第15讲 一元一次不等式组（2大知识点+7大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第15讲 一元一次不等式组 课程标准 学习目标 一元一次不等式组的解法 一元一次不等式组的应用 1.理解一元一次不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法步骤 2.熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题. 知识点01 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的 ,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 【即学即练1】 解不等式组：． 知识点02 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出 的未知数; (3)列:根据题中的 关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【即学即练1】 某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 求不等式组的解集 【典例1】在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【变式2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 题型03 解特殊不等式组 【典例1】定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【变式1】已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 题型04 求一元一次不等式组的整数解 【典例1】若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 由不等式组解集的情况求参数 【典例1】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式1】若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ． 【变式3】若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 题型06 不等式组和方程组结合的问题 【典例1】已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【变式1】若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【变式2】若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【变式3】若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为 ． 题型07 一元一次不等式组应用 【典例1】为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【变式1】某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式2】为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 一、单选题 1．设x、y为实数，且，则的值是（   ） A．2 B．14 C．19 D．22 2．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数x，y满足，且，，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 6．关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 8．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 9．若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍，则较大的锐角的取值范围是 ． 12．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 13．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是 ． 14．如果的三边长分别为，，3，则x的取值范围是 ，的三边长分别为7，5，3，若这两个三角形全等，则 ． 15．关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ． 16．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 17．定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 18．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 三、解答题 19．计算下列不等式： 20．解不等式组，并求出它的正整数解． 21．“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 22．已关于：的方程组，若方程组的解满足均为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 23．某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 24．为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，每台型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水． (1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨； (2)经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于，购买方案有几种？并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？ 25．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解： ，可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______； (2)试解一元二次不等式 (3)试解不等式． 26．已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元一次不等式组 课程标准 学习目标 一元一次不等式组的解法 一元一次不等式组的应用 1.理解一元一次不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法步骤 2.熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题. 知识点01 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 【即学即练1】 解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找．大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②：， ∴， 该不等式组的解集为． 知识点02 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【即学即练1】 某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ 【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元 (2)四种 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组和不等式组是解答关键． （1）先设甲型号手机每台售价为元，乙型号手机的每部进价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设甲型号手机每台售价为元，乙型号手机的每部进价为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元； （2）解：设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部， 根据题意，得： ， 解得：， 为整数， 取或或或， 则进货方案有如下四种： 方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部． 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【变式1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 题型02 求不等式组的解集 【典例1】在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集等知识．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示解集如下； 故选：A． 【变式1】解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】，或 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先分别求出每个不等式的解集，然后求出整个不等式组的解集，最后从中筛选出非负整数解即可． 【详解】解：， 对于，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 对于，移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式组的解集为， 该不等式组的非负整数解为或． 【变式2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 题型03 解特殊不等式组 【典例1】定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 【变式1】已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组无解得出k的取值范围，进而解答即可． 此题考查命题问题，关键是根据不等式组无解得出k的取值范围． 【详解】解：解不等式 可得：， ∵关于x的不等式无解， 所以：， 解得：， 故这个命题是假命题的反例是， 故选：A． 【变式2】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 题型04 求一元一次不等式组的整数解 【典例1】若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 【变式1】若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：，即， ∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴的取值范围为：， 故选：D． 【变式2】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 题型05 由不等式组解集的情况求参数 【典例1】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式1】若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键． 求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有解，， ∴． ∴． 故选：B． 【变式2】已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到，再根据不等式组的整数解仅为得到，再把原分式化简，最后代值计算即可． 【详解】解：解不等式组得． ∵不等式组的整数解仅为1，2，3，且为整数， ∴， ∴． 当时，原式， 故答案为：． 【变式3】若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少有3个整数解，， ∴， ∴， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴是整数，且， ∴或或， ∴或或或或， ∴符合题意的a的值有，，0， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 题型06 不等式组和方程组结合的问题 【典例1】已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出不等式组，从而求出m的范围． （2）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出的范围，结合（1）中的范围，即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵为负数，为非正数， ， 解得：． （2）解：解不等式得， ， ， ， ， 或． 【变式1】若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 先根据方程组得出，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定，得到整数a为，，求和即可． 【详解】解：关于x，y的方程组 得 ∵， ∴， ∴， 关于x的不等式组， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴整数a为，，其和为， 故答案为：． 【变式2】若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点． 先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得． 【详解】解：解不等式， 去分母得：， 移项合并同类项得：， ∵的解集为， 由“同小取小”得：； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：， 移项合并同类项得：， ∵分式方程有正整数解， ， ， ， ∴满足条件的整数可以取7，6，4，其和为． 故答案为：17． 【变式3】若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解一元一次不等式组与一元一次方程方程综合，先解关于x的不等式组，根据该不等式组的解的情况得到关于a的不等式组，求出解集，再根据关于y的方程的解为整数，得出为偶数，由此列出所有满足条件的整数a，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组有解且最多有3个奇数解， 3个奇数解为， ， 解得； 解y的方程，得， 该方程的解为整数， 为整数， 为偶数， 满足条件的整数a为：、、0、2或4， 所有满足条件的整数a的个数为：， 故答案为：5． 题型07 一元一次不等式组应用 【典例1】为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【变式1】某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)能，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台或采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 应为整数， 或 当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台； 当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台． 【变式2】为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 【答案】(1)甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元 (2)一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元，根据3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，购买1套甲模型和2套乙模型共需80元列出方程组求解即可； （2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套，根据总费用不超过1220元且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元； （2）解：设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为28或29或30， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 一、单选题 1．设x、y为实数，且，则的值是（   ） A．2 B．14 C．19 D．22 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，化简绝对值，解题的关键是熟知算术平方根的非负性． 根据算术平方根的非负性求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则． ∴． 故选：B． 2．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．在组合三角形的时候，注意较小的2边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 【详解】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根， 根据三角形的三边关系定理得到： 得到：，，， 又因为，是整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5． 则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2． 因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3． 故选：C． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后观察各选项即可． 【详解】解： 由①，得， 由②，得， 故原不等式组的解集是， 故选：C． 4．已知实数x，y满足，且，，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式性质的运用，二元一次方程中一个字母表示另一个字母，先把变形为，由，得到，结合已知条件得到，从而把转化为，即可求出的范围． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 又， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次不等式组，根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 解不等式①得， 解不等式②得，， 则x的取值范围是． 故选：B． 6．关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集，再根据原不等式组只有三个整数解建立关于k的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组恰有三个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 7．已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解，代数式求值，先解不等式组得到，再根据不等式组的解集为得，，据此即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式得 ，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， ∴， 故选：． 8．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用．设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，然后即可列出相应的不等式组． 【详解】解：设有x人，则苹果有个， 由题意得：， 故选：C． 9．若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负性的性质，解不等式组，解二元一次方程组，由题意得出，则，，又，，从而求出，则的最大值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 10．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 二、填空题 11．已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍，则较大的锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形的内角和，不等式，要灵活掌握三角形的内角和，然后根据题意得出所求的答案． 若较大的锐角为度，则较小的锐角为度，那么这两个锐角的和为度，钝角三角形中两锐角的和的取值范围为度． 【详解】解：根据题意列出不等式， 化简后得出， 则较大的锐角的取值范围是， 故答案为：． 