第12讲 实数（3大知识点+7大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第12讲 实数 课程标准 学习目标 实数的有关概念 1.了解实数的概念和实数的分类 2.掌握实数的运算律和运算性质，会比较两个实数的大小; 知识点01 实数的概念及分类 概念:有理数和 统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2)按性质分:正实数、零、负实数, 【即学即练1】 课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______． (2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内． 知识点02 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上 的一个点来表示; (2)数轴上的每一个点都可以表示 的一个实数. 【即学即练1】 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 知识点03 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、 和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【即学即练1】 计算： (1) (2) 题型01 实数概念理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 题型02 实数的分类 【典例1】把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【变式1】将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 【变式2】把下列各数分别填入相应的集合里． ，0，，227，，，， (1)正有理数集合：{         …} (2)无理数集合：{         …} (3)非负整数集合：{         …} (4)分数集合：{         …} 题型03 实数的性质 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1】下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【变式2】在下列说法中①是的平方根；②的立方根是；③的算术平方根是5；④带根号的数都是无理数；⑤0的相反数和倒数都是0；⑥；⑦已知是有理数，则； 说法正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 实数的大小比较 【典例1】写出一个比6大的无理数： ． 【变式1】比大小： ， ． 【变式2】比较大小： （填“”“”“”） 题型05 实数的混合运算 【典例1】计算： ． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 题型06 程序设计与实数运算 【典例1】如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【变式2】如图，输入，则输出的值为 ． 题型07 新定义下的实数运算 【典例1】如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作，例如，，，那么，，其中，例如，，，，现有，则x的值为 ． 【变式1】规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么， ． 【变式2】规定，求： (1)求的值； (2)若，求的值． 一、单选题 1．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．估算的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 3．如图，实数、在数轴上的位置，化简：（   ） A．0 B． C． D． 4．若，且、是两个连续整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 6．定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①，②，③若，则，④若，则或， 其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 7．估算的范围正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列数是有理数的是（    ） A．π B． C． D． 9．下列说法其中正确的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根． A．0 B．1 C．2 D．3 10．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11． ， ， ． 12．对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 13．计算： ． 14．的整数部分是 ，小数部分是 ． 15．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 16．大于且小于的所有整数有： ． 17．数字“8”在古代深受古人喜爱，由于释迦牟尼的生日是中国农历的四月初八，古人们更加崇拜“8”字．后又“8”的谐音为“发”，与发财致富有关，所以，“8”成为了我们中国人口中最吉利的数字．若一个正整数各数位上的数字之和为8，且这个数能被8整除，我们就称这个数为“发财数”．例如：数字2024，因为，且，所以2024是“发财数”．1232 “发财数”（填是或不是），求所有三位“发财数”的和是 ． 18．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为： 三、解答题 19．选择下列这组数中适当的数，填写在相应的集合里． ，，4.3，5，，， 整数集合： ； 正分数集合： ； 无理数集合： ． 20．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 21．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 22．（1）计算：； （2）解方程：． 23．已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分． (1)求a， b， c的值； (2)求的立方根． 24．实数，，在数轴上的对应点的位置如下图所示．    (1)用“” “”或“”填空：________0，________0，________0； (2)化简：． 25．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以43和68与34和86都是“幸福数对”． (1)请判断32与69是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出理由； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 实数 课程标准 学习目标 实数的有关概念 1.了解实数的概念和实数的分类 2.掌握实数的运算律和运算性质，会比较两个实数的大小; 知识点01 实数的概念及分类 概念:有理数和无理数统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2)按性质分:正实数、零、负实数, 【即学即练1】 课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______． (2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内． 【答案】(1)甲 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键． （1）根据无理数的概念即可判断； （2）根据实数相关概念填空即可． 【详解】（1）解：是有理数，和是无理数， 说错的是甲， 故答案为：甲； （2），， 知识点02 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示; (2)数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数. 【即学即练1】 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 知识点03 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、运算顺序和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【即学即练1】 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算： （1）先计算算术平方根和乘方，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 实数概念理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 题型02 实数的分类 【典例1】把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，， 【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 【变式1】将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 【变式2】把下列各数分别填入相应的集合里． ，0，，227，，，， (1)正有理数集合：{         …} (2)无理数集合：{         …} (3)非负整数集合：{         …} (4)分数集合：{         …} 【答案】(1) (2)， (3)0，227 (4)，， 【分析】本题考查了有理数的分类：整数和分数的统称；有理数还可以分为0和正有理数、负有理数，据此作答即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{…} （2）解：无理数集合：{，} （3）解：非负整数集合：{0，227…} （4）解：分数集合：{，，…} 题型03 实数的性质 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可． 【详解】解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】在下列说法中①是的平方根；②的立方根是；③的算术平方根是5；④带根号的数都是无理数；⑤0的相反数和倒数都是0；⑥；⑦已知是有理数，则； 说法正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，无理数的定义，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键． 对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可判断①②③④⑥⑦，根据0没有倒数即可判断⑤． 【详解】解：①是的平方根，原说法错误； ②的立方根是，原说法错误； ③的算术平方根是5，原说法正确； ④带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，原说法错误； ⑤0的相反数是0，但是0没有倒数，原说法错误； ⑥，原说法错误； ⑦已知是有理数，则，原说法正确； ∴说法正确的有③⑦，共2个， 故选：B． 题型04 实数的大小比较 【典例1】写出一个比6大的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．根据无理数、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：， ，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】比大小： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的的大小比较，根据负数比较大小，其绝对值大的反而小可得；先分别确定和的正负，再根据正数都大于负数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，． 【变式2】比较大小： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数大小比较，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．由可得再得到从而可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型05 实数的混合运算 【典例1】计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，根据分别计算两个立方根，再求和即可得到答案． 【详解】解：原式    故答案为： 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算． 【详解】解： 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、平方根及立方根的定义是解题的关键，原式利用平方根和立方根定义及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解： ． 题型06 程序设计与实数运算 【典例1】如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当为64时，是有理数， 当时，为无理数，输出， 故答案为：． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 【变式2】如图，输入，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规则输入，逐步运算即可． 【详解】解：输入，可得， ∴， 再输入得：， ∴此时输出， 故答案为：． 题型07 新定义下的实数运算 【典例1】如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作，例如，，，那么，，其中，例如，，，，现有，则x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论，根据把不超过x的最大整数记作，且可知为整数，再由可知或或，再由得出，最后将或或的值分别代入求值即可． 【详解】不超过x的最大整数记作，， 为整数， ， 或或， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 或或． 故答案为：或或． 【变式1】规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义分别计算出的结果，再求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】规定，求： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题是定义新运算的题目，需结合同底数幂的乘法法则、解一元一次方程的知识解答； （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得，可得，求出x的值即可． 【详解】（1）由题意得： （2）由题意得： ∴，解得： 一、单选题 1．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是5． 故选C． 2．估算的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：A． 3．如图，实数、在数轴上的位置，化简：（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，由数轴得到，，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 4．若，且、是两个连续整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，且、是两个连续整数， ∴，， ∴， 故选：． 5．估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小用夹逼法是解答此题的关键． 根据夹逼法得出的范围，继而得出的范围． 【详解】， ， ， 的值在整数4到5之间． 故选：B． 6．定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①，②，③若，则，④若，则或， 其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解答的关键是理解有理数的混合运算法则，理解新定义的运算法则． ①根据新定义的运算法则，将代入计算进行判定求解． ②由新定义的运算法则，分别表示出和，根据和两种情况来进行判定求解． ③利用新定义的运算法则，把进行计算，再将求出结果来进行判定求解． ④由新定义的运算法则和得到，进而求出和的值来判定求解． 【详解】解：， ，故①符合题意； ，， 当时，， 当时，， 与不一定相等，故②不符合题意； ， ， 故③不符合题意； ， ， 或， 即或， 故④符合题意， 综上所述结论正确的序号有：①④． 故选：A． 7．估算的范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．根据无理数的估算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8．下列数是有理数的是（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，根据题意，有理数是有限循环小数，由此即可求解． 【详解】解：A、是无限不循环小数，不是有理数，不符合题意； B、是开不尽方的数，不是有理数，不符合题意； C、是开不尽方的数，不是有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，符合题意； 故选：D ． 9．下列说法其中正确的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，无理数，平方根和立方根，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的；故①正确； 无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数，故②错误； 16的平方根是，用式子表示是，故③错误； 负数有立方根，故④错误； 故选B． 10．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【详解】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 11． ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、无理数的大小比较、去括号法则，先确定出，从而确定，，再根据绝对值的代数意义进行化简；解题的关键是确定，理解：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：；；． 12．对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握题中的新定义的运算法则是解本题的关键．根据题中的新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故 答 案 为 ：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂进行计算即可，掌握负整数指数幂和零指数幂是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是根据完全平方数和算术平方根的定义得到，即可得出的整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是：． 故答案为：；． 15．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据可得的小数部分，进而得出的小数部分与的小数部分相同，然后确定与的小数部分相同，可得a，b，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴， ∴ ． 故答案为：5． 16．大于且小于的所有整数有： ． 【答案】，0，1，2 【分析】本题考查了无理数的估算，对无理数正确估算是解题的关键：分别估算出、的范围，则可得的范围，从而确定大于且小于的所有整数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴大于且小于的所有整数有，0，1，2． 答案：，0，1，2． 17．数字“8”在古代深受古人喜爱，由于释迦牟尼的生日是中国农历的四月初八，古人们更加崇拜“8”字．后又“8”的谐音为“发”，与发财致富有关，所以，“8”成为了我们中国人口中最吉利的数字．若一个正整数各数位上的数字之和为8，且这个数能被8整除，我们就称这个数为“发财数”．例如：数字2024，因为，且，所以2024是“发财数”．1232 “发财数”（填是或不是），求所有三位“发财数”的和是 ． 【答案】 是 2128 【分析】本题考查了新定义，数的整除，熟练掌握知识点是解的关键． ①根据定义直接验证即可； ②若一个三位数是“发财数”，则百位数必定小于等于8，且个位数为偶数．设该三位数十位上的数是a，个位数是b，按照百位数等于8，7，6，5，4，3，2，1进行讨论计算即可． 【详解】解：①∵，， ∴1232是“发财数”， 故答案为：是； ②若一个三位数是“发财数”，则百位数必定小于等于8，且个位数为偶数． 设该三位数十位上的数是a，个位数是b，当百位数等于8时，，故，而800能被8整除，故800是“发财数”； 当百位数等于7时，，故且或者且，而710和701都不能被8整除，所以它们都不是“发财数”； 当百位数等于6时，，要求b为偶数，所以或，当时，；当时，；经计算602不能被8整除，620不能被8整除，即602、620不是“发财数”； 当百位数等于5时，，要求b为偶数，所以或，当时，；当时，；经计算530不能被8整除，512能被8整除，即530不是“发财数”，512是“发财数”； 当百位数等于4时，，要求b为偶数，所以或或，当时，；当时，；当时，；经计算422、404不能被8整除，440能被8整除，即422和404不是“发财数”，440是“发财数”； 当百位数等于3时，，要求b为偶数，所以或或，当时，；当时，；当时，；经计算332、350、314不能被8整除，即350、332和314不是“发财数”； 当百位数等于2时，，要求b为偶数，所以或或或，当时，当时，；当时，；当时，；经计算242、260和206不能被8整除，224能被8整除，即242、260和206不是“发财数”，224是“发财数”； 当百位数等于1时，，要求b为偶数，所以或或或，当时；当时，；当时，；当时，；经计算116、134和170不能被8整除，152能被8整除，即116、134和170不是“发财数”,152是“发财数”； 综上所述，三位“发财数”共有如下几个： 800，512，440，224，152， ∴所有三位“发财数”的和是， 故答案为：2128． 18．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为： 【答案】①②③ 【分析】本题考查实数的运算，根据a，b，c不全为无理数，得到三个数至少有一个是有理数，分种情况进行讨论，判断即可． 【详解】解：∵a，b，c不全为无理数， ∴a，b，c至少一个有理数， 当a，b，c有1个有理数时，不妨设为有理数，则：均为无理数，可能为有理数（互为相反数时），也可能是无理数， 当a，b，c有2个有理数时，不妨设为无理数，则：为无理数，为有理数， 当a，b，c都是有理数时，三个数都是有理数， 故①②③说法正确，④说法错误． 故答案为：①②③． 三、解答题 19．选择下列这组数中适当的数，填写在相应的集合里． ，，4.3，5，，， 整数集合： ； 正分数集合： ； 无理数集合： ． 【答案】5，；4.3，； 【分析】本题考查实数的分类，整数包括正整数、负整数、零；分数包括正分数、负分数；无理数是无限不循环小数；根据定义分类即可． 【详解】解：整数集合：； 正分数集合：； 无理数集合：． 20．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 21．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 22．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）5（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和利用平方根的性质解方程． （1）先求方法根，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，然后进行加减运算即可． （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∴， 23．已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分． (1)求a， b， c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此可求出a、b的值，再估算出即可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的立方根为． 24．实数，，在数轴上的对应点的位置如下图所示．    (1)用“” “”或“”填空：________0，________0，________0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置判断断式子的符号，有理数加减法法则，绝对值意义，整式加减运算． 根据点在数轴上的位置得出，是解题的关键． （1）由点在数轴上的位置得出，，再根据有理数加减法法则得出答案； （2）由点在数轴上的位置可得出，，，再根据绝对意义求解即可． 【详解】（1）解∶由数轴知∶ ，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知：，， ∴，， ∴ ． 25．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以43和68与34和86都是“幸福数对”． (1)请判断32与69是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出理由； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)32与69是“幸福数对”，理由见解析． (2)，理由见解析 (3)36和84． 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）分别计算出和的结果，再根据“幸福数对”的定义进行判断即可； （2）分别求出和的结果，再根据“幸福数对”的定义可得，据此求解即可； （3）根据（2）的结论可得，解方程得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：32与69是“幸福数对”，理由如下： ，， ， 32与69是“幸福数对”； （2）解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解；由（2）可得 ∴ 解得， ∴，，，， 这两个两位数分别为：36和84． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$