浙江省九年级上学期数学期中模拟试卷01（测试范围：浙教版，二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01 试卷满分120分 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1．抛物线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 2．下列事件中，是必然事件的是　　 A．相等的圆心角所对的弧相等 B．四点共圆 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 3．已知点到圆心的距离为5，若点在圆内，则的半径可能为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，是的直径，弦于点．若，，则的长为　　 A．3 B．6 C．8 D．9 5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是　　 A． B． C． D． 6．如图，是的外接圆，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．若二次函数的图象经过点、，则的值为　　 A．0 B．3 C．1 D．0或3 8．某函数关系为，，，是常数），如图，已知该函数图象上三个点的坐标，，，．当函数值最大时，的值为　　 A． B． C． D． 9．如图，点、、在上，，则　　 A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程，为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11．已知扇形所在圆半径为3，弧长为，则扇形面积为 　　． 12．某公司销售部在出售一批柑橘前需要先进行“柑橘损坏率”统计，去掉损坏的柑橘后，再确定柑橘的售价．表是销售部随机取样得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分： 柑橘总质量 250 300 350 400 450 500 550 600 损坏的柑橘质量 24.75 30.93 35.12 39.97 44.54 51.07 55.13 61.98 柑橘损坏的频率 0.099 0.103 0.100 0.099 0.099 0.102 0.100 0.103 估计这批柑橘完好的概率为 　　（结果精确到． 13．当时，直线与抛物线有交点，则的取值范围是 　　． 14．已知正方形与正六边形都内接于圆，若正方形边长为，则　　． 15．二次函数的图象经过点，，则　　． 16．如图，已知是的弦，，，垂足为，交于点，若为上一点，连接、，则的度数是 　　． 三、解答题：本题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，求证：． 18．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，文山州非物质文化遗产资源丰富、品类繁多，文山市第三中学为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请铜鼓舞，壮剧，坡芽情歌，葫芦笙舞制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中坡芽情歌传承人的概率是 　　． （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中壮剧和葫芦笙舞制作传承人的概率， 19．如图，为的直径，弦于点． （1）用没有刻度的直尺和圆规在射线上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长． 20．如图，直线和抛物线都经过点，． （1）求、的值和抛物线的解析式； （2）求不等式的解集．（直接写出答案） 21．如图，在中，，点是的中点，连结．是的外接圆交于点，作直径，连结交于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的直径． 22．二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表． 0 2 3 0 0 （1）求二次函数解析式； （2）若此抛物线与轴交于点，点为抛物线上一个动点，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值． （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与轴交于点、在的左边），经过点的直线与抛物线位于第四象限的图象交于点，若线段、、围成的区域（不含边界）内有3个整点，直接写出的取值范围． 23．如图，已知的半径为1，，是直径，，点在上，连接，，分别交，于点，． （1）若平分，求证：． （2）判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）求证：． 24．某超市计划在春节前45天里销售某品牌的小零食，其进价为18元．若设第天的销售单价为（元，销售量为．根据往年的销售情况，该超市经理得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系②与的关系为． （1）求销售第10天的日销售利润； （2）当为多少时，当天的销售利润（元最大？最大利润为多少？ （3）若超市希望第32天到第40天的日销售利润（元的最小值为5460元，则需要在当天销售单价的基础上涨元，求的值为多少． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01 试卷满分120分 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1．抛物线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】将代入解析式求出对应的值即可． 【解答】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练熟练二次函数的性质． 2．下列事件中，是必然事件的是　　 A．相等的圆心角所对的弧相等 B．四点共圆 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，不合题意； 、四点共圆，是随机事件，不合题意； 、二次函数的图象开口向下，是不可能事件，不合题意； 、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中一定有红衣服，是必然事件，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．已知点到圆心的距离为5，若点在圆内，则的半径可能为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【解答】解：点在圆内，且， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内． 4．如图，是的直径，弦于点．若，，则的长为　　 A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】连接，利用勾股定理求出，可得结论． 【解答】解：连接． ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，利用勾股定理解决问题． 5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率． 【解答】解：列表如下： 红 绿 红 （红，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） 所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况， 所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为， 故选：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 6．如图，是的外接圆，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接并延长到点，根据圆周角定理，三角形外角性质，得到，代入计算即可． 【解答】解：如图，连接并延长到点， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键． 7．若二次函数的图象经过点、，则的值为　　 A．0 B．3 C．1 D．0或3 【分析】由于函数图象关于轴对称，则函数的解析式形式应该是型，由此求得问题的答案． 【解答】解：二次函数的图象经过点、， 函数图象关于轴对称， 函数的解析式形式应该是型， ， 解得：或， 二次函数的二次系数不能为0， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够明确函数图象关于轴对称是解题的关键． 8．某函数关系为，，，是常数），如图，已知该函数图象上三个点的坐标，，，．当函数值最大时，的值为　　 A． B． C． D． 【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，利用二次函数的性质可得答案． 【解答】解：过，，，， ， 解得：， 函数关系为， ， 函数值有最大，此时， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值问题和一次函数图象上点的坐标特征及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键． 9．如图，点、、在上，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：点、、在上，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程，为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可． 【解答】解：对称轴为直线， 解得， 二次函数解析式为， 在时，， 则的解相当于与直线的交点， 当时，在的范围内有解， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11．已知扇形所在圆半径为3，弧长为，则扇形面积为 　　． 【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：扇形面积， 故答案为：． 【点评】本题考查扇形的面积，熟记公式是解题的关键． 12．某公司销售部在出售一批柑橘前需要先进行“柑橘损坏率”统计，去掉损坏的柑橘后，再确定柑橘的售价．表是销售部随机取样得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分： 柑橘总质量 250 300 350 400 450 500 550 600 损坏的柑橘质量 24.75 30.93 35.12 39.97 44.54 51.07 55.13 61.98 柑橘损坏的频率 0.099 0.103 0.100 0.099 0.099 0.102 0.100 0.103 估计这批柑橘完好的概率为 　0.9　（结果精确到． 【分析】利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9． 【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是； 故答案为：0.9． 【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键． 13．当时，直线与抛物线有交点，则的取值范围是 　　． 【分析】直线与抛物线有交点，则画出二次函数的图象，根据图象进行解答即可． 【解答】解：画出抛物线，如图， 当时，，且抛物线的顶点是图象最低点，抛物线开口向上， 直线与抛物线有交点，， 由图象可知． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 14．已知正方形与正六边形都内接于圆，若正方形边长为，则　　． 【分析】连接，、，，设与交于点，根据勾股定理求出，得出，证明△为等边三角形，得出，，证明，得出，利用垂径定理得出，，根据勾股定理求出，证明△为等腰直角三角形，得出，求出结果即可． 【解答】解：连接，、，，设与交于点，如图所示： 四边形为正方形， ，， 为的直径，， ， 正六边形中， ， ， △为等边三角形， ，， 六边形为正六边形， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， △为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，勾股定理，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角的三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判断． 15．二次函数的图象经过点，，则　2　． 【分析】利用二次函数的对称性即可得到，解得． 【解答】解：二次函数， 对称轴为直线， 二次函数的图象经过点，， 、关于对称轴对称， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 16．如图，已知是的弦，，，垂足为，交于点，若为上一点，连接、，则的度数是 　　． 【分析】根据垂径定理得出，进而求出，再根据圆周角定理可得． 【解答】解：，为半径， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键． 三、解答题：本题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，求证：． 【分析】利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可． 【解答】证明：， ， ． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，文山州非物质文化遗产资源丰富、品类繁多，文山市第三中学为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请铜鼓舞，壮剧，坡芽情歌，葫芦笙舞制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中坡芽情歌传承人的概率是 　　． （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中壮剧和葫芦笙舞制作传承人的概率， 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中选中壮剧和葫芦笙舞制作传承人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）邀请铜鼓舞，壮剧，坡芽情歌，葫芦笙舞制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲， 从以上非物质遗产中任选一个，则选中坡芽情歌传承人的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中壮剧和葫芦笙舞制作传承人的结果有2种， 选中壮剧和葫芦笙舞制作传承人的概率是． 【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19．如图，为的直径，弦于点． （1）用没有刻度的直尺和圆规在射线上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据三角形的内角和定理可得出，即作出，即可求解； （2）根据勾股定理得，即可求出，，，由（1）证得△△△，可求得，，即可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ，， ． 