4.5 角的比较与补（余）角（4个知识点+7个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

4.5 角的比较与补（余）角 课程标准 学习目标 ①能比较角的大小，会计算角的和、差； ②理解余角、补角等概念，同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等的性质； ③能用尺规作图里，作一个角等于已知角。 1.了解补角、余角的概念，探索并掌握补角和余角的性质，能利用余角、补角的知识解决相关问题； 2.会用尺规作一个角等于已知角； 3.会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义； 4.掌握角平分线的概念，会利用角平分线的定义解释相关计算问题； 5.类比线段，学习角的比较、角的加减、角平分线，体会类比等思维方法 知识点01 余角和补角 ·余角定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． ·补角定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． ·余角和补角性质： （1） 等角的余角相等． （2）等角的补角相等． 【即学即练1】若一个角的余角是，则这个角的度数是（  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角互余的概念，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一个角的余角是， 这个角的度数是：， 故选：D． 【点睛】本题考查了角互余的概念，和为的两个角互为余角，熟练掌握此概念是解题的关键． 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）已知，则它余角的度数是 ． 【答案】/34度26分 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角 【分析】本题考查余角定义，角度计算．根据题意利用余角定义即可求得本题答案． 【详解】解：∵， ∴它余角的度数是：， 故答案为：． 【即学即练3】如图，点O在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用同角（等角）的补角相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵和互为邻补角， ∴的补角的大小为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线以及余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 知识点02 角的大小比较 ·角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 【即学即练4】（23-24七年级上·河北唐山·期中）已知，，，则相等的两个角是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角的单位与角度制是解答本题的关键． 根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，，，，再找出相等的两个角． 【详解】解：由已知得， ，，， 故选：． 【即学即练5】如图，若 ，则 与 的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】列出不等式，等量代换，即可求得结果． 【详解】解：，， 且， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了比较角的大小，解题关键是列出不等式进行等量代换． 【即学即练6】如图所示的正方形网格中，和的大小关系是（    ） A．B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据正方形网格可得，，即可得到答案． 【详解】解：由图可得，，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查角度加减关系，解题的关键是根据正方形格得到，． 知识点03 画一个角 ·特殊角的画法：①用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角；②根据角的和、差关系，画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练7】借助一副三角尺画出15°角和105°角． 【答案】画图见解析 【分析】由 再利用三角板画即可. 【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下： 【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键. ·用量角器可以画出任意给定度数的角． (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①中心对齐(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． 知识点05 角的和、差的表示 案例：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【即学即练8】如图，已知，，，则 ．    【答案】/140度 【分析】根据垂直的定义得到，由互余关系得到，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了余角的概念：若两个角的和为，那么这两个角互余． 知识点04 角平分线 ·从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【即学即练9】如图，，平分，，则 度． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． ·概念辨析： 1.互余或互补都是指两个角的数量关系，与位置无关． 2.余角或补角是成对出现的，单独的一个角不能说互为余角或互为补角；三个角或三个以上的角之间不能说互为余角或互为补角． 3.一个角的余角可以不止一个，但是它们的度数都是相同的，补角也是如此． 4.若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角、一个是钝角，但不可能都是锐角或都是钝角． 5.一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ，显然一个锐角的补角比它的余角大90°． ·组合三角板中的角度等量关系与角度等量代换： 运用知识：①补角、余角关系；②角平分线；③90°、45°、30°、60°角 涉及思想方法：转化思想、方程思想 案例：将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由； 是，提示：由∠ACE+∠ECD=90°、∠ACE=∠ECD，可得∠ACE=∠ECD=45°，同理得∠BCD=∠ECD=45°，结论即得。 (2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由； 是，由∠ACE+∠ECD=90°、∠BCD+∠ECD=90°得∠ACE=∠BCD，可得∠ACE=∠DCB，结论即得。 (3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由． ∠ECD+∠ACB=180°，解析：∠ECD＝α，∠ACE=∠DCB=90°- α，∠ECD+∠ACB=2(90°- α)+α+α=180° 【题型一：与补角、余角有关的角度计算】 例1．一个角的补角为，则这个角的余角的度数为 °． 【答案】45 【分析】根据余角和补角的定义，即可解答． 【详解】解：∵一个角的补角是， ∴这个角为：， ∴这个角的余角为：， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义，两角互余和为，两角互补和为． 变式1.（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知一个角的补角为，则这个角的余角为 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、角度的四则运算 【分析】本题考查余角和补角的概念以及角的运算，互余的两个角和为90度，互补的两个角和为180度，由此可解． 