山东省聊城颐中外国语学校2024-2025学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

试卷第 1页，共 4页 2024 级高一上学期第一次教学质量检测 数学试题 一、单选题（每小题 4分，共 40 分） 1．已知集合� = 2,4,6,8,10 , � = 2,4 , � = 4,6 ，则∁� � ∪ � =（ ） A． 4 B． 2,4 C． 8,10 D． 2,4,6 2．命题“∃� ∈ �，�2 − 2� + 2 ≤ 0”的否定是（ ） A．∃� ∈ � ，�2 − 2� + 2 ≥ 0 B．∃� ∈ � ，�2 − 2� + 2 > 0 C．∀� ∈ � ，�2 − 2� + 2 ≤ 0 D．∀� ∈ �，�2 − 2� + 2 > 0 3．下列关系中，正确的是（ ） A．−2 ∈ �+ B．π ∉ � C．0 ∉ � D． 3 2 ∈ � 4．设集合� = � 0 ≤ � < 4 ，则� = � 1 3 ≤ � ≤ 5 ，则�∩�等于（ ） A． � 0 < � ≤ 1 3 B． � 1 3 ≤ � < 4 C． � 4 ≤ � < 5 D． � 0 < � ≤ 5 5．设全集� = −2, − 1,1,2 ，� = �∣�2 − 1 = 0 ，� = �∣ � − 1 � − 2 = 0 ，则图中阴影部分所表 示的集合为 （ ） A． 1, − 1,2 B． −1,2 C． 1 D． −2 6．下列选项正确的是（ ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“� = 1”是“�2 − 4� + 3 = 0”的必要条件 D．“�3 > �3”是“�2 > �2”的必要条件 7．若集合� = �, � ∣� = � , � = �, � ∣� = �2 ，则（ ） A．1 ∈ � B．� ∩ � = 1,1 C． −2,4 ∈ � D．� ∪ � = R 8．已知命题�: ∀� ≥ 0, �3 ≥ �，命题�: ∃� < 0, �2 + 1 > 0，则（ ） 试卷第 2页，共 4页 A．�和�均为真命题 B．¬�和�均为真命题 C．�和¬�均为真命题 D．¬�和¬�均为真命题 9．设集合�={�|−1⩽�<2}，�={�|�<�}，若�∩�≠∅，则实数�的取值范围是（ ） A．{�|�<2} B．{�|�>−2} C．{�|�>−1} D．{�|−1<�⩽2} 10．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至 少选择一项，经统计有 21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有 12 人，同时喜欢唱歌和书法的有 6人，同时喜欢跳舞和书法的有 5人，三种都喜欢的有 2人，则该班女 生人数为（ ） A．27 B．23 C．25 D．29 二、多选题（每小题 6分，全部选对得 6分，部分选对得部分分，选错得 0分） 11．在以下写法中写法正确的是（ ） A．0 ∈ {�} B．∅ ⊆ {0} C．{0,2} ⊆ {2,0} D．{0} ∈ {0,1,2} 12．已知集合� = �|3 < � ≤ 5 , � = �|2 ≤ � < 4 ，全集� = R，则（ ） A．� ∩ � = �|3 < � < 4 B．� ∪ � = �|2 < � ≤ 5 C． ∁�� ∩ � = �|2 ≤ � ≤ 3 D．� ⊆ ∁�� 13．下列说法正确的是（ ）. A．命题“∃� ∈ R，� + 1 ≥ 0”的否定是“∀� ∈ R，� + 1 < 0” B．命题“∃� ∈ R，�2 − � + 1 = 0”是假命题 C．“� > �”是“�2 > �2”的充分条件 D．“� > 4”是“� > 2”的充分不必要条件 三、填空题（每小题 5分，共 15 分） 14．集合� = 1,2,3,4,5 的非空真子集有 个． 15．已知集合�满足 � ⊆ � ⊆ �, �, �, �, � ，则满足条件的集合�的个数为 . 16．