18.2 第3课时 正比例函数的图象和性质的应用(6大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

18.2 第3课时 正比例函数的图象和性质的应用 知识点一 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 题型一、正比例函数的性质 解题技巧提炼 1.当k＞0时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 1．关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．图象经过第二、四象限 D．当时， 2．（22-23八年级上·上海松江·阶段练习）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象经过点 C．图象经过一、三象限 D．当时， 3．（2023·上海普陀·二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（    ） A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小 4．（2021·上海普陀·二模）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是 ． 5．已知正比例函数，且随的增大而减小，则该函数的图象经过（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 6．（22-23八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 题型二、根据正比例函数解析式判断函数图象位置 解题技巧提炼 在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限． 7．在下列各图象中，为函数的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 8．当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（    ） A． B． C． D． 9．定义运算*为：a*b=如：1*（-2）=-1×（-2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．在函数中，的值随的值的增大而减小，，则在同一直角坐标系中，和的图像大致为（    ） A． B． C． D． 题型三、比较函数值大小问题 解题技巧提炼 当k＞0时，y随x的增大而增大， 当k＜0时，y随x的增大而减小. 11．若点、都在函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 12．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 13．（21-22八年级上·上海·期末）若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 14．已知点在正比例函数的图像上，若点、也在这个正比例函数图像上，则关于和的大小关系描述正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四、已知点坐标求函数增减性 解题技巧提炼 正比例函数的图象为直线，当时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小． 15．（2023·上海奉贤·二模）如果正比例函数（是常数，的图像经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 16．（2023·上海普陀·二模）已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 17．（21-22八年级下·上海·期末）如果正比例函数的图象经过点A（﹣2，4），那么y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 18．已知正比例函数，那么的值随的值增大而 （填“增大或“减小”） 19．（21-22八年级上·上海金山·期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值随着的值增大而 （填“增大”、“减小”、或“不变”）． 题型五、根据函数增减性求字母的值或取值范围 解题技巧提炼 正比例函数的图象为直线，当时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小． 20．请选择一个你喜欢的数值，使相应的一次函数的值随着值的增大而减小，的值可以是 ． 21．已知函数是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 22．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 23．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围为 ． 24．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 题型六、求正比例函数最值和取值范围 解题技巧提炼 当时，y值随x的增大而增大；当时，y值随x的增大而减小． 25．对于正比例函数 y 3x ，下列说法正确的是(    ) A．y 随 x 的增大而减小 B．y 随 x 的增大而增大 C．y 随 x 的减小而增大 D．y 有最小值 26．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 27．已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求的值； (2)当时，求的最大值． 28．已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 29．已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围． 30．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若的取值范围为，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2 第3课时 正比例函数的图象和性质的应用 知识点一 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 题型一、正比例函数的性质 解题技巧提炼 1.当k＞0时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 1．关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．图象经过第二、四象限 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质直接解答即可，熟练掌握正比例函数的性质是解决此题的关键． 【详解】A、图象经过原点，本选项错误，不符合题意； B、，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意； C、，图象经过第二、四象限，本选项正确，符合题意； D．当时，，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23八年级上·上海松江·阶段练习）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象经过点 C．图象经过一、三象限 D．当时， 【答案】B 【分析】根据正比例函数的图象与系数的关系解答，对于，当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限． 【详解】A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意； B、当时，，图象经过，说法错误，符合题意； C、，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意； D、当时，，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2023·上海普陀·二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（    ） A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【分析】根据正比例函数的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限， A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. 当时，，则图像一定经过点，故该选项正确，符合题意； C. 图像是直线，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，的值随的值增大而增大，时，的值随的值增大而减小故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2021·上海普陀·二模）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】k＜0 【分析】根据正比例函数图象的性质可以得出结论． 【详解】解：∵对于正比例函数y＝kx（k≠0），y随x的值增大而减小， ∴k＜0． 故答案为：k＜0． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 5．已知正比例函数，且随的增大而减小，则该函数的图象经过（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质进行判断． 【详解】∵正比例函数的值随的增大而减小， ∴， ∴图象经过第二、四象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0），正比例函数图象过原点，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 6．（22-23八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 【答案】 【分析】由正比例函数过点，可求得k的值，再由函数图象经过第一、三象限，可确定k为正，从而最终确定k的值，从而得到正比例函数解析式． 【详解】过点， ， 解得：，， 由于函数图象经过第一、三象限，所以， 故不合题意， ， 故所求正比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的图象与性质，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键． 题型二、根据正比例函数解析式判断函数图象位置 解题技巧提炼 在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限． 7．在下列各图象中，为函数的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，当时，其函数图象经过第二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴函数经过第一、三象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 8．当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可； 【详解】解：∵当时，， ∴此时函数在第一象限， ∵当时，， ∴此时函数过原点及第二象限， 故选： C． 9．定义运算*为：a*b=如：1*（-2）=-1×（-2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义运算“*”为：a*b=，可得y=2*x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象． 【详解】y=2*x=， x＞0时，图象是y=2x的正比例函数中y轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=-2x的正比例函数中y左侧的部分， 故选C． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，利用定义运算“※”为：a*b=，得出分段函数是解题关键． 10．在函数中，的值随的值的增大而减小，，则在同一直角坐标系中，和的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数中，的值随的值的增大而减小，可知，根据，可知，由此即可求解． 【详解】解：∵函数中，的值随的值的增大而减小， ∴，则函数图像经过第二、四象限， ∵， ∴，则函数图像经过第一、三象限， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数（正比例函数）图像的性质，掌握一次函数（正比例函数）中的正负与图像的关系是解题的关键． 题型三、比较函数值大小问题 解题技巧提炼 当k＞0时，y随x的增大而增大， 当k＜0时，y随x的增大而减小. 11．若点、都在函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，， 点、都在函数的图象上， ∴ 故选：C． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质，求解即可． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又∵， ∴ 故选：A 【点睛】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的有关性质． 13．（21-22八年级上·上海·期末）若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于k＜0时，函数y随x的增大而减小．又因为，所以． 【详解】解：∵k<0， ∴函数的y值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 14．已知点在正比例函数的图像上，若点、也在这个正比例函数图像上，则关于和的大小关系描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式和正比例函数的图象和性质，解题的关键是求出正比例函数解析式．先求出正比例函数解析式，再求出和值即可得到答案． 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴， ∵点、也在这个正比例函数图像上， ∴． ∴， 故选A． 题型四、已知点坐标求函数增减性 解题技巧提炼 正比例函数的图象为直线，当时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小． 15．（2023·上海奉贤·二模）如果正比例函数（是常数，的图像经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】根据点的坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出值，再利用正比例函数的性质即可得出结论． 【详解】∵正比例函数（是常数，）的图象经过点， ∴， ∴， ∴的值随的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及正比例函数的增减性与正比例函数的比例系数之间的关系是解题的关键 ． 16．（2023·上海普陀·二模）已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】运用待定系数法求出后即可判断函数的增减性． 【详解】解：首先把，代入， 得， ∴， 再根据正比例函数图象的性质，得随的增大而减小． 故答案为：减小． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是首先能够熟练求得的值．其次要熟悉正比例函数图象的性质． 17．（21-22八年级下·上海·期末）如果正比例函数的图象经过点A（﹣2，4），那么y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】设正比例函数的解析式是y=kx（k≠0），把A（-2，4）代入y=kx得出4=-2k，求出k，再根据正比例函数的性质得出即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式是y＝kx（k≠0）， 把A（﹣2，4）代入得：4＝﹣2k， 解得：k＝﹣2， 即y＝﹣2x， ∵﹣2＜0， ∴y的值随x的值增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质等知识点，能熟记正比例函数的性质是解此题的关键． 18．已知正比例函数，那么的值随的值增大而 （填“增大或“减小”） 【答案】减小 【分析】直接根据正比例函数的性质解答． 【详解】解：因为正比例函数中的， 所以y的值随x的值增大而减小． 故答案是：减小． 19．（21-22八年级上·上海金山·期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值随着的值增大而 （填“增大”、“减小”、或“不变”）． 【答案】减小 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ∴ ∴ ∴y的值随x的值增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小． 题型五、根据函数增减性求字母的值或取值范围 解题技巧提炼 正比例函数的图象为直线，当时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小． 20．请选择一个你喜欢的数值，使相应的一次函数的值随着值的增大而减小，的值可以是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数y=（2m-1）x+2的值随着x值的增大而减小，可得到2m-1＜0，即可求得m的范围． 【详解】根据题意得： 解得：，则的值可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的一次项系数的符号判断函数的增减性,解决本题主要关键是要熟练掌握一次函数图像性质. 21．已知函数是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义得出m2-3=1，m+1＜0，进而得出即可． 【详解】∵函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内， ∴m2-3=1，m+1＜0， 解得：m=±2， 则m的值是-2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义以及其性质，得出m+1的符号是解题关键． 22．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 23．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，理解并掌握正比例函数的图像与性质是解题关键．在正比例函数中，当时，随的增大而增大，据此列不等式并求解即可． 【详解】解：根据题意，正比例函数的函数值随的增大而增大， 则， 解得． 故答案为：． 24．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据y随x的增大而减小，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 题型六、求正比例函数最值和取值范围 解题技巧提炼 当时，y值随x的增大而增大；当时，y值随x的增大而减小． 25．对于正比例函数 y 3x ，下列说法正确的是(    ) A．y 随 x 的增大而减小 B．y 随 x 的增大而增大 C．y 随 x 的减小而增大 D．y 有最小值 【答案】B 【分析】正比例函数中，k＞0:y随x的增大而增大;k＜0:y随x的增大而减小. 【详解】∵正比例函数y 3x中，k=3＞0， ∴y随x的增大而增大， 故选B. 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，确定k值，判断出其增减性是解题的关键. 26．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可． 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 故答案为：12． 27．已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求的值； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握正比例函数的图像与性质． （1）根据正比例函数的图象经过第二、四象限，可得，且，即可求解； （2）由（1）可得正比例函数的解析式，再根据函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，且， 解得：，， ； （2）由（1）可得函数关系式为． ， 随的增大而减小， 在上，当时，有最大值， ． 28．已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系找出y的取值范围． 【详解】（1）点在该正比例函数的图象上， ， 解得：； （2）由（1）知：， 正比例函数的表达式为：， 在中，， y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 的取值范围为：． 29．已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围． 【答案】 【分析】先判断出函数中，y随x增大而减小，再分别求出当时，当时，对应的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数中，y随x增大而减小， 当时，； 当时，； ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数函数值的取值范围，正确判断出正比例函数的增减性是解题的关键． 30．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正比例函数解析式以及图像，求解一元一次不等式的解集，根据正比例函数的定义求出正比例函数解析式是解答本题的关键． （1）根据正比例关系设，再根据，求出的值即可； （2）分别令，，求出值即可得到范围． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得：， 解得， ∴，即． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$