【详解】解：一个角的补角为， 这个角为：， 这个角的余角为：， 故答案为：． 【方法技巧与总结】求一个角的余角或补角的方法：①只需根据余角或补角的概念直接计算。 ②无法直接计算时，先把这个角设成未知数，再根据这个角的余角、补角之间的关系列出方程，最后求出结果。 【题型二：三角板中的角度计算】 例2．如图，这是一副顶点重合的直角三角板，已知∠BAC＝60°，，则的大小是 ．      【答案】 【分析】先求出的度数，然后利用余角解题即可． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角板中角的和差，结合图形运用角的和差计算是解题的关键． 变式2-1．（2023春·上海浦东新·六年级校联考期末）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度．    【答案】 【分析】根据题意可得，根据即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角度的和差计算是解题的关键． 变式2-2．如图，是一副三角板的摆放图，已知，，若，则的度数 是 ．      【答案】35 【分析】根据垂线定义得出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，解题的关键是数形结合，求出结果即可． 例3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和 的平分线．若，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线及角的和差计算，根据角平分线定义及角的和差逐一判断即可． 【详解】解：∵和分别是和 的平分线， ∴，， ∴，说法正确，故A不符合题意； ，说法正确，故B不符合题意； ，说法正确，故C不符合题意； ，说法错误，故D符合题意； 故选D． 例5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平角定义及三角形内角和定理，并且要明确知道三角尺各角的度数，进行计算．由三角尺角的特殊性，利用平角定义及三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：如图所示： ， 因为， 所以． 故选：C． 【方法技巧与总结】先标注已知角度；再运用①平角、补角、余角；②角平分线； ③90°、45°、30°、60°角等知识进行角度等量代换，转化问题。 【题型三：与角平分线有关的角度计算】 例6．如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．    请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．的度数 ． B．如果，的度数 ． 【答案】 A（或者选B） 【分析】A：根据角平分线的定义得到，，再根据平角的定义，结合代入计算；B：根据角平分线的定义求出，继而得到，再次利用角平分线求出，最后根据平角的定义求出结果． 【详解】解：A：∵，分别平分和， ∴，， ∴； B：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：A（或者选B）；；． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平角，解题的关键是利用角平分线和平角得出角的关系． 变式6-1．如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．    【答案】/25度 【分析】由角平分线的性质可得，再由，可求得，进一步利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：平分，， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，仔细观察图形找到数量关系是解题的关键． 变式6-2．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）在同一平面内，点O在直线AD上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了利用角平分线求角度，几何图形中的角度计算，补角的定义，由题意，得到，然后进行分类讨论：①当点B、O、C三点共线时；②当点B、O、C三点不共线时，；③当点B、O、C三点不共线时，；结合角平分线的定义，即可求出答案．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图形，运用分类讨论的思想进行分析． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵，分别为，的平分线， ①当点B、O、C三点共线时， 则； ∵， ∴点B、O、C三点共线时，不符合题意； ②当点B、O、C三点不共线时，，如下图： 则， ∵， ∴； ③当点B、O、C三点不共线时，，如下如： 则， ∵， ∴； 综上所述，； 故选：D． 【方法技巧与总结】①利用角平分线的定义进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达式； ②在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角。 【题型四：几何图形中的角度计算】 例7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，D为线段上一点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角度和和差关系，根据，可得，，由，可得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 又∵， ∴， 故选：C． 例8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了有关角的计算，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得，即可求解； （2）根据补角的性质可得：，再由“幸运角”的定义可得，然后根据，可得，即可求解； 【详解】（1）， ， 与互为“幸运角”， ， ， （2）与互补， ， 与互为“幸运角”， ， ， 射线在内部，且满足， ， ， ， 。 例9.（23-24七年级上·安徽淮南·期末）阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图1，当点在上时，求 ． ②加图2，当点在的内部时，连接，若，，求 ． 【答案】 /度 /度 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算； ①由折叠得出，再由点B'落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：． ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 变式9.（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图，要用一张长方形的纸片折成一个纸袋，两条折痕的夹角为（即），将折过来的重叠部分抹上胶水，就可以做成一个纸袋． (1)求与的度数之和． (2)求粘胶水部分所构成的这个角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． （1）由求解即可； （2）根据题意可知，，，结合（1）可得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， 即与的度数之和为； （2）根据题意可知，，， 结合（1），可得， 又∵， ∴． 【题型五：动角问题】 例10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】 102 20或50/50或20 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的数量关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．