专题10 期末解选填压轴题 7大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题10 期末解选填压轴题 7大高频考点概览 考点01 二次函数的代数应用 考点02 二次函数的几何应用；新定义题 考点03 传统几何求解问题综合 考点04 重心、内心性质的综合应用 考点05 最值、取值范围问题 考点06 数学活动；命题综合辨析 考点07 动态几何问题（动点、旋转、翻折、对称等） 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ）地 城 考点01 二次函数的代数应用 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点均在二次函数图像上，若则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（    ） A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 地 城 考点02 二次函数的几何应用；新定义题 1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为 ． 地 城 考点03 传统几何求解问题综合 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点D是上一点（不与点重合），过点D作交于点E，过点D作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，若已知的面积，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知为等腰三角形的外接圆，为劣弧上一点，连接交于点，若，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在中，，，斜边上一点E满足，连结． （1）的长为 ． （2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为 ． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ． 地 城 考点04 重心、内心性质的综合应用 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交于点M，N，过点N作交于点D，则四边形与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为 ． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 地 城 考点05 最值、取值范围问题 1．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，点在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级下·浙江台州·期末）如图，在中，直径切于点，且，点分别是的中点，点是上一动点，连结，则的最小值是 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为 ．    4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆为正方形的外接圆，半径为，点为弧上一点，连接，，，，过点作交于点，过点作于点，当长度最短时，的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为(   )    A． B． C． D． 地 城 考点06 数学活动；命题综合辨析 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图是学校劳动社团的同学，利用数学知识绘制的社团会徽的草图，设计过程如下：作等腰内接于圆，过点作交于点，交圆于点，过点作于点，于点，连结，测得，则四边形的面积为 ． 3．（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，点O为的内心，，点M，N分别为上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形面积是定值；丙：当时，的周长取得最小值．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有甲、乙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 地 城 考点07 动态几何问题（动点、旋转、翻折、对称等） 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的处，当为直角三角形时，的长为 ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为 ． 5．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连接，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是 ． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，点E是上一点，连结，，，，，，将沿翻折得到，若点恰好落在的延长线上，则 ， ． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为 ，的值为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期末解选填压轴题 7大高频考点概览 考点01 二次函数的代数应用 考点02 二次函数的几何应用；新定义题 考点03 传统几何求解问题综合 考点04 重心、内心性质的综合应用 考点05 最值、取值范围问题 考点06 数学活动；命题综合辨析 考点07 动态几何问题（动点、旋转、翻折、对称等） 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ）地 城 考点01 二次函数的代数应用 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点均在二次函数图像上，若则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】依据题意，由二次函数为，从而对称轴是直线x1，又在二次函数上，且，故，则为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意， ∵二次函数为， ∴对称轴是直线， 又∵在二次函数上，且， ∴． ∴为二次函数的顶点． ∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意； 若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意 当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意； 若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（    ） A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征、解二元一次方程组、判断命题的真假，将点的坐标代入抛物线的解析式中，利用因式分解和m、n为整数，进行分类讨论，进而可作出判断． 【详解】解：由题意，①当时，，， 若，则， ∴，即， ∵时，等式不成立， ∴， ∵m，n为整数， ∴若，则，不合题意，舍去； 若，则，不合题意，舍去， 综上，若，则与不可能相等，故①是假命题； ②当时，，， 若，则， ∴，即， ∵时，等式不成立， ∴， ∵m，n为整数， ∴若，则，符合题意； 若，则，符合题意， 综上，若，则与可能相等，故②是真命题； 故选：D． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可． 【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵一次函数经过，一次函数经过． ∴， 当时， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 当时，，， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 故答案为：或5 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，通过函数解析式求出抛物线顶点坐标，可得抛物线运动轨迹，然后通过数形结合求解，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数顶点运动轨迹的方法，通过数形结合方法求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线顶点所在图象解析式为， 当抛物线经过点时，如图， ∴，整理得 解得：； 当抛物线经过点时， ∴， 解得：或， ∴当或时，与线段只有一个公共点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当直线的解析式与抛物线只有一个交点时， 即， 整理得：， 即有，解得：， 综上可知：的取值范围是或或， 故选：． 