设全集� = �，集合� = {�|� ≤ 2或� > 4}，集合� = {�|2� − 2 < � ≤ 1 − 2�}，若� ∪ � = �， 则实数�的取值范围为 . 试卷第 3页，共 4页 四、解答题（共 77 分） 17．（13分）设集合� = 1,2,4,5,7,9 , � = 1,2,4,5 , � = 2,4,7,9 ，求 (1)� ∪ �； (2) ∁U� ∩ �； (3) ∁U� ∪ ∁U� . 18．（15分）设全集� = �，集合� = � −2 < � < 3 , � = � −3 < � ≤ 3 ，求 （1）∁�� （2）(∁��) ∩ �， （3）∁� � ∩ � ． 19．（15分）已知集合� = � �2 − 5� + 6 = 0 ，� = � ��+ 1 = 0 ，且� ∪ � = �. (1)写出集合�的所有子集； (2)求实数�的值组成的集合. 试卷第 4页，共 4页 20．（1）（5分）若命题“∃� ∈ {�| − 1 ≤ � ≤ 2}， � − � > 0”为假命题，求实数 a 的最小值. （2）（12分）求证：方程��2−2�+3=0 �≠0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0<�< 1 3 . 21．（17分）已知�： 3� − 1 > 5,� < 8, �：� ≥ 3�+ 1或� ≤ 3� − 3. (1)若�是�的充分条件，求实数�的取值范围； (2)若�是¬�的必要不充分条件，求实数�的取值范围. 数学第一次教学质量检测 答案第 4页，共 4页 2024 级高一上学期第一次教学质量检测 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D A C B C A 题号 11 12 13 答案 BC AC ABD 3．B 【详解】对于 A，因为−2不是正整数，所 以−2 ∉ �+，故 A错误； 对于 B，因为π不是有理数，所以π ∉ �，故 B正确； 对于 C.，因为 0是自然数，所以 0 ∈ �，故 C错误； 对于 D，因为3 2 不是整数，所以 3 2 ∉ �，故 D错误. 故选：B. 5．D 【详解】由已知可解得，� = 1, − 1 ，� = 1,2 ， ∴ � ∪ � = −1,1,2 ， 所以图中阴影部分表示得集合为∁�(� ∪ �) = −2 ， 故选：D 6．A 【详解】对于 A中，平行四边形的对角 线互相垂直是菱形的判定定理，即� ⇒ �，所以 A 正确； 对于 B中，三边分别为 3，4，5的三角形是周长为 12的直角三角形， 三边为 4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形 周长相等但不全等，即�⇒�，所以 B错误； 对于 C中，例如：当� = 3时，满足32 − 4 × 3 + 3 = 0，但 3 ≠ 1， 所以� = 1是�2 − 4� + 3 = 0的充分条件，所以 C 错误； 对于D中，若� =− 2, � = 1，满足�2 > �2，但�3 > �3 不成立，所以 D错误． 故选：A. 7．C 【详解】对 A：依题意可得 1 ∉ �，故 A错误； 对 B：� ∩ �即为� = �与� = �2的交点，即 � = � � = �2 ， 解得 � = 0 � = 0或 � = 1 � = 1，即� ∩ � = 0,0 , 1,1 ，故 B错误； 对 C： −2,4 ∈ �，故 C正确. 对 D：� ∪ � ≠ R，故 D错误； 故选：C. 8．B 【详解】对于命题�，当� = 1 2 时，�3 < �， 所以�为假命题，则¬�为真命题； 对于命题�，当� =− 1时，�2 + 1 > 0，所以�为真 命题，则¬�为假命题； 综上，¬�和�均为真命题. 故选：B 9．C 【详解】由集合�={�|−1⩽�<2}， �={�|�<�}， 又∵�∩�≠∅， ∴实数 a 的取值范围为：�>−1． 故选：C． 10．