①由题意可知，旋转8秒时，，从而求出，即可求出的度数；②分两种情况讨论：当的延长线平分角时；当的延长线平分角时，利用角度的和差关系分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旋转8秒时，， , ， ； 若第秒时，所在直线恰好平分， ①如图，当平分角时， ， ， ， ， ， ； ②如图，当的延长线平分角时， ， ， ， , ， ， ； 综上可知，第秒或秒时，所在直线恰好平分， 故答案为：102；20或50． 变式10．（22-23七年级上·安徽宣城·期末）已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． (1)将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． (2)将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算．准确识图并发现角度之间的关系是解题关键． （1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可； （2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 例11.（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，O是直线上一点，射线绕点O顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点O逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为t秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：90； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：，解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：，解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：，解得：， 故答案为：或或． 变式11-1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴ 把代入得：， 解得． 变式12-2.（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)如图①，平分，补齐图形，探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，图形及理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题考查的知识点是角平分线的性质旋转性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分； （1）设，根据平分，得出，，再根据，得出，即可得出； （2）设，则，表示出①，②，即可得出； （3）设，，根据平分，平分得出，，，再得出，即可求解； 【详解】（1）设，平分， ， ， 是直角， ， ， ； （2）结论：； 理由：设，则， ①， ②， 得：； （3）结论：； 理由：设，， 平分，平分． ，， ， ， ，即， ． 【题型六：角n等分线问题】 例13．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 【答案】 或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题属于新定义类型的问题，考查角的计算， （1）根据，则，由此可得出结论； （2）根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数；然后分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值； 解题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，， ∴， ∵将顺时针旋转（）得到， ∴， 分两种情况： 如图，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 综上所述，的值为或． 变式13．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 【题型七：新定义与角综合】 例14．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． (1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)若平分，且为的“分余线”，则____________； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)是的“分余线”，理由见解析； (2)； (3)的度数为或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角度计算，余角定义，角平分线性质． （1）根据题干即可判断； （2）利用题意列出算式即可得到本题答案； （3）根据题意设，利用题意分情况讨论即可后列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：是的“分余线”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是的“分余线”； （2）解：∵平分，且为的“分余线”， ∴设，则， ∴，即：，解得：， 综上所述：； （3）解：设，则， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵为的“分余线”， ①， ∴， ∴， ∴， ②， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 一、选择题 1．（21-22七年级上·安徽铜陵·期末）下列关系式正确的是 （   ） A．45.5°=45°5′ B．45.5°=45°50′ C．45.5°<45°5′ D．45.5°>45°5′ 【答案】D 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】根据度分秒的进制进行计算即可判断． 【详解】解：∵1°＝60′， ∴0.5°＝30′， ∴45.5°＝45°30′， A、45.5°≠45°5′，故A不符合题意； B、45.5°≠45°50′，故B不符合题意； C、45.5°＞45°5′，故C不符合题意； D、45.5°＞45°5′，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、求一个角的补角 【分析】本题主要考查利用三角板求度数、补角的定义等知识点，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键． 先根据直角三角板的度数求得，然后再求补角即可． 【详解】解：由图形可得：， ∴的补角的度数为：． 故选：D． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图，在含角的直角三角板中，过点B的直线交于点D，与边，形成的角分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中角度的计算．求出的度数，利用平角的定义求出的度数即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，知：， ∴， ∴； 故选A． 4．（23-24七年级上·安徽池州·期末）如图：，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和差关系．先求出，再根据平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点O在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的计算，掌握平角的定义和角的和差关系是解决本题的关键．利用角的和差关系先求出，再根据平角的定义得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选C． 二、填空题 6．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）比较大小： ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【答案】= 【知识点】角的度数大小比较 【分析】根据进行换算即可得解． 【详解】解： ， ， 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了角的度数的大小比较，掌握度数的换算是解题关键． 7．（22-23七年级上·安徽六安·期末）计算： °． 【答案】40 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】把相同单位的数据相加，再结合角度的60进位制进位即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角的加减运算，注意角度的进位是解本题的关键． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为 （2）若，则的度数为 【答案】 /40度 /45度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用平角的定义进行计算是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，则由平角的定义得到； （2）根据角平分线的定义得到，再由，得到，由此求出，进而得到，则由平角的定义得到． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）补全解题过程： 如图，，，为的平分线，求的度数． 解：∵，， ∴________， ∴________， ∵为的平分线， ∴________________ ∴________________． 【答案】；；；；； 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．先根据角之间的关系得到，进而求出，由角平分线的定义得到，则由角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴． 故答案为：；；；；；． 10．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，已知点是直线上任一点，过点O在直线同侧画射线，使．射线和射线分别平分和，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，先求出，根据角平分线的定义得，，再根据即可求解． 【详解】解：因为， 所以     因为平分，平分 所以，     因为         所以         11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点O在直线上，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算，正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键． （1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可； （2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）， ， 平分， ， ． 12．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 13．（23-24七年级上·安徽·期末）李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 【答案】(1) (2)或 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系； （1）根据邻补角的定义即可求解； （2）分两种情况，分别讨论，结合角与角之间的关系即可求解； 【详解】（1）解：，， ； （2）解： 如上图，此时， ， ∴， ； 如图，此时， ， ， ， ， ， 故为或． 14．（22-23七年级上·安徽黄山·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5 角的比较与补（余）角 课程标准 学习目标 ①能比较角的大小，会计算角的和、差； ②理解余角、补角等概念，同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等的性质； ③能用尺规作图里，作一个角等于已知角。 1.了解补角、余角的概念，探索并掌握补角和余角的性质，能利用余角、补角的知识解决相关问题； 2.会用尺规作一个角等于已知角； 3.会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义； 4.掌握角平分线的概念，会利用角平分线的定义解释相关计算问题； 5.类比线段，学习角的比较、角的加减、角平分线，体会类比等思维方法 知识点01 余角和补角 ·余角定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． ·补角定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． ·余角和补角性质： （1） 等角的余角相等． （2）等角的补角相等． 【即学即练1】若一个角的余角是，则这个角的度数是（  　） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）已知，则它余角的度数是 ． 【即学即练3】如图，点O在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 知识点02 角的大小比较 ·角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 【即学即练4】（23-24七年级上·河北唐山·期中）已知，，，则相等的两个角是（    ） A． B． C． D．无法确定 【即学即练5】如图，若 ，则 与 的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【即学即练6】如图所示的正方形网格中，和的大小关系是（    ） A．B． C． D．无法确定 知识点03 画一个角 ·特殊角的画法：①用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角；②根据角的和、差关系，画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练7】借助一副三角尺画出15°角和105°角． ·用量角器可以画出任意给定度数的角． (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①中心对齐(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． 知识点05 角的和、差的表示 案例：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【即学即练8】如图，已知，，，则 ．    知识点04 角平分线 ·从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【即学即练9】如图，，平分，，则 度． ·概念辨析： 1.互余或互补都是指两个角的数量关系，与位置无关． 2.余角或补角是成对出现的，单独的一个角不能说互为余角或互为补角；三个角或三个以上的角之间不能说互为余角或互为补角． 3.一个角的余角可以不止一个，但是它们的度数都是相同的，补角也是如此． 4.若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角、一个是钝角，但不可能都是锐角或都是钝角． 5.一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ，显然一个锐角的补角比它的余角大90°． ·组合三角板中的角度等量关系与角度等量代换： 运用知识：①补角、余角关系；②角平分线；③90°、45°、30°、60°角 涉及思想方法：转化思想、方程思想 案例：将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由； 是，提示：由∠ACE+∠ECD=90°、∠ACE=∠ECD，可得∠ACE=∠ECD=45°，同理得∠BCD=∠ECD=45°，结论即得。 (2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由； 是，由∠ACE+∠ECD=90°、∠BCD+∠ECD=90°得∠ACE=∠BCD，可得∠ACE=∠DCB，结论即得。 (3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由． ∠ECD+∠ACB=180°，解析：∠ECD＝α，∠ACE=∠DCB=90°- α，∠ECD+∠ACB=2(90°- α)+α+α=180° 【题型一：与补角、余角有关的角度计算】 例1．一个角的补角为，则这个角的余角的度数为 °． 变式1.（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知一个角的补角为，则这个角的余角为 ． 【方法技巧与总结】求一个角的余角或补角的方法：①只需根据余角或补角的概念直接计算。 ②无法直接计算时，先把这个角设成未知数，再根据这个角的余角、补角之间的关系列出方程，最后求出结果。 【题型二：三角板中的角度计算】 例2．如图，这是一副顶点重合的直角三角板，已知∠BAC＝60°，，则的大小是 ．      变式2-1．（2023春·上海浦东新·六年级校联考期末）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度．    变式2-2．如图，是一副三角板的摆放图，已知，，若，则的度数 是 ．      例3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和 的平分线．若，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】先标注已知角度；再运用①平角、补角、余角；②角平分线； ③90°、45°、30°、60°角等知识进行角度等量代换，转化问题。 【题型三：与角平分线有关的角度计算】 例6．如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．    请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．的度数 ． B．如果，的度数 ． 变式6-1．如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．    变式6-2．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）在同一平面内，点O在直线AD上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】①利用角平分线的定义进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达式； ②在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角。 【题型四：几何图形中的角度计算】 例7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，D为线段上一点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 例9.（23-24七年级上·安徽淮南·期末）阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图1，当点在上时，求 ． ②加图2，当点在的内部时，连接，若，，求 ． 变式9.（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图，要用一张长方形的纸片折成一个纸袋，两条折痕的夹角为（即），将折过来的重叠部分抹上胶水，就可以做成一个纸袋． (1)求与的度数之和． (2)求粘胶水部分所构成的这个角的度数． 【题型五：动角问题】 例10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 变式10．（22-23七年级上·安徽宣城·期末）已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． (1)将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． (2)将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 例11.（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，O是直线上一点，射线绕点O顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点O逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为t秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 变式11-1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 变式12-2.（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)如图①，平分，补齐图形，探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【题型六：角n等分线问题】 例13．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 变式13．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型七：新定义与角综合】 例14．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． (1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)若平分，且为的“分余线”，则____________； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 一、选择题 1．（21-22七年级上·安徽铜陵·期末）下列关系式正确的是 （   ） A．45.5°=45°5′ B．45.5°=45°50′ C．45.5°<45°5′ D．45.5°>45°5′ 2．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图，在含角的直角三角板中，过点B的直线交于点D，与边，形成的角分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽池州·期末）如图：，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点O在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）比较大小： ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 7．（22-23七年级上·安徽六安·期末）计算： °． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为 （2）若，则的度数为 三、解答题 9．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）补全解题过程： 如图，，，为的平分线，求的度数． 解：∵，， ∴________， ∴________， ∵为的平分线， ∴________________ ∴________________． 10．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，已知点是直线上任一点，过点O在直线同侧画射线，使．射线和射线分别平分和，求的度数． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点O在直线上，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数（用含的代数式表示）． 12．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 13．（23-24七年级上·安徽·期末）李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 14．（22-23七年级上·安徽黄山·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 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