18.3 第1课时 反比例函数的概念(8大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

18.3 第1课时 反比例函数的概念 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数. (2)定义域：不等于零的一切实数. (3)值域：不等于零的一切实数 注意： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 学生问：为什么？ 老师说：反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做,它有,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 题型一、用反比例函数描述数量关系 解题技巧提炼 反比例函数需要满足的三个条件 (1)有两个变量y与x,其中x是自变量; (2)有比例系数k(k为常数,且k≠0); (3)变量x,y满足关系 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 2．（22-23八年级上·上海·期中）下列关系式中的两个量成反比例的是(   ) A．圆的面积与它的半径； B．正方形的周长与它的边长； C．路程一定时，速度与时间； D．长方形一条边确定时，周长与另一边． 3．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”） 题型二、根据定义判断是否是反比例函数 解题技巧提炼 判断一个函数是否为反比例函数，要紧扣概念不能只看表面形式，而要看是否能转化为反比例函数表达式的三种形式: 、 、 4．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列四组点中，可以在同一个反比例函数图像上的一组点是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·上海·期中）下列说法不成立的是（    ）． A．在中，与x成正比 B．在中，与x成反比 C．若，则x，y成正比 D．若，则x，y成反比 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 题型三、根据反比例函数的定义求参数 解题技巧提炼 求值时，用待定系数法求解反比例函数解析式即可； 求取值范围一般结合自身结构（二次根式、分式等进行限定） 8．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么 ． 9．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知函数是反比例函数，则的取值范围是 ． 10．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ． 题型四、求反比例函数解析式 解题技巧提炼 求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 11．如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 12．反比例函数图象经过点，则该反比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 13．将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为 ． 14．反比例函数的图像一定经过的点（    ） A． B． C． D． 题型五、复合函数问题 解题技巧提炼 使用待定系数法求函数的解析式，注意在本类题型中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，，然后利用待定系数法即可求得； 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 16．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 17．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式． 题型六、由反比例函数值求自变量 解题技巧提炼 一般直接把点坐标代入反比例函数，求出的值，进而即可求解． 18．已知点 ，点 在反比例函数 上，则 的值为（     ） A． B．12 C． D．6 19．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如果点P在反比例函数的图象上，那么m的值是 ． 20．若反比例函数图象过点，当且时，的取值范围是 ． 题型七、求反比例函数值 解题技巧提炼 一般直接把x直接代入反比例函数，求出y的值，进而即可求解． 21．（2023·上海崇明·二模）已知，那么 ． 22．（20-21八年级上·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为 ． 23．（20-21八年级上·上海·期末）已知与成反比例，且当时，；求：当时，的值． 题型八、判断（画）反比例函数图象 解题技巧提炼 画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 24．某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 25．定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   27．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.3 第1课时 反比例函数的概念 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数. (2)定义域：不等于零的一切实数. (3)值域：不等于零的一切实数 注意： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 学生问：为什么？ 老师说：反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 题型一、用反比例函数描述数量关系 解题技巧提炼 反比例函数需要满足的三个条件 (1)有两个变量y与x,其中x是自变量; (2)有比例系数k(k为常数,且k≠0); (3)变量x,y满足关系 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握反比例函数解析式的一般形式． 根据正比例函数的定义及形式反比例函数的定义及形式可判断各个命题的真假． 【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y， ∴，即， ∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误； B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b， ∴等腰三角形底边上的高为， ∵等腰三角形的面积为1， ∴，即， ∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误； C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1， ∴长与宽的乘积为定值， ∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确； D、设等边三角形的边长为t，面积为S， ∴等边三角形的高为， ∴， ∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误． 故选C． 2．（22-23八年级上·上海·期中）下列关系式中的两个量成反比例的是(   ) A．圆的面积与它的半径； B．正方形的周长与它的边长； C．路程一定时，速度与时间； D．长方形一条边确定时，周长与另一边． 【答案】C 【分析】根据反比例的定义判断即可． 【详解】解：A、设圆的半径为r，则圆的面积为，不是反比例关系，故本选项错误； B、正方形的周长边长，不是反比例关系，故本选项错误； C、路程s一定时，则，即速度v与时间t成反比例，故本选项正确； D、设长方形的一条边为a，另一条边为b，周长为c，则，不是反比例关系，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 3．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】求出y与x的关系式即可求解． 【详解】解：y与2z成反比例，则 z与x成正比例，则 将代入得 ∵ ∴ y关于x成反比例 故答案为：反 【点睛】此题考查了正比例函数和反比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数和反比例函数的定义，求得y与x的关系式． 题型二、根据定义判断是否是反比例函数 解题技巧提炼 判断一个函数是否为反比例函数，要紧扣概念不能只看表面形式，而要看是否能转化为反比例函数表达式的三种形式: 、 、 4．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 5．