精品解析：广西南宁市2024—2025学年八年级数学上学期阶段培优卷(一)

南宁市2024—2025学年八年级数学上学期阶段培优卷（一） 数学 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡纸上． 2．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．回答选择题时请用2B铅笔在答题卡上将选定的答案选项涂黑；回答非选择题时请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡纸一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 以下生活现象不是利用三角形稳定性是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则阴影部分面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 10 3. 下面四个图形中，线段是高的图形是（     ） A. B. C D. 4. 若，，是某三角形三边长，则可取的最大整数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ） A 14 B. 15 C. 16 D. 28 7. 如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　） A. （﹣2，4），（1，3） B. （﹣2，4），（2，3） C. （﹣3，4），（1，4） D. （﹣3，4），（1，3） 8. 如图，中，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A. 1 B. 1或4 C. 1或2 D. 3 10. 用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 11. 如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接CE，下列结论中正确的有（　　） ①若，则；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上．） 13. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______． 14. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图形所示，C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为_______个． 15. 如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是______． 16. 现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______． 17. 如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，…，以此类推，则的值为______． 18. 如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴、轴上移动，是的平分线，是的平分线，是与的交点．在移动过程中，的大小是否发生变化？如果保持不变，请求出的度数；如果发生变化，请求出变化范围． 20. 已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的坐标分别为、且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）求的长； （2）连接，若的面积不大于且不等于，求的范围； （3）过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在中，是中线，，． （1）求与的周长差． （2）点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 23. 如果的长度之和为，且，那么这三条线段能围成一个三角形吗？ 24. 如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点． (1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由； (2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由． 25. （规律探究题）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；⋯；与的平分线交于点，得．求的度数． 26. 已知，，直线交于点 M，交于点 N，（点 E 是线段 上一点 （不与 M、N重合）， P、Q分别是射线、上异于端点的点，连接、， 平分交 于点F， 平分交直线于点 G． （1）如图1， ， ， 点 G在线段 上． ①求 的度数； ②求 的度数； （2）试探索与 之间的数量关系； （3）已知 ． 直线、交于点K， 直线从与直线重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒，当首次与直线重合时，运动停止，在此运动过程中，经过t秒，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁市2024—2025学年八年级数学上学期阶段培优卷（一） 数学 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡纸上． 2．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．回答选择题时请用2B铅笔在答题卡上将选定的答案选项涂黑；回答非选择题时请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡纸一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 2. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则阴影部分面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分可得图中各个三角形面积之间的关系， 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∵点E为中点， ∴，， ∴， ∵点F为中点，， ∴． 故选：C． 3. 下面四个图形中，线段是的高的图形是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高的定义是解题关键．三角形的高‌是指从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段就是三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 线段不是的高，本选项不符合题意； B. 线段不是的高，本选项不符合题意； C. 线段不是的高，本选项不符合题意； D. 线段是的高，本选项符合题意． 故选：D． 4. 若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边长为，然后再利用三边关系列出不等式组，进而可得答案． 【详解】解：∵，，是某三角形的三边长， ∴， 即：， ∴可取的最大整数为 故选：C． 5. 在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 6. 如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论; 7. 如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　） A. （﹣2，4），（1，3） B. （﹣2，4），（2，3） C. （﹣3，4），（1，4） D. （﹣3，4），（1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，由AAS证明△AOE≌△OCD，得出AE=OD，OE=CD，由点A的坐标是（﹣3，1），得出OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，得出C（1，3），同理：△AOE≌△BAF，得出AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，得出B（﹣2，4）即可． 【详解】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°． ∵四边形OABC是正方形，∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COD=90°，∴∠OAE=∠COD．在△AOE和△OCD中，∵，∴△AOE≌△OCD（AAS），∴AE=OD，OE=CD． ∵点A的坐标是（﹣3，1），∴OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，∴C（1，3）． 同理：△AOE≌△BAF，∴AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，∴B（﹣2，4）． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 8. 如图，中，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，解答的关键是寻找全等三角形求解．利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；利用全等三角形判定和性质，分别证明和即可判断②；根据平行线的判定和性质证明，利用等底等高的三角形面积相等，结合全等三角形的面积相等可判断④；假设平分，推出，与已知不相符，故可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵中，的角平分线相交于点P， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即，又， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ，故④错误； 若平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴，这显然不一定成立，故③错误； 综上，正确的结论有2个， 故选：B． 9. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A. 1 B. 1或4 C. 1或2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意用时间t表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，或，利用全等的性质列式求出t的值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，有，则，解得， 当时，有，则，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，解题的关键是对全等三角形进行分类讨论，再利用全等三角形的性质求出动点运动的时间． 10. 用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案． 【详解】解：由题意知，这四种正多边形的四个内角之和为360度， 已知正多边形的边数为，，，， 那么这四个正多边形的内角和可表示为：， 两边都除以180得：，即： 两边都除以2得，． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形及其内角，解决本题的关键是知道这四种正多边形的四个内角之和为360度，据此进行整理分析得解． 11. 如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质， 熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键. 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到 ，根据平行线的性质得到之间的等量关系，列出方程求解即可. 【详解】解：如图1，当点在上时，过点C作． 因为三角形由三角形平移得到， 所以． 因为，， 所以． ①当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以； 图1 ②当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以． 如图2，过点C作． 因为三角形由三角形ABC平移得到， 所以． 因为，， 所以． ①当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得，所以； 图2 ②当时，由图可知，，故不存在这种情况 综上所述，的度数为或或， 故选C． 12. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接CE，下列结论中正确的有（　　） ①若，则；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求出，可判断①；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断②；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断③；如图，过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④，即可得解． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，延长，交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 假设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，即， ∴， 故结论②错误； ③如图，在上截取，连接， ∵平分，平分，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确； ④如图，过点作于，于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论④正确； ∴正确的结论有个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上．） 13. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______． 【答案】1秒，或35秒，或12秒 【解析】 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 14. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图形所示，C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为_______个． 【答案】6 【解析】 【分析】如图：按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，边上的高为1，，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条直线上时，边上的高为1，，符合条件的点C有2个． 【详解】解：C点所有的情况如图所示： 故答案为6． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，灵活运用分类讨论思想，做到不重不漏是解答本题的关键． 15. 如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为：． 16. 现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______． 【答案】11 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 17. 如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，…，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形中“•”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ； ， 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键． 18. 如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，解答即可． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴； 故②正确； ∵， ∴，无法得到， 故③错误； 过点D作于点M， 根据，， 得， ∴， 故④正确； ∵， ∴，，， ∵ ∴ ∴； ∴， 故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴、轴上移动，是的平分线，是的平分线，是与的交点．在移动过程中，的大小是否发生变化？如果保持不变，请求出的度数；如果发生变化，请求出变化范围． 【答案】不变， 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可得到答案． 【详解】解：在移动过程中，的大小保持不变． 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 在移动过程中，的大小保持不变，为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键． 20. 已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【小问1详解】 作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示； 【小问2详解】 能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示； 【小问3详解】 角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的； 角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的坐标分别为、且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）求的长； （2）连接，若的面积不大于且不等于，求的范围； （3）过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）的面积不大于且不等于，的范围为且； （3）存在这样的点使，的值是或． 【解析】 【分析】（）利用非负性求出，即可确定出，， （）分点在和点在的延长线上表示出面积即可得出的范围； （）分点在和延长线延长线上即可得出结论； 本题考查了坐标与图形，非负数的性质，不等式的性质，全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：分为两种情况： 当在线段上时，，， ∴， ∵的面积不大于且不等于， ∴， 解得：； 当在线段的延长线上时，，， ∴， ∵的面积不大于且不等于， ∴，解得：； 综上可知：的面积不大于且不等于，的范围为且； 【小问3详解】 解：存在这样的点使，理由： ∵ ∴， 如图，当在线段上时，， 如图，当在线段的延长线上时， ∴， ∴， ∴存在这样的点使，的值是或． 22. 如图，在中，是中线，，． （1）求与的周长差． （2）点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【小问1详解】 解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； 【小问2详解】 解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 23. 如果的长度之和为，且，那么这三条线段能围成一个三角形吗？ 【答案】不能 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 设，得到，由的长度之和为，得到，分别解出的长度后判断即可． 详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∵的长度之和为， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴这三条线段不能围成一个三角形． 24. 如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点． (1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由； (2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由见解析. 【解析】 【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED． 【详解】解：(1)∠EFD＝∠C－∠B. 理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝∠BAC. 由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋∠BAC， 故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①. 在△ABC中，由三角形内角和定理得 ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 即∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②. ②－①，得∠EFD＝∠C－∠B. (2)成立． 理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC， 故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①. 在△ABC中，由三角形内角和定理得： ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B. 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力． 25. （规律探究题）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；⋯；与的平分线交于点，得．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，，由三角形外角的定义与性质可得，同理可得，…，由此可得，从而即可得到答案． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ，， ， 同理可得，…， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，根据题意得出是解题的关键． 26. 已知，，直线交于点 M，交于点 N，（点 E 是线段 上一点 （不与 M、N重合）， P、Q分别是射线、上异于端点的点，连接、， 平分交 于点F， 平分交直线于点 G． （1）如图1， ， ， 点 G在线段 上． ①求 度数； ②求 的度数； （2）试探索与 之间的数量关系； （3）已知 ． 直线、交于点K， 直线从与直线重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒，当首次与直线重合时，运动停止，在此运动过程中，经过t秒，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）① ② （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）①过点作，然后利用平行线的性质得到，，然后根据垂直的定义得到，然后解题即可； ②过点作，然后利用平行线的性质解题即可； （2）分为当点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况，利用平行线的性质解题即可； （3）分为，和三种情况，画图，利用平行线的性质和三角形的外角的性质解题即可． 【小问1详解】 解：①过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分交 于点F， 平分交直线于点 G， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当点G在线段上时，过点作， ∵， ∴， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分交 于点F， 平分交直线于点 G， ∴，， ∴； 如图，当点G在射线上时，过点G作， ∵， ∴， 则， ∴； 【小问3详解】 如图，当时， ∵，， ∵由（2）得：，， 又∵与平行， ∴， ∴旋转时间为：； 如图，当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴旋转时间为； 当时， ， 又∵， ∴， ∴旋转时间为； 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，掌握平行线的性质、三角形外角性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$