4.1 线段、射线、直线（第2课时 比较线段的长短）（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024） 七年级数学上册 第四章 基本平面图形 第二课时 比较线段的长短 4.1 线段、射线、直线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握几何事实：两点之间线段最短。能在相关情境中运用其解决实际问题，积累数学活动经验。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义，理解两点之间距离的意义，能度量和表达两点间的距离，发展几何直观感知能力、合情的推理能力以及探究意识。 3.能用尺规作图：作一条线段等于已知线段，培养动手操作的能力。 情景导入 如图，从A地到C地有四条道路，哪条路最近？ ① ② ③ ④ 最近 根据生活经验，我们发现： 两点之间的所有连线中，线段最短。 我们把两点之间线段的长度，叫作 这两点之间的距离。 这一事实可以简述为：两点之间线段最短。 新知探究 下图中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较长？你是怎么比较的？ 怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。 新知探究 如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法进行比较： 一种方法就是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较； 度量法 新知探究 另一种方法是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较（如下图）。 A B C D A B C D C D A B 线段AB大于线段CD 记作AB＞CD 线段AB等于线段CD 记作AB=CD 线段AB小于线段CD 记作AB＜CD 用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上。 课本例题 例 如图，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已知线段 AB。 A B 作法：1.作射线A′C′。 2.用圆规在射线A′C′上截取A′B′=AB。 线段A′B′就是所要作的线段。 A C′ B′ 圆规两只脚的端点分别与端点A，B重合，再保持两脚不动分别移至点A′，B′。 M B A 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点。 尝试.思考 在直线 l 上顺次取 A，B，C 三点，使得 AB = 4 cm，BC = 3 cm。如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 AC 和 OB 的长度分别是多少? 3 cm 4 cm A C B O 解：由题意，得 AC = AB + BC = 7 cm。 因为点 O 是线段 AC 的中点， 所以 OA = AC = 3.5 cm。 1 2 因为 OB = AB – OA， 所以 OB = 4 – 3.5 = 0.5 (cm)。 课堂练习 1. 如图，比较折线 AB 和线段 A′B′ 的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 解：有两种方法：一种方法是用刻度尺量出折线AB中每一条线段的长度，求出它们的长度和；再量出线段A′B′的长度，再进行比较。 另一种方法是将折线AB的端点A与线段A′B′的端点A′重合，用圆规把折线AB中的每一条线段分别顺次地移到线段A′B′上去，再进行比较。 需要的工具有刻度尺、圆规。 2. 如图，已知线段 a 和 b，直线 AB 和 CD 相交于点 O。请用尺规按下列要求作图： （1）在射线 OA，OB，OC 上作线段 OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段 a 相等； （2）在射线 OD 上作线段 OD'，使 OD' 与线段 b 相等； （3）连接 A'C'，C′ B′，B′D′，D′A′。 你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。 a b A B C D O a b A B C D O A′ B′ C′ D′ 解：所得到的图形如图所示，是一个四边形(筝形)。 3. 如图，已知线段 a， b，用尺规作一条线段 m，使 m= a+b. 解：如图所示，线段 m即为所求。 习题 4.1 1.如图，请用两种方式分别表示图中的两条直线。 m n A B O 解：两条直线可分别表示为直线 OA (AO) 或直线 n， 直线 OB (BO) 或直线 m。 2. 如图，已知平面上三点 A，B，C。 （1）画直线AC；（2）画射线 BA；（3）画线段 BC. A B C 解：（1）AB<CD. （2）AB<CD. （3）CD<AD<BC<AB. 3.分别比较图（1）（2）（3）中各条线段的长短. 4. 如图，已知线段 a， b，用尺规作一条线段 c，使 c = b-a. 解:如图，线段c即为所求。 A B C D 5. 如图，已知线段 AB，请用尺规按下列步骤作图： （1）延长线段 AB 到 C，使 BC = AB； （2）延长线段 BA 到 D，使 AD = AC. 如果 AB = 2 cm，那么 AC =____ cm，BD = ____ cm，CD = ____ cm. 4 6 8 6.墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具。如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线。请你解释其中的道理。 解：两点确定一条直线。 解：如图所示，为叙述方便，可以给原图的7根火柴棒编上号，分别去掉原图的火柴棒①②③④⑦，②⑤，②③，①③④，③⑥， ⑥，②③④⑦，③，⑦，就可摆出1,2,3,4, 5,6,7,9,0九个数字. 7.点和线段在生活中有着广泛的应用. （1）如图（1），用 7 根长度相同的小棒可以摆出图中的“8”。你能去掉其中的若干小棒，摆出其他的 9 个数字吗？这种用 7 条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上。 解：如字母B可以用如图所示的图形表示， 其他字母可以自己试一试. （2）点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图，可以在上面的长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． （3）试用点阵显示的方式在纸上做出“强国有我”这四个字。 8.如图，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们，想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？ 解：原四边形的周长大.理由：如图，对于四边形ABCD，设点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上任一点，根据两点之间线段最短可得BE+BF>EF,CF+CG>FG,DG+DH>GH,AE+AH>EH,所以BE+BF+CF+CG+DG+DH+AE+AH> EF+FG+GH+EH. 即AB+BC+CD+DA>EF+FG+GH+EH. 所以原四边形的周长大. 分层练习-基础 知识点1　线段的基本事实 1. 两点之间的所有连线中， 最短.这一事实可以简 述为：两点之间 最短. 线段　 线段　 2. [2024临沂期末]公园中常看到“在草坪上斜踩出一条小路”，请用数学知识解释这一不文明现象，其原因为(　C　) A. 过一点有无数条直线 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 直线外一点与直线上各点之间的连线有无数条 C 知识点2　两点之间的距离 3. 下列说法正确的是(　D　) A. 线段 AB 是 A ， B 两点之间的距离 B. 两点之间的距离是一个正数，也是一个图形 C. 连接两点的射线的长度叫作两点之间的距离 D. 在连接两点的所有线中，最短的一条的长度就是两点之 间的距离 D 4. 点 B 在直线 AC 上，线段 AB ＝5， BC ＝3，则 A ， C 两点 间的距离是(　C　) A. 8 B. 2 C. 8或2 D. 无法确定 C 知识点3　尺规作图——线段 5. [教材P117习题T4变式]如图，已知线段 a ， b . 求作：线段 AD ，使 AD ＝2 a ＋ b . 解：如图，线段 AD 即为所求. 知识点4　比较线段的长短 6. 比较两条线段的长短，我们可以用刻度尺分别测量出它们 的 来比较，即度量法；或者把其中一条线段移到 另一条线段上去，将其中的一个端点 ⁠在一起加以 比较，即叠合法. 长度　 重合　 7. [2024厦门第一中学期末]用圆规比较两条线段A'B'和 AB 的长短(如图)，下列结论正确的是(　 　) A. A ' B '＞ AB B. A ' B '＝ AB C. A ' B '＜ AB D. 不确定 A 8. 在跳绳比赛中，要在两条大绳中挑出一条比较长的绳子用 于比赛，选择的方法是(　A　) A. 把两条大绳一端对齐，然后同方向拉直两条大绳，另 一端在外面的即为长绳 B. 把两条绳子接在一起 C. 把两条绳子重合观察另一端的情况 D. 把两条绳子的一端重合 A 知识点5　线段的中点 9. 把一条线段分成 的两条线段的点，叫作这条线段 的中点. 若点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM ＝ ＝ ，或 AB ＝2 ＝2 ⁠. 相等　 BM 　 AB 　 AM 　 BM 　 10. 已知点 C 在线段 AB 上，则下列条件中，不能确定点 C 是线段 AB 中点的是(　 　) A. AC ＝ AB B. AC ＝ CB C. AB ＝2 CB D. AC ＋ CB ＝ AB D 11. 点 C 是线段 AB 的中点，若 AC ＝2 cm，则 AB ＝ cm. 4　 (2)若 BC ＝2，求 AD 的长. 解：因为 CD ＝2 BC ，所以 BD ＝3 BC . 因为 B 为 AD 的中点，所以 AD ＝2 BD ＝6 BC . 又因为 BC ＝2，所以 AD ＝12. 12. [2024淮安月考]如图，延长 AB 至 D ，使 B 为 AD 的中 点，点 C 在 BD 上， CD ＝2 BC . (1) AB ＝ 　 　 AD ， AB － CD ＝ 　 　 AB ； 　 　 分层练习-巩固 13. [2024保定期末]在线段 MN 上，分别以点 M ， N 为圆 心， c 为半径画弧，交线段 MN 于点 E ， F ，如图所 示，则线段 MF 与线段 NE 的大小关系是(　C　) A. MF ＞ NE B. MF ＜ NE C. MF ＝ NE D. 不能确定 C 14. 如图， C ， D 是线段 AB 上的点，若 AB ＝15， AC ∶ CB ＝1∶2， AD ∶ BD ＝4∶1，则线段 CD 的长度为(　B　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 B 15. 【情境题·生活应用】如图， A ， B ， C ， D 四点分别代表四个居民小区，若 A ， C 两个小区之间的距离为4千米， B ， D 两个小区之间的距离为3千米，现要在四个小区之间建一个供水站 P ，使供水站 P 到 A ， B ， C ， D 四个小区的距离之和最短，那么最短距离为 千米. 7　 16. [2024扬州江都区月考]如图是一张纸条的示意图，第1次 对折，使 A ， B 两点重合后再打开，折痕为 l1；第2次对 折，使 A ， C 两点重合后再打开，折痕为 l2；第3次对 折，使 B ， D 两点重合后再打开，折痕为 l3.已知 CE ＝2 cm，则纸条原长为 cm. 16　 17. 【新考法·分类讨论法】两条线段，一条长6 cm，另一条长10 cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离是 ⁠. 点拨：设较长的线段为 AB ＝10 cm，较短的线段为 BC ＝6 cm，点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BC 的中点. 2 cm或8 cm　 ①当两条线段在重合一端的同侧时，如图①： 由题意，得 BM ＝ AB ＝5 cm， BN ＝ BC ＝3 cm. 所以 MN ＝ BM － BN ＝5－3＝2(cm)； 分两种情况： ②当两条线段在重合一端的异侧时，如图②： 由题意，得 BM ＝ AB ＝5 cm， BN ＝ BC ＝3 cm. 所以 MN ＝ BM ＋ BN ＝5＋3＝8(cm). 所以这两条线段的中点之间的距离是2 cm或8 cm. 18. [教材P117习题T5变式]根据下列语句画图、计算. (1)作线段 AB ，在 AB 的延长线上取点 C ，使 BC ＝2 AB ， M 是 AC 的中点； 解：(1)如图. (2)若 AB ＝5 cm，求 BM 的长. 解：(2)因为 BC ＝2 AB ， AB ＝5 cm，所以 BC ＝10 cm. 所以 AC ＝ AB ＋ BC ＝15 cm. 因为 M 是 AC 的中点，所以 AM ＝ AC ＝ cm. 所以 BM ＝ AM － AB ＝ －5＝ (cm)， 即 BM 的长为 cm. 分层练习-拓展 19. [2024大连九中月考]如图，若线段 AB ＝20 cm，点 C 是线段 AB 上一点，点 M ， N 分别是线段 AC ， BC 的中点. (1)求线段 MN 的长； 解：(1)因为点 M 是线段 AC 的中点，所以 MC ＝ AC . 因为点 N 是线段 BC 的中点，所以 NC ＝ BC . 所以 MN ＝ MC ＋ NC ＝ AC ＋ BC ＝ ( AC ＋ BC )＝ AB ＝ ×20＝10(cm). (2)根据(1)中的计算过程和结果，设 AB ＝ a ，其他条件 不变，请直接写出 MN 的长度并用一句简洁的话描述 你发现的规律. 解：(2) MN ＝ a . 规律：线段上任意一点分线段所得的两条线段的中点之间的距离等于原线段长度的一半. 课堂小结 线段长短的比较与运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 基本作图 $$