下列四组点中，可以在同一个反比例函数图像上的一组点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出每组点中的k=xy值判定即可确定. 【详解】A. ，在同一反比例函数图象上，符合题意； B. ，不在同一反比例函数图象上，不符合题意； C. ，不在同一反比例函数图象上，不符合题意； D. ，不在同一反比例函数图象上，不符合题意； 故选：A. 【点睛】此题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数的几种形式： 、、xy=k，即可正确判断. 6．（22-23八年级上·上海·期中）下列说法不成立的是（    ）． A．在中，与x成正比 B．在中，与x成反比 C．若，则x，y成正比 D．若，则x，y成反比 【答案】D 【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可． 【详解】解：A．由得到，则与x成正比，故选项不符合题意； B．由得到，即与x成反比，故选项不符合题意； C．由由得到，即x，y成正比，故选项不符合题意； D．若，则x，y不成反比，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了变量间是否成反比例关系，列出关系式，根据定义判断即可． 【详解】解：A．正方形的面积与边长之间的关系为，不是反比例关系； B．等边三角形中，周长与边长之间的关系为，不是反比例关系； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系为，不是反比例关系； D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系为，故为反比例关系； 故选：D． 题型三、根据反比例函数的定义求参数 解题技巧提炼 求值时，用待定系数法求解反比例函数解析式即可； 求取值范围一般结合自身结构（二次根式、分式等进行限定） 8．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式．把代入函数即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知函数是反比例函数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】直接根据反比函数的定义和二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴且， 解得且， 故答案为且． 【点睛】本题考查了反比函数的定义和二次根式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】首先可求得点向左平移m个单位后的点的坐标，再根据此点在反比例函数的图象上，把点的坐标代入函数解析式中即可求得m的值． 【详解】点A（，2）向左平移m个单位后的坐标为（－m，2） ∵点（－m，2）在反比例函数y＝﹣的图象上 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识是关键． 题型四、求反比例函数解析式 解题技巧提炼 求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 11．如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法即可求得． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 则这个反比例函数的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 12．反比例函数图象经过点，则该反比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，设反比例函数的关系式为，再将点的坐标代入解析式，即可求出解． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为． 故选：A． 13．将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移及平移的性质，设平移后函数的图象上任一点坐标为，则向左平移1个单位后得到，其在函数图象上，将代入，得，即可求解． 【详解】解：设平移后函数的图象上任一点坐标为， 因为将平移后的函数图象向左平移1个单位长度，得到反比例函数的图象， 则向左平移1个单位后得到，其在函数图象上， 将代入，得， 故将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为， 故答案为：． 14．反比例函数的图像一定经过的点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型五、复合函数问题 解题技巧提炼 使用待定系数法求函数的解析式，注意在本类题型中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，，然后利用待定系数法即可求得； 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 16．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【答案】y＝（x+1）+ 【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解 【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算． 17．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】设所求的函数解析式为，再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式． 【详解】解：设所求的函数解析式为， 当时，；当时，，代入， ∴，解得． ∴函数解析式是：． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数、反比例函数的定义等知识点，掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 题型六、由反比例函数值求自变量 解题技巧提炼 一般直接把点坐标代入反比例函数，求出的值，进而即可求解． 18．已知点 ，点 在反比例函数 上，则 的值为（     ） A． B．12 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数，求出的值，进而即可求解． 【详解】解：把代入反比例函数， ， 在反比例函数上， ， ， 故选：C 19．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如果点P在反比例函数的图象上，那么m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点P代入反比例函数，即可求出m的值． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：3． 20．若反比例函数图象过点，当且时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求出当时，对应的自变量的值，再根据反比例函数时，在每个象限内，随的增大而增大即可确定． 【详解】解：反比例函数图象过点， 反比例函数解析式为， 当时，， 又， 在每个象限内，随的增大而增大， 故当．且时，有或．    故答案为：或． 题型七、求反比例函数值 解题技巧提炼 一般直接把x直接代入反比例函数，求出y的值，进而即可求解． 21．（2023·上海崇明·二模）已知，那么 ． 【答案】 【分析】将代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键． 22．（20-21八年级上·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为 ． 【答案】300 【分析】将焦距代入函数关系式求解即可． 【详解】解：将焦距代入中，得， 故答案为：300． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 23．（20-21八年级上·上海·期末）已知与成反比例，且当时，；求：当时，的值． 【答案】 【分析】设，由时，求解k，从而代入求解即可． 【详解】根据题意得，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，理解成反比例时表达式的设立是解题关键． 题型八、判断（画）反比例函数图象 解题技巧提炼 画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 24．某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 25．定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限； 故选：． 26．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 27．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$