湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中复习数学模拟试题2

高二期中考试复习卷（2） 一、单选题 1．若直线的倾斜角为，则实数m值为（    ） A． B． C． D． 2．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 3．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 4．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 8．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（    ）A． B． C． D． 二、多选题 9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（ ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D． 10．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的四个面都是直角三角形 B．三棱锥的体积最大值为 C．当时，异面直线与夹角的余弦值为 D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 11．设，过定点A的动直线与过定点B的动直线交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．三角形PAB面积的最大值为 C． D．P点到坐标原点的距离的最大值为 三、填空题 12．已知空间向量，，，若，，共面，则实数 . 13．如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为 . 四、解答题 15．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 16．在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，在四棱锥中，，且． (1)若点在上，且平面，证明：为的中点； (2)已知二面角的大小为，求平面与平面夹角的正切值． 18．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. (1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； (2)请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大. 19．已知，直线 (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期中考试复习卷（2） 一、单选题 1．若直线的倾斜角为，则实数m值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 2．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】由直线与圆相切计算与圆心距离即可得答案. 【详解】因与圆相切，则. 则到圆心的距离为，则在圆外. 故选：B 3．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可. 【详解】因为在平行六面体中，， 所以. 故选：A. 4．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 5．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解. 【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为， 记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则， 所以. 故选：B. 6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将直线与直线垂直转化为斜率相乘为-1求出的值，再根据二倍角公式将用表示，即可得到答案. 【详解】由题意得，，. 故选：B. 7．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 8．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法得到总的基本事件与满足条件的基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从6个小球中任取2个小球有， ，共15种情况， 其中数字之差的绝对值为2或4的有，共6种情况， 则所求概率. 故选：C. 二、多选题 9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（ ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B：根据古典概型求，结合独立事件和互斥事件分析判断；对于C：根据事件的运算求解；对于D：根据古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：第一次向下的数字为1，2，3，4，共4个基本事件，则， 设为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合，其中为第一次向下的数字，为第二次向下的数字， 则有， 共16个基本事件， 可知事件包含，共8个基本事件，则， 事件包含，共4个基本事件，则， 可知， 所以事件A与事件B相互独立，且事件A与事件B不互斥，故A正确，B错误； 因为，故C正确； 事件C等价于为“两次向下的数字之和小于等于5”， 包含，共10个基本事件， 则，故D正确； 故选：ACD. 10．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的四个面都是直角三角形 B．三棱锥的体积最大值为 C．当时，异面直线与夹角的余弦值为 D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明； 对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断； 对于C，找到与和所成异面直线夹角，再由余弦定理代入计算，即可判断； 对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可. 【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形； 为直径，为半圆弧上一动点，，为直角三角形； 平面平面，平面平面，平面，， 平面，平面，，为直角三角形； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，平面，，为直角三角形； 因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确； 对于B，过点在平面内作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，为三棱锥的高， 三棱锥的体积 的面积为定值， 当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，， 三棱锥体积的最大值为，故B错误； 取中点，中点，中点， 连接，则，， 所以异面直线与的夹角为或其补角， 且，又， 则，， 则，又， 则， 在中，由余弦定理可得 ， 则异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影， 为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最小值， 以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则 在直角三角形内，，即， ，，，，， ，. 当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大， 此时， ，，三点均为四棱锥的顶点， 平面截四棱锥外接球的截面为的外接圆面， 直角三角形外接圆半径， 截面面积，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断. 11．设，过定点A的动直线与过定点B的动直线交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．三角形PAB面积的最大值为 C． D．P点到坐标原点的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件可得出两直线过定点，且两直线垂直，进而得出P在以AB为直径的圆上，根据圆的性质可判断A错误，得出后利用基本不等式可判断BC，利用点到圆上点的最值问题即可判定D. 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则；故A错误； B中：， 当且仅当时等号成立，故B正确； C中：由，，知， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因为动点P在以AB为直径的圆上，所以圆心为，半径为， 圆心到原点的距离为， 所以P点到坐标原点的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知空间向量，，，若，，共面，则实数 . 【答案】1 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 13．如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    【答案】2 【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为 . 【答案】 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 四、解答题 15．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为.    （2）解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或.    16．在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 17．如图，在四棱锥中，，且． (1)若点在上，且平面，证明：为的中点； (2)已知二面角的大小为，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断底面的几何关系，再结合线面平行的性质定理，构造辅助线，即可证明； （2）首先由几何关系确定为二面角的大小，再根据几何关系确定空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再利用法向量求二面角的余弦值，即可求正切值. 【详解】（1）因为，，所以，，， 在直角三角形中，， 又因为，为的平分线， 延长、交于点，连接， 在中，，所以，是等腰三角形， 所以，点是的中点， 因为直线平面，过的平面与平面的交线为，则， 因为是的中点，所以是的中点. （2）在中，，，，则，即， 由已知得，， 又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，即， 所以，为二面角的平面角，所以， 又，所以为正三角形， 取的中点为，连，则，平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内垂直于直线的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设分别为平面和平面的法向量， 则，取，则， ，取，则， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的正切值为． 18．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. (1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； (2)请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大. 【答案】(1) (2)甲第一局选择和乙比赛 【分析】（1）分两种情况，根据三局比赛的胜负情况，结合独立事件概率公式，即可求解； （2）分三种情况讨论甲最终获得冠军的概率，可得出结果. 【详解】若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况： ①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 ； ②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 ， 所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 . 若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜， 所以甲能获得冠军的概率为 ， 若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为 ， 若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第问的结果 ， 因为 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，互斥事件的概率加法公式，考查学生的分析与运算能力，属于中档题. 19．已知，直线 (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到 ，进而可得，即可得直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，则直线方程为， 故直线经过的定点在直线上， 且，即，， 设直线与交于点，则， 即， 可得，即， 设，则， 可得，解得，即， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 因为直线的方程为， 则，解得， 即，可得， 因为直线与直线关于x轴对称，则， 则入射光线的方程为，即为 【点睛】方法点睛：直线方程的求法，直线过定点问题.这类求定点问题主要是理解掌握过两直线的交点直线系方程，充分把握向量在平面几何中的应用，以及分析问题解决问题的能力和运算能力． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$