精品解析：辽宁省丹东市2025届高三上学期总复习阶段测试数学试卷

丹东市2025届高三总复习阶段测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2，答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 16 5. 已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 的图象关于点对称 D. 当时， 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在单调递增 C. 最小正周期为 D. 的图像是中心对称图形 11. 已知实数，满足，则（ ） A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知奇函数的定义域为，当时，，则当时，__________． 13. 求值：__________． 14. 已知等差数列的公差为，集合，且，则__________；若，则的前30项的和__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域． 16. 记为等差数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，求使取得最大值时的值． 17. 记内角的对边分别为，已知周长为3，且． （1）求； （2）若的面积为，求的值． 18. 甲乙两人各有n张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n轮比赛，在每轮比赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）． （1）当时，求甲的总得分小于2的概率． （2）分别求甲得分的最小值和最大值的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，3，…，n，则，记轮比赛（即从第1轮到第轮比赛）中甲的总得分为，乙的总得分为，求和的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？ 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）人类在不断地探索宇宙的结构，中性氢厘米谱线是射电天文观测到的第一条谱线，也是最重要的谱线之一．天文学家在研究星际中性氢原子分布时发现，单位体积内存在个中性氢原子，其辐射强度称为辐射强度达到了级．已知某星系辐射强度满足，求证：该星系的辐射强度没有达到级． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2025届高三总复习阶段测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2，答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接解不等式结合交集的概念计算即可. 【详解】解得，则， 解得，即， 所以. 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘除法运算求出复数，得到共轭复数，再作差求解即可. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：B. 3. 已知向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边同时平方，再结合数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】由，，， 得，所以， 所以. 故选：A. 4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列的公比，再利用性质计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 5. 已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 6. 甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将5人分为三组，再分配到三个社区，再减掉甲乙两个人在同一社区的情况，即可求得. 【详解】根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到三个社区做志愿者， 每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按和分组， 再分配到三个社区，共有种不同的安排方法， 其中甲乙在一个社区的共有种， 则甲乙不去同一个社区的概率为. 故选：. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性以及基本不等式比较大小. 【详解】由已知得， 比较和的大小，其中， 因为，所以， 又因为在 单调递增，所以，即； 比较和的大小，其中，即， 因为在上单调递增，所以，即； 比较，的大小， 因为，， 所以，即， 故选：. 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后研究函数的周期性，再结合赋值法表示出，利用周期性即可得到问题的答案. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令代，可得， 联立，可得， 所以是定义在奇函数，所以， 由，令代， 可得， 因为，所以， 令代，，则， 令代，则， 所以函数是周期为6的周期函数. 由， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 所以， ， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于函数方程的问题，采用“赋值法”可求一些特殊的函数值以及找到对称性与周期性，这往往是问题的突破口. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 的图象关于点对称 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的零点定义，即可判断A；利用导数研究函数的单调性，即可判断B；利用函数对称性的定义，可判断C；利用函数的单调性，即可判断D. 【详解】对于A，令，解得或， 所以有两个零点，故A错误； 对于B，， 令，解得或， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C，因为 ， 即， 则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由对于A的分析可知，当时，单调递增， 则当时，单调递增， 又当时，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在单调递增 C. 最小正周期为 D. 的图像是中心对称图形 【答案】BC 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域，再化简函数的解析式，结合函数的性质，即可判断选项. 【详解】，，， 所以函数的定义域，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A错误； ， ， 所以， 当，，此时单调递增，故B正确； 的最小正周期为，但函数的定义域是，所以函数的最小正周期为，故C正确； 因为函数的定义域是，所以，所以函数取不到最小值0，但有最大值1，所以函数的图象不是中心对称图形，故D错误. 故选：BC 11. 已知实数，满足，则（ ） A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将分成同号，异号，或有一个为0三种情况，利用基本不等式进行分析讨论即得； 对于B，利用重要不等式求得xy的最大值排除此项；对于C，利用重要不等式即可推出结论成立； 对于D，通过取反例，即可排除此项. 