地 城 考点02 二次函数的几何应用；新定义题 1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将转化为，再过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点P坐标表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知，， 如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M， ∵轴， ∴， ∴． 令，则有，解得， ∴， ∴． 将代入，得：， ∴点C的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， ∴直线的函数解析式为． ∵， 令点P坐标为， 则， ∴ ∴， 则， ∴， 则当时，有最大值为：， 即的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标代入计算即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，则点B纵坐标为1， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时，如图1： ∴， ∴， 当点C在线段延长线上时，如图2： ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， ∴； 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：； 综上，a的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与坐标轴交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式等，求出点C的坐标和直线的解析式，再把点C的坐标代入直线的解析式是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可． 【详解】解：（1）由好点”定义可得：， ∴， 整理得：， ∴或5， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为，， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点A时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ∴， 解得：， ∴c的取值范围为： ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象、勾股定理、旋转及全等三角形，灵活运用以上知识点是解题的关键． 根据题意画出函数图象和旋转后的图象，由旋转的性质构造全等三角形，将转化成全等三角形的对应线段进行求值，最后利用及勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，“4蛋型”抛物线的解析式为，，如图： 设旋转前在原图象的处，连接、、、、，与交于点， 由旋转的性质知，≌，， ∴，， 过点作轴，过点作轴， 则，且， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴ 解得：， 由图知， ∴， ∴，，， ， ∴． 故答案为： ． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，旋转的性质，坐标与图形；以为原点，为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得点的坐标，进而根据题意解一元二次方程，结合图形取舍即可求解． 【详解】解：如图：以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 依题意，，， 取的中点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段． ∴以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得到线段点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，设， 依题意，时，在上，且点在点的左侧时，取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） ∴ 当时，在上，且点在点的右侧时，取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） ∴ ∴ 故答案为：． 地 城 考点03 传统几何求解问题综合 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是运用平方差公式进行化简计算． 设圆心为O，连接，则，则，那么，那么，再化简变形得到，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 则 ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过点作于点，连接、，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，则，于是可计算出，设，，则，，在和中利用勾股定理得到，解方程求出，则，，，，然后求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接、，如图， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 为弧的中点， ，， ， 在中，， ∴ 在中，， ， 设，，则， 在和中， ， 解得， ，，， ， ． 故答案为：B 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得，，继而得到，，得，证明，得，然后在中，由得，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点D是上一点（不与点重合），过点D作交于点E，过点D作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，若已知的面积，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，同底等高的三角形面积相等等知识，相似三角形的判定与性质并证得是关键． 连接，利用平行线的性质可得，由中点性质即可得，再利用三边对应成比例的三角形相似得到，从而得；利用平行线间的距离相等及同底等高的三角形面积相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即已知的面积，则一定能求出的面积， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H， 在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，则，，，根据，可得，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，则，推出为等腰直角三角形，根据三角形的外角和，得到，延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，即，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，得到，最后，，求出；再根据，即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 延长至点，使得，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意推出、、、四点共圆，进而证明、，由对应边的比例即可求得的长． 【详解】解：由题意知，、、、四点共圆， ∴，， ∵，， ∴, ∵， ∴． ∵ ∴， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：B ． 【点睛】本题考查了四点共圆、相似三角形的应用、解直角三角形，掌握相似三角形的证明方法是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知为等腰三角形的外接圆，为劣弧上一点，连接交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键证明．先由勾股定理求得，进而求，再由勾股定理求得，再求，再由勾股定理求，，进而求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 在中，， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， 由勾股定理得，， 设，则， 在和中， ， 解得，即， ， ， ， 即， ， ， 设，则， 在和中， ， 即， 解得，即， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据正切可得，然后运用勾股定理可得；最后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ①当时，过点F作于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴，解得：， ∴； ②当时，连接，过点F作于点G，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为3或． 故答案为：3或． 10．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在中，，，斜边上一点E满足，连结． （1）的长为 ． （2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为 ． 