12．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，根据其整数解的个数得出关于m的不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 关于的不等式组恰好有3个整数解， 即整数解是4，5，6， ， 解得， 故答案为：． 13．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查其它不等式的解法，由题意分类讨论的范围，先判断时满足条件，当时，再根据，求出的范围即可． 【详解】 解：∵关于的不等式组 的解集有解， ， 当时，满足不等式组 的解集有解； 当时，不等式组 即 ， ∵它有解集， ， 解得， 综上可得，的范围为或， 故答案为：或． 14．如果的三边长分别为，，3，则x的取值范围是 ，的三边长分别为7，5，3，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】 ； 3 【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式组，全等三角形的性质．利用三角形三边关系得到不等式组，解不等式组即可求解；根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x的值判断即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴x的取值范围是； ∵与全等， ∴且，或且， 解得：， 故答案为：． 15．关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，先根据不等式的性质求解，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解决，再根据仅有两个整数解进行判定，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组仅有两个整数解， ∴， 故答案为： ． 16．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识，根据题意确定的取值范围是解题的关键．首先根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，结合题意可得，且，进而可得且；再解不等式组，可得，根据该不等式组有且只有3个整数解，即可确定的取值范围，进一步确的整数解，即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，可得 ， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵关于的方程有正整数解， ∴，且， 解得且， 解不等式组， 可得， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解， ∴，解得， ∴且， 又∵关于的方程有正整数解，即为正整数， ∴的整数解为，， ∴有整数的和为． 故答案为：． 17．定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据题意得出，即，据此可得，解之即可，解题的关键是根据新定义列出关于的不等式组． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴则， 解得：， 故答案为：． 18．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【答案】5 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 三、解答题 19．计算下列不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．解不等式组，并求出它的正整数解． 【答案】，正整数解为1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组等知识点，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集，然后求出它的正整数解即可，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解为1，2． 21．“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元 (2)共有种购买方案：方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 【分析】（）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意列出方程组即可求解； （）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意得，， 解得， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元； （2）解：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意得，， 解得， ∵为正整数， ∴可以为， ∴共有种购买方案： 方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 22．已关于：的方程组，若方程组的解满足均为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先求出方程组的解，再根据均为负数得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据（）所得的取值范围及绝对值的性质化简即可； 本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，绝对值化简，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足均为负数， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴，， ∴． 23．某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 【答案】(1)400元，300元 (2)采购方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元，根据采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元，列出方程组，求解即可； （2）设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤，根据该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的茶叶每斤是400元，乙型号的茶叶每斤是300元； （2）解：设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，11，12， 该茶店有3种采购方案： ①采购甲型号的茶叶10斤，乙型号的茶叶20斤； ②采购甲型号的茶叶11斤，乙型号的茶叶19斤； ③采购甲型号的茶叶12斤，乙型号的茶叶18斤． 24．为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，每台型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水． (1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨； (2)经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于，购买方案有几种？并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？ 【答案】(1)每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨； (2)有三种购买方案，其中买13台，B买7台需要的资金最少，最小值为226万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键． （1）根据题意列方程组，解方程组即可； （2）根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值． 【详解】（1）解：设每周每台，两种污水处理设备分别可以处理污水吨和吨， 根据题意，得， 解得， 每周每台种污水设备处理污水240吨，种污水设备处理污水200吨； （2）解：设购买种污水设备台，则购买种污水设备台， 根据题意，得， 解不等式组，得， 因为a为正整数，所以有三种购买方案， 当时，买13台，买7台； 当时，买14台，买6台； 当时，买15台，买5台． 每台型污水处理设备12万元，每台型污水处理设备10万元， 买的越少，资金越少， 买13台，买7台需要的资金最少， 最小值为万元． 25．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解： ，可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______； (2)试解一元二次不等式 (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． （1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用十字相乘法对不等式进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：， ∴ 或 ， 解得：或； （2）解：∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ②， 解不等式组①，得； 解不等式组②，； ∴的解集为得或， 即一元二次不等式的解集为：或； （3）解：由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得； 解不等式组②，无解， ∴的解集为． 26．已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了新定义，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义得到关于、的方程组，解方程组求出与的值即可； （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，建立关于c的不等式组，求解，即可得出的范围． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：． （2）解：由题意得， 解得：． 要使恰有3个整数解，必有， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$