【详解】对于A，由可得 当时，因，即，即， 解得，当且仅当时，有最小值为； 当时，显然有，即得； 当中有一个为0时，或， 综上可得，有最小值为，即A正确； 对于B，由可得，解得， 当或时等号成立，即有最大值为，故B错误； 对于C，由可得， 因，则解得， 当或时等号成立，即有最小值为，故C正确； 对于D，当，满足，但，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题主要考查基本不等式的性质应用，属于难题. 运用基本不等式的性质求最值的方法主要有： （1）直接法：利用“一正二定三相等”的要求运用基本不等式求解； （2）配凑法：将所求式配凑成积为定值或和为定值的情况进行求解； （3）消元法：通过已知式求出一个字母，代入所求式消元，再运用基本不等式求解； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知奇函数的定义域为，当时，，则当时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可求时函数的解析式. 【详解】当时，，故， 又，故， 故答案为：. 13. 求值：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式化简可得. 【详解】 . 故答案为：1 14. 已知等差数列的公差为，集合，且，则__________；若，则的前30项的和__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设，由推出，得数列是周期为3的数列，由题设可分成如下① ，② ，③ 三种情况考虑，分别求得，即得；再由确定的值，利用等差数列求和公式即可求得. 【详解】因等差数列的公差为，则， 故， 不妨设，则数列是周期为3的数列. 又，故有①或②或③三种情况. ① 当时，由，可得，解得 ， 若是偶数，则 此时，； 若是奇数，则 此时，； ② 当时，由，可得，解得， 若是偶数，则 此时，； 若是奇数，则 此时，； ③当时，由，可得，解得， 若是偶数，则 此时，； 若是奇数，则 此时，； 综上，可得. 当时，由上分析知， 因等差数列的公差为，故 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的周期性应用，属于难题. 解题的关键在于利用等差数列推出数列的周期性，再结合题设要求，分成三种情况分别讨论即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式. （2）由（1）的结论，求出函数，再利用余弦函数的性质求出值域. 【小问1详解】 观察图象知，函数的最小正周期，则， 由，得，而，则， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 当，则，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当，即时，；当，即时，， 所以在的值域为. 16. 记为等差数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，求使取得最大值时的值． 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）由递推式可得，，结合已知可得，再代入，可得，即可得答案； （2）由题意可得，由，求解即可. 【小问1详解】 解：因为为等差数列，且，， 所以当时，则有， 两式相减，得（为等差数列的公差）， 解得； 当时，则有， 即，， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 当取得最大值时， 则有，即， 整理得，解得，所以 又因为， 解得， 所以最大，且. 所以当取得最大值时，. 17. 记内角的对边分别为，已知周长为3，且． （1）求； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，可得，再利用余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式及（1）可得，从而得，结合，得，，再由正弦定理可得，即可得答案. 【小问1详解】 解：因为， 即，又因为， 所以， 即，所以， 所以， 又因为， 所以． 【小问2详解】 解：因为，， 所以， 又因为， 所以，又， 得，， 由正弦定理可得， 所以． 18. 甲乙两人各有n张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n轮比赛，在每轮比赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）． （1）当时，求甲的总得分小于2的概率． （2）分别求甲得分的最小值和最大值的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，3，…，n，则，记轮比赛（即从第1轮到第轮比赛）中甲的总得分为，乙的总得分为，求和的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？ 【答案】（1） （2）甲得分最小值和最大值的概率都为 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式求乙选卡片的不同顺序，然后列举出所有满足条件的选法，根据古典概型的概率公式可得； （2）根据甲乙所持卡片数子的特征分析即可得解； （3）利用所给公式求解可得. 【小问1详解】 甲顺序为1，3，5，7，乙选卡片的不同顺序共有4！=24种，而使得甲得分小于2的所有顺序共有12种， 2，4，6，8 2，4，8，6； 2，6，4，8； 2，6，8，4； 2，8，6，4； 4，2，6，8； 4，6，2，8； 4，6，8，2； 4，8，6，2； 6，4，8，2； 6，4，2，8； 8，4，6，2． 由古典概型得甲的总得分小于2的概率为； 【小问2详解】 甲按照固定顺序1，3，5，7，…，，乙按照2、4，6，8，…，2n，甲得分最小值为0，则概率为． 甲按照固定顺序1，3，5，7，…，，乙按照2n、2，4，6，…，，甲得分最大值为，则概率为． 【小问3详解】 设随机变量， 则服从两点分布，，且， 由题意可得， ， 因为， 所以随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差不变，总是甲比乙多1分. 【点睛】关键点睛：本题第三问关键在于对所给公式的正确理解，然后直接求解即可. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）人类在不断地探索宇宙的结构，中性氢厘米谱线是射电天文观测到的第一条谱线，也是最重要的谱线之一．天文学家在研究星际中性氢原子分布时发现，单位体积内存在个中性氢原子，其辐射强度称为辐射强度达到了级．已知某星系辐射强度满足，求证：该星系的辐射强度没有达到级． 【答案】（1）在单调递减 （2） （3）证明：由题意需证：，即， 令，，则，有， 两边同时取对数得， 只需证：（*） 令， 所以， 由（1）知，时，，则， 所以在内单调递减，且， 所以不等式（*）成立，即该星系得辐射强度没有达到级. 【解析】 【分析】（1）由题意，对函数求导，再对其导函数再次求导，研究其单调性和最值，可得函数的单调性； （2）利用分类讨论思想，结合导数与函数单调性的关系，可得答案； （3）由题意建立不等式，整理不等式构造函数，结合（1）可得其单调性，可得答案. 【小问1详解】 当时．．其定义域为， 所以， 令，所以． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，且，所以恒成立． 则在单调递减． 【小问2详解】 因为，，，， 若，则，求导可得， 当时，，则单调递增，，不合题意； 若，当时，，不合题意； 所以考虑． 当时，等价于，令， 所以， ①若，则当时，，故在区间单调递减，， 所以当时，，故． ②若，，， 可得在区间单调递增，而， 所以当时，，． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $