4.2 线段、射线、直线（4个知识点+7个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

4.2 线段、射线、直线 课程标准 学习目标 ①通过实物和模型，了解小物体抽象出来的直线和点等概念 ②掌握基本事实:两点确定一条直线 1.理解线段、射线、直线的概念和意义以及区别和联系； 2.掌握线段、射线直线的不同表示方法； 3.了解两点确定一条直线的几何事实 知识点01 直线 ·概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． ·表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如左图所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如右所示，可以表示为直线． 【即学即练1】如下图，直线的表示方法正确的是（    ） ①   ②   ③    ④ A．都正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．都不正确 ·基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线 【即学即练2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是 （   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．以上说法都不对 ·点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如左图所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如右图所示，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 【即学即练3】如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 知识点02 射线 ·概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． ·特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ·表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 【即学即练4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （2）直线l还可以表示为 ． ·易错提示： 端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图，射线OA，射线OB是不同的射线． 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图，射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 知识点03 线段 ·概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． ·表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，记作：线段AB或线段BA． （1）线段也可用一个小写英文字母来表示，记作：线段a． ·线段的性质：两点之间，线段最短 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，小军同学用剪刀沿虚线将一半圆形纸片剪掉右上角，发现剩下图形的周长比原半圆的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【即学即练6】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）小王准备从地去往地：如图，导航提供的三条可选路线长分别为131、108、128；但实际、两地之间的距离为．请你试着说明“导航提供的三条路线长度都大于”这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 知识点04 直线、射线、线段的作图描述 根据①射线、直线无法度量，线段可以度量；②射线有方向，直线、线段没有方向两个原则进行作图描述 【即学即练7】下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 ·直线、射线、线段的区别与联系 【题型一：概念辨析与几何表述】 例1．如图，有下列结论：①以点为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线，，的端点相同．其中正确的结论是（    ） A．②④ B．③④ C．②③ D．①③ 变式1.下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AB=BC，则B为线段AC的中点，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2.下列图形和相应语言描述错误的是（    ） A． 过一点可以作无数条直线 B． 点P在直线外 C． 延长线段，使 D． 延长线段至点C，使得 【题型二：直线、射线、线段的联系与区别】 例3．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【方法技巧与总结】 【题型三：点与线的位置关系】 例4．平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 【方法技巧与总结】根据描述作图解决问题 【题型四：直线、线段、射线的数量问题】 例5．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中以为一个端点的线段共有（   ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 变式5．如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 例6.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 【方法技巧与总结】根据线段、射线、直线的定义，按照一定顺序数出相应线段、射线、直线的数量 【题型五：直线相交的交点个数问题】 例7．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 变式7-1．（22-23六年级下·山东泰安·期中）在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 变式7-2．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　） A．6 B．11 C．7 D．17 【方法技巧与总结】n条直线相交最多有个交点 【题型六：线段的应用】 例8．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 例9．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【题型七：作射线与最短距离问题】（4.3线段的长短学习之后） 例10．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 变式10-1．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）请根据要求作图： (1)在图中作线段； (2)在图中作射线； (3)在图中取一点P，使点P到四个点的距离之和最小． 变式10-2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是 ． 一、选择题 1．（22-23六年级下·山东东营·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以度量 B．直线比射线长 C．延长线段到点 D．射线与射线是同一条射线 2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5.如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 6．直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（　　） A．B． C． D． 7．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列生活生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④高速公路上，修建穿越大山的笔直隧道．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 二、填空题 8．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）平面上6条直线两两相交，最多有 个交点． 9．如图，在不添加字母的情况下，可以用字母表示出来的不同线段和射线有 条线段， 条射线. 10．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 三、解答题 11．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）已知在线段上． (1)如图，图中共有___________条线段； (2)如图，若．．且，求的长度． 12.（23-24七年级上·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 13.如图所示，点P是线段上任意一点， cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动时间为ts．    (1)若cm： ①两点运动1s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：； (2)当s时，cm，试探索的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 线段、射线、直线 课程标准 学习目标 ①通过实物和模型，了解小物体抽象出来的直线和点等概念 ②掌握基本事实:两点确定一条直线 1.理解线段、射线、直线的概念和意义以及区别和联系； 2.掌握线段、射线直线的不同表示方法； 3.了解两点确定一条直线的几何事实 知识点01 直线 ·概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． ·表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如左图所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如右所示，可以表示为直线． 【即学即练1】如下图，直线的表示方法正确的是（    ） ①   ②   ③    ④ A．都正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】用直线的表示方法解答，通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示． 【详解】∵通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示，例直线AB，直线a． 故选C． 【点睛】本题考查了几何中直线的表示方法，是最基本的知识． ·基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线 【即学即练2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是 （   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．以上说法都不对 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． ·点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如左图所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如右图所示，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 【即学即练3】如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 【答案】D 【知识点】点与线的位置关系 【分析】题考查直线、线段、射线的画法，解题的关键是根据点与直线的位置关系进行判断得出答案． 【详解】解：①点O在直线m上，说法正确； ②点O在直线n上，说法正确； ③点O在直线m上，也在直线n上，说法正确；             ④直线m经过点O，说法正确； 故选D． 知识点02 射线 ·概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． ·特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ·表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 【即学即练4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （2）直线l还可以表示为 ． 【答案】2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据射线概念即可求得答案； （2）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （2）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． ·易错提示： 端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图，射线OA，射线OB是不同的射线． 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图，射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 知识点03 线段 ·概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． ·表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，记作：线段AB或线段BA． （1）线段也可用一个小写英文字母来表示，记作：线段a． ·线段的性质：两点之间，线段最短 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，小军同学用剪刀沿虚线将一半圆形纸片剪掉右上角，发现剩下图形的周长比原半圆的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短 【分析】此题主要考查线段的性质，根据两点之间，线段最短解答． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：A． 【即学即练6】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）小王准备从地去往地：如图，导航提供的三条可选路线长分别为131、108、128；但实际、两地之间的距离为．请你试着说明“导航提供的三条路线长度都大于”这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案． 【详解】解：“导航提供的三条路线长度都大于”这一现象的数学知识是“两点之间，线段最短”． 故选：A． 知识点04 直线、射线、线段的作图描述 根据①射线、直线无法度量，线段可以度量；②射线有方向，直线、线段没有方向两个原则进行作图描述 【即学即练7】下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． ·直线、射线、线段的区别与联系 【题型一：概念辨析与几何表述】 例1．如图，有下列结论：①以点为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线，，的端点相同．其中正确的结论是（    ） A．②④ B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点为端点的射线共有3条，故该结论错误，不符合题意； ②射线和射线不是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ③直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意； ④射线，，的端点相同，故该结论正确，符合题意， 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故选：B 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 变式1.下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AB=BC，则B为线段AC的中点，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平行线、相交线等相关知识解答． 【详解】①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点确定一条直线，此结论错误； ②射线AB与射线BA的起点不同、方向不同，不是同一射线，此结论错误； ③若AB=BC，则B不一定是线段AC的中点，此结论错误； 【点睛】本题主要考查了射线，解题的关键是熟记射线的定义． 例2.下列图形和相应语言描述错误的是（    ） A． 过一点可以作无数条直线 B． 点P在直线外 C． 延长线段，使 D． 延长线段至点C，使得 【答案】C 【分析】依据过一点可以做无数条直线、点和直线的位置关系、线段的概念即可作出判断． 【详解】解：C、延长线段应改为反向延长线段，故选项说法错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了过一点可以做无数条直线、点和直线的位置关系、线段的概念等知识点，区分延长线段和反向延长线段是解题的关键． 【题型二：直线、射线、线段的联系与区别】 例3．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选A． 【方法技巧与总结】 【题型三：点与线的位置关系】 例4．平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 【答案】A 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据，，，有进行判断即可． 【详解】解：如图，在平面内，， ∵，， ∴点C为以A为圆心，6为半径，与以B为圆心，4为半径的两个圆的交点， 由于， 所以，点C在线段上， 故选：A．    【方法技巧与总结】根据描述作图解决问题 【题型四：直线、线段、射线的数量问题】 例5．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中以为一个端点的线段共有（   ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】根据线段的定义即可判断．本题主要考查线段的概念，关键是要牢记线段的定义． 【详解】解：以为端点的线段有、、，共三条， 故选：B． 变式5．如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有1条直线， 图中的线段有，，，共3条， 以点、、分别为端点的射线，共6条， 故选：C 【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏． 例6.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 【答案】3 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线，根据直线的特点在图中画出满足条件的直线，即可作答． 【详解】作图如下： 经过同色的三点可以画3条直线， 故答案为：3． 【方法技巧与总结】根据线段、射线、直线的定义，按照一定顺序数出相应线段、射线、直线的数量 【题型五：直线相交的交点个数问题】 例7．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 变式7-1．（22-23六年级下·山东泰安·期中）在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【答案】A 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 变式7-2．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　） A．6 B．11 C．7 D．17 【答案】C 【分析】4条直线两两相交，有3种位置关系，画出图形，求出m、n的值，再代入进行解答． 【详解】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示： 则交点有1个，或4个，或6个． 故， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，直线相交的交点个数，解题的关键是掌握直线相交的交点个数，不重不漏． 【方法技巧与总结】n条直线相交最多有个交点 【题型六：线段的应用】 例8．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 【答案】B 【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S， ∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上， ∵PS的延长线在区域② ∴点Q在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 例9．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【知识点】线段的应用、直线、线段、射线的数量问题 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 【题型七：作射线与最短距离问题】（4.3线段的长短学习之后） 例10．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据基本作图方法即可画直线，画射线，连接； （2）延长线段到E，利用尺规使，可得； （3）连接线段交于点P，根据两点之间线段最短可得的值最小． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求： （3）解：如图，点P即为所求． 变式10-1．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）请根据要求作图： (1)在图中作线段； (2)在图中作射线； (3)在图中取一点P，使点P到四个点的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了直线，射线，线段的作图，以及两点之间线段最短，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键． （1）根据线段的特征作图即可； （2）根据射线的特征作图即可； （2）根据两点之间线段最短解答即可． 【详解】（1）如图，线段为所作； （2）如图，射线为所作； （3）如图，点P为所作． 变式10-2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；两点之间线段最短 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了画直线，射线，线段和两点之间线段最短： （1）根据线段的画法画图即可； （2）根据直线和射线的画法画图即可； （3）根据两点之间线段最短连接交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，连接交于点P，点P即为所求，画图依据是两点之间线段最短． 一、选择题 1．（22-23六年级下·山东东营·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以度量 B．直线比射线长 C．延长线段到点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】根据直线、射线、线段的定义可判断选项是否符合题意． 本题考查了直线、射线、线段的定义，关键是掌握直线、射线、线段的定义． 【详解】解：A、直线长度无法度量，故选项不符合题意； B、直线和射线都无法度量，故选项不符合题意； C、延长线段到点，说法正确，故选项符合题意； D、射线与射线端点不同，不是同一条射线，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段的应用 【分析】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票． 【详解】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有种． 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键；经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是：两点确定一条直线， 故选： 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，从两点之间起到的作用，用途出发，试想一个点会不会达到如此的效果即能判断．①根据两点确定一条直线的性质即可求解；②对，两点之间线段最短，减少了距离；③对，两点之间线段最短，减少了距离． 【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，符合题意； ③两点之间线段最短，减少了距离，符合题意． 故选：C． 5.如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D， E表示，数出利用上述五点为端点的线段条数即可． 【详解】解：设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D， E表示，则共有线段：、、、、、、、、、，共10条，， ∴要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线，要注意单程票，切记理解成往返车票而出错． 6．直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线没有尽头，是向两方无限延伸的，射线可以向一方无限延伸，线段不能向两方无限延伸进行判断即可得． 【详解】解：A、线段与射线不能相交，则此项不符合题意； B、直线与射线能相交，则此项符合题意； C、射线与直线不能相交，则此项不符合题意； D、直线与线段不能相交，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线的概念和性质，弄清楚相互间的区别与联系是解题关键． 7．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列生活生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④高速公路上，修建穿越大山的笔直隧道．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，区分两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题的关键，根据两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：根据两点之间，线段最短得到的是：②④； ①③的依据是两点确定一条直线． 故选：B． 二、填空题 8．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）平面上6条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】15 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查求直线的交点个数问题．根据条直线相交最多有个交点，进行求解即可． 【详解】解：两条直线两交有1个交点， 三条直线相交最多有3个交点， 四条直线相交有6个交点， 五条直线相交最多有10个交点， ， ∴条直线相交最多有个交点， ∴6条直线相交，最多有个交点； 故答案为：15． 9．如图，在不添加字母的情况下，可以用字母表示出来的不同线段和射线有 条线段， 条射线. 【答案】6，6 【分析】根据线段和射线的特征分别表示即可； 【详解】线段：CB、CA、CO、BA、BO、AO共计6条； 射线：OC、AC、BC、CO、BO、AO共计6条； 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的知识点，准确分析判断是解题的关键． 10．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 【答案】 【知识点】直线相交的交点个数问题、图形类规律探索 【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解． 【详解】解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； …… n条直线交点最多为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，发现规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）已知在线段上． (1)如图，图中共有___________条线段； (2)如图，若．．且，求的长度． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查求线段长，涉及选段概念、解一元一次方程等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由线段定义，数形结合数出线段条数即可得到答案； （2）由题中线段比例，设，表示出各个线段长度，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，线段有，共6条， 故答案为：6； （2）解：设，则， ∴，，，， 又， ∴，解得， ∴． 12.（23-24七年级上·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 13.如图所示，点P是线段上任意一点， cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动时间为ts．    (1)若cm： ①两点运动1s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：； (2)当s时，cm，试探索的长． 【答案】(1)①3cm；②见解析 (2)9cm或11cm 【知识点】数轴上的动点问题、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式： （1）①先求出的长度，然后利用即可求出答案；②用t表示出的长度即可求证； （2）当时，求出的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，所以要分情况讨论； 注意分类是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，cm，cm， ∵cm，cm， ∴cm， ∴cm， ②∵cm，cm， ∴cm，cm， ∴cm， ∴cm， ∴； （2）解：当时，cm，cm， ①当点D在点C的右边时，如图①所示，    ∴cm， ∴cm， ∴cm， ②当点D在点C的左边时，如图②所示，    ∴cm， ∴cm， 综上所述，的长为9cm或11cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$