山东省聊城颐中外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年高二数学第一次质量检测答案 1．【答案】B 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 2．【答案】D【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】 对于A：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于B：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于C：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于D：记,则. 因为，所以点不在平面α上. 3．【答案】A 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】解：， ， 4．【答案】A【解析】，设平面的法向量为，则 ，即， 满足上式的选项只有A. 5.【解题思路】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，所以，又， 所以设，即，所以，故选：B. 6．【答案B】 7.【答案】C【解析】因为， 所以，，所以， 所以点C到直线AB的距离=，故选：C． 8．【答案】C 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C 二、多选题 9．【答案】ACD 【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可. 【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确； 选项中，根据空间基底的概念，可得不正确； 选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确； 选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确. 故选：ACD. 10．【答案】ACD 【分析】由向量加法和模长的坐标运算、向量共线与垂直的坐标表示依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 11．【答案】AB 【分析】构建空间直角坐标系，向量法求线线角、点面距离，判断线面位置关系，根据正四棱柱外接球半径是体对角线的一半，应用球体表面积公式求表面积. 【详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为，A对； 由，则，若是面一个法向量， 故，令，则，而， 所以点到平面的距离，B对； 由且，则，显然不可能与平行，C错； 由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为，故外接球的表面积为，D错.故选：AB 三、填空题 12．【答案】1【分析】利用空间共面向量定理求解即可. 【详解】∵,, ∴,，， ∵四点共面，故根据空间向量基本定理 可知存在实数，使得， 则有 ，解得， 故答案为：. 13．【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 14.【答案】 【解析】由题意可得， 又是平面的法向量， 则点到平面的距离为， 四、解答题 15.【解析】∵，，， ∴=(1，1，0)， =（－1，0，2）． （1）=，∴和的夹角的余弦值为． (2)+=（，，0）+（－1，0，2）＝（－1，，2）， －=（+2，，－4），∵(+)⊥（－2）， ∴(+)（－2）=（－1，，2）·（+2，，－4） ∴或． 16.【证明】以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则可得，，， 平面，平面. 17. 18.【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，E(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，2，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，1，0)．取a＝＝(0，2，1)，，则a2＝5，a·u＝．所以点B1到直线AD1距离为． (2)设平面AD1E的法向量是n1＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝z＝1．所以n1＝(1，1，1)是平面AD1E的一个法向量．同理，平面BB1E的一个法向量为n2＝(1，－1，0)．因为n1·n2＝1－1＝0，所以平面AD1E⊥平面BB1E． 19.【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】（1）因为是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面； （2）连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则到平面的距离为，    解得，故，故. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学第一次教学质量检测 数学试卷 第I卷（选择题 共58分） 1、 单项选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在平面α内，其法向量，则下列点不在平面α内的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点，则平面的法向量可以是（ ） A．（1，1，1） B． C． D．（-1，0，1） 5.设，向量 且， 则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 6．设向量是直线的方向向量，是平面α的法向量，则（    ） A． B．或 C． D． 7.已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题： 本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9．给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．是空间四点，不能构成空间一个基底，则共面 10．已知，，，则（    ） A． B． C．若向量，则 D．若向量，则 11．如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（    ） A.直线与直线所成角的余弦值为 B．点到平面的距离为 C．线段上存在点，使得平面 D．正四棱柱外接球的表面积为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数的值为 . 13． 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标 是 ． 14.已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知空间三点，，．设，． （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量+与－互相垂直，求的值． 16.（15分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是面,面A1C1的中心．求证：EF//平面ACD1 17.（15分）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 18.（17分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点是的中点． (1)求点B1到直线AD1距离； (2)求证：平面AD1E⊥平面BB1E． 19.（17分）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$