如图所示，即可确定点． （2）连接， 的半径为， ， 由勾股定理得，，， ， ， 解得， 则， ， 由（1）得，，， △△△， ， ，， ． 【点评】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20．如图，直线和抛物线都经过点，． （1）求、的值和抛物线的解析式； （2）求不等式的解集．（直接写出答案） 【分析】（1）先把点坐标代入直线解析式，求出直线解析式，进而求出点坐标，再把、坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可； （2）利用图象法求解即可． 【解答】解：（1）把代入中得：， ， 一次函数解析式为， 把代入中得， ， 把，代入中得：， ， 抛物线解析式为； （2）由函数图象可知，当或时抛物线的函数图象在一次函数图象上方， 不等式的解集为或． 【点评】本题主要考出来的待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 21．如图，在中，，点是的中点，连结．是的外接圆交于点，作直径，连结交于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的直径． 【分析】（1）连接，，先证为等腰三角形，则，进而，再证，则，据此可得出结论； （2）由，四边形是平行四边形得，根据，可设，，则，据此得，再证和全等得，，然后在中由勾股定理得，最后在中由勾股定理得求出，据此可求出的直径． 【解答】（1）证明：连接，，如图： 在中，，点是的中点， ，， 为等腰三角形， 是外接圆的直径， ， ， 为内接四边形的一个外角， ， 为的直径， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 由（1）可知：四边形是平行四边形； ， ， 可设，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ． 的直径为10． 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握三角形外接圆的相关性质，理解直径所对的圆周角为直角，平行弦之间所夹的弧相等，相等的弧所对的弦相等． 22．二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表． 0 2 3 0 0 （1）求二次函数解析式； （2）若此抛物线与轴交于点，点为抛物线上一个动点，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值． （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与轴交于点、在的左边），经过点的直线与抛物线位于第四象限的图象交于点，若线段、、围成的区域（不含边界）内有3个整点，直接写出的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解得即可； （2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：当点在对称轴的左侧时，和当点在对称轴的右侧时，利用已知条件求得点的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标的值； （3）通过分析找出3个整点，并确定直线经过点的临界点，利用待定系数法求得对应的值，结合图形即可求得的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得：． 二次函数解析式为． （2）令，则， ． ， 抛物线的顶点坐标为． 当点在对称轴的左侧时， 此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为2， 此时点是最低点，点是最高点， 点的纵坐标为， 令，则． 解得：（正数不合题意舍去）． ，． ． 当点在对称轴的右侧时， 此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为2， 此时顶点是最低点，点是最高点， 点的纵坐标为， 令，则． 解得：（负数不合题意舍去）． ，． ． 综上，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为2时，的值为或． （3）由题意得：线段、、围成的区域（不含边界）内有3个整点， 则这3个整点为，，， 直线必经过点或经过与之间的点，不包括， 直线必经过点时， ， 解得：． ． 直线必经过点时， ， 解得：． ． 综上，的取值范围为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，配方法求抛物线的顶点坐标，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．如图，已知的半径为1，，是直径，，点在上，连接，，分别交，于点，． （1）若平分，求证：． （2）判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）求证：． 【分析】（1）根据垂径定理可得点是的中点，即可得出，再求出即可得证； （2），连接，，则是等边三角形，，，即可求证，进而证明； （3）由（2）可知，然后证明，，根据相似三角形的性质表示出，，再代入化简即可求证． 【解答】（1）证明：平分，是直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下：连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ； （3）证明：的半径为1， ， 由（2）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 又， ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．某超市计划在春节前45天里销售某品牌的小零食，其进价为18元．若设第天的销售单价为（元，销售量为．根据往年的销售情况，该超市经理得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系②与的关系为． （1）求销售第10天的日销售利润； （2）当为多少时，当天的销售利润（元最大？最大利润为多少？ （3）若超市希望第32天到第40天的日销售利润（元的最小值为5460元，则需要在当天销售单价的基础上涨元，求的值为多少． 【分析】（1）第天的销售利润等于当日利润乘以销售量，可列出关于的函数，将相关数值代入计算即可； （2）分两种情况可求：①当时，；②当时，与满足一次函数关系；分别得出关于的函数，并分段求得的最大值，两者相比较可得答案； （3）先用含的式子表示出关于的二次函数，再分三种情况计算即可：①当，即对称轴为时，的最小值在或处取得；②当时，对称轴，则当时，取得最小值；③当时，对称轴，则当时，取得最小值． 【解答】解：（1）第天的销售利润， 当时，；与的关系为， 销售第10天的日销售利润（元， 销售第10天的日销售利润为2200元； （2）①当时，；当时，与满足一次函数关系；②与的关系为， ， 整理得：． 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时（元； 当时， ， 当时，取最大值，此时（元． 综上所述，当时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元； （3）由题意得： 对称轴为：， 第32天到第40天的日销售利润（元的最小值为5460元， ①当，即对称轴为时，的最小值在或处取得， 当，时， 故不符合题意； ②当时，对称轴，则当时，取得最小值， ， ，与矛盾， 不符合题意； ③当时，对称轴，则当时，取得最小值， ， ，符合题意． 的值为． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，根据题意正确地得出函数关系式并分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$