A 【详解】作出 韦恩图，如图所示， 可知 5人只喜欢唱歌，2 人只喜欢跳舞，1人只喜 答案第 3页，共 4页 欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有 10 人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有 4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有 3人，三种 都喜欢的有 2人，则该班女生人数为 5 + 2 + 1 + 10 + 4 + 3 + 2 = 27. 故选：A. 11．BC 【详解】对于 A，0不是集合{�}的元 素，故 0 ∉ {�}，故错误； 对于 B，空集是任一集合的子集，故正确； 对于 C，{0,2} = {2,0}，故{0,2} ⊆ {2,0}成立，故正 确； 对于 D，集合{0}中的元素在集合{0,1,2}中，故{0} ⊆ {0,1,2}，故错误. 故选：BC. 12．AC 【详解】因为� = �|3 < � ≤ 5 , � = �|2 ≤ � < 4 ，� = R， 所以� ∩ � = �|3 < � < 4 ，� ∪ � = �|2 ≤ � ≤ 5 ， 故 A正确，B不正确； 又∁�� = � |� ≤ 3或� > 5 ，∁�� = � |� < 2或 � ≥ 4 ， 所以 ∁�� ∩ � = �|2 ≤ � ≤ 3 ，集合�不是∁��的 子集，故 C正确，D不正确， 故选：AC 13．ABD 【详解】对于 A，根据存在量词命题的 否定形式可知 A正确； 对于 B，在�2 − � + 1 = 0中，Δ = 1 − 4 < 0，所 以方程无解，故 B正确； 对于 C，取� =− 1, � =− 2，满足� > �，但�2 = 1 < 4 = �2，即充分性不成立，故 C错误； 对于 D，因为 � � > 4 是 � � > 2 的真子集，所以 “� > 4”是“� > 2”的充分必要不条件，故 D正确. 故选：ABD. 14．30 【详解】根据元素互异性集合 A 中 有 5个元素， 所以非空真子集有25 − 2 = 30． 故答案为:30. 15．16 【详解】由已知可得，�一定是集 合�的元素，所以只需要考虑剩余元素�, �, �, �出现 在集合�中的情况即可． 又集合 �, �, �, � 的子集个数为24 = 16，所以所有满 足条件的集合�的个数是 16． 故答案为：16． 16．�|� ≤− 3 2 【详解】因为集合� = {�|� ≤ 2或� > 4}，集合� = {�|2� − 2 < � ≤ 1 − 2�}， 若� ∪ � = � = �，则 2� − 2 ≤ 21 − 2� ≥ 4，解得� ≤− 3 2 ， 所以实数�的取值范围为 �|� ≤− 3 2 . 故答案为： �|� ≤− 3 2 . 17．(1)� ∪ � = 1,2,4,5,7,9 (2) 7,9 (3) 1,5,7,9 【详解】（1）由� = 1,2,4,5 , � = 2,4,7,9 得� ∪ � = 1,2,4,5,7,9 …………3分 （2）由� = 1,2,4,5,7,9 , � = 1,2,4,5 得∁U� = 7,9 ， 又� = 2,4,7,9 ，故 ∁U� ∩ � = 7,9 ………………8分 （3）∁U� = 1,5 ,故 ∁U� ∪ ∁U� = 1,5,7,9 ………………13分 答案第 3页，共 4页 18．（1）∁�� = � � ≤− 2 或� ≥ 3 ， （2） ∁�� ∩ � = � −3 < � ≤− 2 或� = 3 ， （3）∁� � ∩ � = � � ≤− 2 或� ≥ 3 . 【详解】（1）∵ � = � −2 < � < 3 ，� = � −3 < � ≤ 3 ， ∴∁�� = � � ≤− 2 或� ≥ 3 ，………………………………3分 （2） ∁�� ∩ � = � −3 < � ≤− 2 或� = 3 ，…………………………8分 （3）易得� ∩ � = � −2 < � < 3 ， ∴ ∁� � ∩ � = � � ≤− 2 或� ≥ 3 .…………………………………………15分 19．(1)∅， 2 ， 3 ， 2,3 (2) 0, − 1 2 , − 1 3 【详解】（1）由�2 − 5� + 6 = 0 解得� = 2或� = 3， 所以� = 2,3 ，……………………………………………………3分 所以集合�的所有子集为∅， 2 ， 3 ， 2,3 .……………………6分 （2）由� ∪ � = �得� ⊆ �，……………………8分 ①当� = 0时，� = ∅，满足条件.…………………………10分 ②当� ≠ 0时，� = − 1 � ，因为� ⊆ �， 所以− 1 � = 2或− 1 � = 3，解得� =− 1 2 或� =− 1 3 .……………………14分 综上，实数�的值组成集合为 0, − 1 2 , − 1 3 .…………………………15分 20．（1） �|� < 1且� ≠ 0 ；（2）2 【详解】（1）∵“∃� ∈ {�| − 1 ≤ � ≤ 2}， � − � > 0”为假命题 ∴“∀� ∈ {�| − 1 ≤ � ≤ 2}， � − � ≤ 0”为真命题，……………………2分 则� ≥ �对∀� ∈ {�| − 1 ≤ � ≤ 2}恒成立， 即� ≥ � max = 2， 故实数 a 的最小值为 2.……………………5分 （2）先证明充分性： 若 0<�< 1 3 ，设方程的两个实根为�1，�2， 则−4<−12m<0，所以 0<4−12m<4 ∴Δ=4−12�>0 ∴有两不等实根……………………………………4分 �1+�2= 2 � >0，�1⋅�2= 3 � >0， 数学第一次教学质量检测 答案第 4页，共 4页 所以两根同号； 故方程��2−2�+3=0(�≠0)有两个同号且不相等的实根；…………………………7分 再证明必要性： 若方程��2−2�+3=0(�≠0)有两个不相等的实根， 则Δ=4−12�>0，解得�< 1 3 ①；……………………………………11分 又∵方程��2−2�+3=0有两个同号的实根， ∴由韦达定理得两个之积必为正数：�1⋅�2= 3 � >0 ∴�>0② ∴由①②得�的取值范围是 0<�< 1 3 ；………………………………16分 ∴方程��2−2�+3=0(�≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0<�< 1 3 ．………………17分 21．(1){�|� ≤ 1 3 或� ≥ 11 3 }； (2) � 5 3 ≤ � ≤ 7 3 ． 【详解】（1）因为 p： 3� − 1 > 5� < 8 ，所以 p： � > 2 � < 8，即 2 < � < 8，………………2分 ∵ 3� + 1 > 3� − 3 ∴q条件下 x的范围如图所示 ………………………………4分 因为 p 是 q 的充分条件，所以作图如下： 或 所以 3� + 1 ≤ 2或 3� − 3 ≥ 8， 解得� ≤ 1 3 或� ≥ 11 3 ，即实数�的取值范围是{�|� ≤ 1 3 或� ≥ 11 3 }；…………………………9分 （3）依题意，¬�：3� − 3 < � < 3�+ 1，…………………………………………11分 由（1）知 p：2 < � < 8， 又 p 是¬�的必要不充分条件， ∴ 3� − 3 ≥ 2 3� + 1 < 8 或 3� − 3 > 2 3� + 1 ≤ 8，………………………………………………15分 解得 5 3 ≤ � < 7 3 或 5 3 < � ≤ 7 3 ∴实数 m 的取值范围是 � 5 3 ≤ � ≤ 7 3 ．…………………………………………17分 2024级高一上学期第一次教学质量检测 数学答题卷 班 级 姓 名 考 号 座 号 ……………………密 …………………… 封 …………………… 线………………………… 三、填空题： 14． 15． 16． 四、解答题：17．（13分） 18．（15分） 19．（15分） 考场：_____ 座号：_____ 分数：________ 20．（17分） 21．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$