【答案】 或 【分析】（1）过点C作于点D，先求出，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理得，则，然后在中，再由勾股定理可求出的长； （2）根据可知有以下两种情况：①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，则，，先由的面积公式求出，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，进而得由勾股定理可求出，再证明和相似，利用相似三角形的性质可求出，然据此可得的长；②当时，过点B作于点H，则，进而可证明，则，，由①可知，由此可得EF的长综上所述即可得出答案． 【详解】解：（1）过点C作于点D，如图1所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （2）是的一个外角， ， 当点F在射线上，的一个内角与相等时，有以下两种情况： ①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，如图2所示： ， 由（1）可知：，，，，， ， 由的面积公式得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ，， ， ， ， ， ， ； ②当时，过点B作于点H，如图3所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， 由①可知：， 综上所述：的长为或 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于H，由切线的性质推出半径，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由圆周角定理得到，因此，由补角的性质推出，判定，推 ，求出，得到，即可求出的值． 【详解】解：连接，延长交于H， ∵切于点， ∴半径， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三 角形的性质，关键是判定． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ． 【答案】 8 【分析】连接交于点，过点作，由两次勾股定理得，解得，设，则，则，由得到解得：，则半径；由，得到，则，那么，而，则，则，由菱形的对称性可知：，则，即可求解． 【详解】解：连接交于点，过点作， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 设，则， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴半径； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由菱形的对称性可知：， ∴， ∴， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了圆的概念，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】延长至点，过点作，连接、．易证，推出，进而得到，证明，根据，，，求出，即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，过点作，连接、． ∵内接于，， ∴是的直径， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交于点M，N，过点N作交于点D，则四边形与的面积之比是（    ）地 城 考点04 重心、内心性质的综合应用 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的重心、平行四边形的判定和性质等知识点，关键是掌握相似三角形的性质是解题的关键． 如图：连接，延长交于H，由三角形重心的性质得到，，由，推出，，由，推出，由平行四边形的性质推出，得到，由，推出，得到即可解答． 【详解】解：如图：连接，延长交于H， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与的面积之比是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】重心是三角形三条中线的交点，根据点是的重心，可知，所以可得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据旋转的性质可证、根据对顶角相等可得，从而可证，根据相似三角形的性质可得的值． 【详解】解：点是的重心， ，， 又在中，， ， ， ， 由旋转可知：，，， 又， ， ， 由旋转可知：， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、旋转的性质，解决全题的关键是利用重心的定义和旋转的性质找到边之间的关系． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的内心性质，证明，得到，则，进而得到，代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的内心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 地 城 考点05 最值、取值范围问题 1．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，点在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接，先根据垂径定理可得垂直平分，则，，从而可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据圆周角定理可得，然后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接， ∵为的直径，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵都是的直径，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、解直角三角形等知识，作点的对称点并将的最小值转化为线段，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． 2．（21-22九年级下·浙江台州·期末）如图，在中，直径切于点，且，点分别是的中点，点是上一动点，连结，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质、切线的性质及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题关键，延长到点F，使，连接，证明，得出，得出当点P落在线段上时，取最小值，最小值即线段值，作，垂足为点H，证明求出，再利用勾股定理求出结论即可． 【详解】解：延长到点F，使，连接， 在中，直径，则， 点C是中点， ， ， ∵∠POC=∠FOP ， ， ， 当点P落在线段上时，取最小值，最小值即线段值， 作，垂足为点H， 切于点， ， ∠OBD=∠OHE=90°， ， ， ， 点E是中点， ， ， ， 在中，， ， 则的最小值是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接、、、，在中，，则，进而得到当取最大值时，最小，由勾股定理可求出，根据题意证明，从而得到，设，则，得到，求出的最大值，即可求解． 【详解】解：连接、、、，    在中，， ， ， 当取最大值时，最小， ，， ， 又，， ， 即、、共线， 为的切线， ， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， 的最大值为， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，路径最短问题，解题的关键是综合运用这些知识． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆为正方形的外接圆，半径为，点为弧上一点，连接，，，，过点作交于点，过点作于点，当长度最短时，的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，作且，连接，，连接，作的延长线于，则，，三点共线为圆的直径，，由勾股定理得，，证明，则，证明，则，可知在以为圆心，半径为的圆上运动，如图，连接，交于点，由题意知，，此时最短，连接交于点，作于，此时的长即为所求；如图，作于，由，可求，过点作于，证明，则，可求，作于，由，可得，如图，连接，证明，则，然后作答即可． 【详解】解：如图，连接，作且，连接，，连接，作的延长线于， ∵圆为正方形的外接圆， ∴，，三点共线为圆的直径，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在以为圆心，半径为的圆上运动，如图，连接，交于点， 由题意知，，此时最短， 连接交于点，作于，此时的长即为所求； 如图，作于， ∴，即， 解得，， 过点作于， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 作于， ∵， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的外接圆，全等三角形的判定与性质，圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．明确动点的运动轨迹，即确定最短时点的位置是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径，当点在(不与重合)上运动时，，由，得到，进而得到，，由此得到，即可得到是等边三角形，得到，求出，再由求出，即可求出的长的范围，解题的关键是判定是等边三角形，由锐角的正弦求出的长． 【详解】解：如图，作直径，    当点在(不与重合)上运动时，， ∵， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长的范围是， 故选：． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（   ）地 城 考点06 数学活动；命题综合辨析 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形是矩形，，得出，设，，证明用含的式子表示，再根据，推出，，，最后利用勾股定理求出和的长，代入矩形面积计算即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，， ∵，，且这四个三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴ ，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图是学校劳动社团的同学，利用数学知识绘制的社团会徽的草图，设计过程如下：作等腰内接于圆，过点作交于点，交圆于点，过点作于点，于点，连结，测得，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、圆的对称性、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质和三角形面积公式等知识，先利用直径所对的角是直角，得到四边形的面积为，利用勾股定理及相似三角形的判定与性质求出，利用三角形面积公式代值求解即可得到答案，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是圆的直径， ， 由题意，及圆的对称性可知四边形的面积为， 连接，如图所示： 设圆的半径为， 是圆的直径，，， ， 在中，由勾股定理可得，解得， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ，即，则，解得， 在中，由勾股定理可得， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 3．（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，点O为的内心，，点M，N分别为上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形面积是定值；丙：当时，的周长取得最小值．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有甲、乙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】B 【分析】过点O作于点D，E，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明，可得ON=OM，连接OB，根据得到四边形OMBN的面积=2，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值，过点O作于点F，根据，可得，所以的周长= ，可得当ON最小时，即当时，的周长取得最小值，据此解题． 【详解】解：如图， 过点O作于点D，E， 点是的内心， 是的平分线， 在与中， 所以甲的判断正确； 连接OB， 四边形OMBN的面积＝四边形DOEB的面积 点D的位置固定， 四边形OMBN的面积是定值， 所以乙的判断正确； 如图，过点O作于点F， 的周长= 当ON最小时，即当的周长取最小值 此时，MN不垂直于BC，所以丙的判断错误， 综上所述，数法正确的是甲、乙 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内切圆于内心、等腰三角形的判定、余弦、全等三角形的判定与性质，有点难度，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ．地 城 考点07 动态几何问题（动点、旋转、翻折、对称等） 【答案】 【分析】连接交于点M，取中点，连接，证明，推出，即得到点M为定点，由，得到点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，由勾股定理求出，在求出，由，求出，进而求出，利用勾股定理即可求出，进而得解． 【详解】解：连接交于点M，取中点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即得到点M为定点， ∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动， 当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两动点连线经过定点的问题与圆中最值问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形，找到点G的运动轨迹是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】由正方形的性质得 ， 由是的中点，得 ，再分两种情况讨论，一是 ，则，所以 ，则 ，由折叠得 ，则，所以 ，求得，则；二是，设折痕交于点，由，得，则 ，所以由折叠得，则 , 求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】∵四边形是正方形，， ， ， ∵是的中点， ， 如图，为直角三角形，且， 则， ， ， 由折叠得. ， ， ， ； 如图，为直角三角形，且， 设折痕交于点， ， ∴， ， ， ∴， 由折叠得， ， ， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出与或与之间的数量关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，先利用勾股定理求出的斜边长，再由折叠性质求出角度关系及长，最后由相似三角形的判定与性质得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：    在中，，则，且， ， ， 将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即，解得， 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据得到，再以为边构造等边三角形，根据和在等边三角形上找对应的点即可． 【详解】解：如图，取中点，沿翻折，点对应点，取中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴由翻折可得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，取中点，取中点， ∴， ∴， ∵现将线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴点分别与、、重合， 当点与点重合时，， ∴点与点重合时，， ∴点与点重合时，， 故答案为：1或2或． 5．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连接，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是 ． 【答案】 【分析】设交于点，可得，设，则，由，得到，，那么，，设，则，故，则，在中，由勾股定理得，化简得：，继而可求解面积． 【详解】解：设交于点， ∵为直径， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 化简得：， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，计算复杂，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，点E是上一点，连结，，，，，，将沿翻折得到，若点恰好落在的延长线上，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设，由折叠的性质可知，，，，证明，则，，可得，，证明，则是等腰三角形，，，，，则，可求，证明，则，即，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质可知，，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，，， ∴，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，作，根据矩形，折叠的性质，推出为等腰三角形，进而得到，即可得到的值，设，证明，推出的长，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，作， ∵矩形，与关于直线对称， ∴，， ∴，， 平分， ∴， ∵， 平分， ， ， ∴， ∴， ， ∴； ∵，， ∴， 设，则：， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值．掌握矩形和折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $