由 C. D.由AD ≥ AF 可得 a2 + b2 ≥ a + b 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A＝{-1,1,2}，B＝{1,2,5}， Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有　　个子集. 13. 已知定义在区间[－2，2]上的一个偶函数，它在[0，2]上的y 图象如右图，则f(x)≤0的解集为_____________. x 2 1 0 14．已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.（13分）已知集合A＝{x｜x2－3x－4＜0}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}， （1）当m=0时，求; （2）若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16．（15分）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 17．（15分）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18.（17分） 已知函数 (1) 求f(3)，f(4)，f(f(1)) 的值； (2)f(a) = 1，求 a 的值； (3) 请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数f(x) 的值域 (无需写出理由). 19．（17分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件： ①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）； ②当x＞1时，f（x）＜0； ③f（2）＝﹣1． （1）求和的值； （2）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； （3）若对∀x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）恒成立，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期中考试数学试题卷（平行班）参考答案 1.【答案】A 2.【答案】C 3．【答案】B 【解题思路】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【解答过程】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 4.【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案. 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y = 1 -x，是一次函数，在 (0，1) 上单调递减，故A 错误； 对于B，y = x2 - 2x，是二次函数，在 (0，1) 上单调递减，故B 错误； 对于 C，y = x ，是幂函数，在 (0，1) 上单调递增，故 C 正确； 对于D，y = 是反比例函数，在 (0，1) 上单调递减，故D 错误. 故选：C . 5．【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义可得，再由单调性可得，即可求解. 【解答过程】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上单调递增，则m， 6【答案】B 【分析】根据题意，分析龟兔赛跑中，乌龟和兔子运动图象的变化情况，排除 A、C、D，即 可得答案. 【解答】解：根据题意，乌龟始终匀速前进，其“路程 s 一时间 t”的图象为一条线段， 兔子中途休息了一会，其“路程 s 一时间 t”的图象先增，再水平，最后增加， 而最开始一段，兔子增加得快，最后乌龟先到大终点，排除 A、C、D . 7．【答案】B 【解题思路】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【解答过程】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 8．【答案】D 【解析】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得， 即函数的定义域为， 又由函数当时，单调递减， 则不等式可化为， 可得不等式组，解得，即不等式的解集为. 9.【答案】AD 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可． 【解答】解：对于A，，定义域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），解析式相同，是同一函数； 对于B，f（x）＝x2与g（x）＝（x+1）2＝x2+2x+1两个函数的定义域相同，解析式不同，不是同一函数； 对于C，，定义域为[0，+∞），g（x）＝|x|，定义域为R，定义域不同，不是同一函数； 对于D，，定义域均为R，解析式相同，是同一函数， 10．【答案】AB 【解题思路】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【解答过程】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 11.【答案】ABD 【详解】对于A，由图 1 和图 2 面积相等得 ab = (a+b( × d，所以d = ，故A 错误； 对于B，因为AF ⊥ BC，所以 × a × b = × AF， 所以 ，AE = 因为AE ≥ AF，所以 整理得 故B 错误； 对于 C，因为D 为斜边BC 的中点，所以AD = 因为AD ≥ AE，所以 整理得 故 C 正确； 对于D，因为AD ≥ AF，所以 整理得 a2 + b2 ≥ 2ab， 故D 错误. 12.【答案】4 图中阴影部分所表示的集合C=={1,2},所以C的子集有4个. 13. 【答案】[-1,1] 根据函数奇偶性画出x<0时的图象 14．【答案】. 【解题思路】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解答过程】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是. 15.【解题思路】(1)把m=0代入得B＝{x｜－1＜x＜1}，化简A得A＝{x｜-1＜x＜4},再利用数轴进行集合的运算。 (2) 将充分性、必要性转化为集合间的包含关系，利用数轴列出关于m的不等式 【解答过程】解：(1)把m=0代入得B＝{x｜－1＜x＜1}，化简A得A＝{x｜-1＜x＜4},所以={x｜x≤－1或x≥ 1}， 所以={x｜1≤x＜4}.---------------------------------------6分 （2）若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件则且A≠B.--------8分 则m+1> 4，解得m>3,所以m得取值范围是{m｜m> 3}-------------------13分 16．【解题思路】（1）利用配凑法即可得函数解析式. （2）利用待定系数法即可得到结论. 【解答过程】（1）， 所以.----------------------------------------6分 （2）由是一次函数，设，， 则，-----------------10分 则，，解得，，或，， 所以或.-------------------------------15分 17.【解题思路】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【解答过程】（1）由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .-------------------------------7分 （2）当时，， 故当时，；---------------------------------10分 当时，, 当且仅当， 即时取得等号；-------------------------13分 综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润， 最大利润为2300万元．--------------------------------------------15分 18.【分析】(1) 根据题意给的函数解析式直接求解即可； (2) 分类讨论当 a < 0、0 ≤a ≤ 3、3 < a ≤ 4 时，根据f(a) =1 求出对应的 a 值即可； (3) 由函数解析式画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域. 解： ∴ f(3) = 32 - 2 × 3 = 3，f(4) =-2 × 4 + 9 = 1，f(1) = 1 - 2 =-1， --------------------------4分 ①当 a < 0 时，f = 1，∴ a = 1 ②当 0 ≤a ≤ 3 时，f(a) = a2 - 2a = 1，解得 a = 1 ± 、2 ， 又 0 ≤a ≤ 3，∴ a = 1 + ③当 3 <a ≤ 4 时，f(a) =-2a + 9 = 1，∴ a = 4 . 综上所述，a 的值为 1 +、2 或 4 .----------------------------11分 (3) 函数f(x) 的图象略 由图象知函数f(x) 的值域为 (-∞ , 3 ].------------17分 19．【分析】（1）令a＝b＝1，可得f（1）的值；令a＝b＝2，可得f（4）的值；再令a＝4，b＝，可得f（）的值； （2）由单调性的定义和条件①②可得证明； （3）原不等式化为f（4x2+4）+f（）＝f（x2+1）＜f（ax）在x∈[2，3]恒成立，再由参数分离和对勾函数的单调性可得所求取值范围． 【解答】解：（1）令a＝b＝1，可得2f（1）＝f（1），解得f（1）＝0； 令a＝b＝2，又f（2）＝﹣1，可得f（4）＝2f（2）＝﹣2， 令a＝4，b＝，可得f（4）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（4）＝2；-------------------------------------------------------4分 （2）证明：设任意x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2， 可得＞1，即有f（）＜0， 则f（x2）＝f（x1•）＝f（x1）+f（）＜f（x1），，所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；------------------------------------------10分 （3）若对∀x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）即为f（4x2+4）+f（）＝f（x2+1）＜f（ax）恒成立． 由（2）可得x2+1＞ax对x∈[2，3]恒成立，即为a＜（x+）min． 而y＝x+在[2，3]单调递增，可得x＝2时，y取得最小值． 所以0＜a＜．----------------------------------------------17分 【点评】本题考查函数的单调性的判断和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$