18.2 第2课时 正比例函数的图象和性质(8大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

18.2 第2课时 正比例函数的图象和性质 知识点二 正比例函数的图像 1.函数y=f(x)的图像 对于一个函数,如果一个图形(包括直线、曲线或其他图形)上任意一点的坐标都满足函数关系式,同时以这个函数解析式所确定的与的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数图像. 注意：函数的图像应满足两个条件: (1)函数图像上的任意一点中的,必满足函数解析式; (2)满足函数解析式的任意一对,的值，作为横坐标和纵坐标的点必在这个函数的图像上.二者缺一不可. 2.正比例函数的图像 一般地，正比例函数的图像是经过原点和点的一条直线.我们把正比例函数的图像叫做直线. 注意：，今后画函数图像，可以用原点和点这两个点进行“两点作图法” 3.画正比例函数图像的一般步骤 ①列表（正比例函数一般用两点法，复杂函数可用五点法或者其他） ②描点 ③连线（正比例函数一般情况是直线，如果遇到实际问题限定，可能是“线段”、“离散的点”等等） 知识点三 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 知识点四 正比例函数解析式的确定 1.待定系数法 在求正比例函数的解析式时,先设解析式为，其中k待定，再利用已知条件确定k的值，这样的方法称为“待定系数法” 2.确定正比例函数解析式的一般步骤 (1)设：将正比例函数解析式设为 (2)代:将已知的x,y的一组对应值代入，建立关于k的方程 (3)解:解这个方程确定的值; 4)写:把求得的k值代入,写出正比例函数的解析式. 题型一、求在函数图象上的点 解题技巧提炼 求函数图象上的点，我们一般先代入x的值，求出y值进行比对． 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点在正比例函数图象上的是（  ） A． B． C． D． 3．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．若正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型二、求正比例函数比例系数k 解题技巧提炼 将已知点代入正比例函数解出k即可. 5．已知正比例函数的图象如图所示，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 6．已知正比例函数的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 7．若正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知和均在正比例函数图像上，则的值为（　　） A．6 B． C． D． 9．已知三点，，，若正比例函数的图像经过其中两点，则k的值为 ． 题型三、根据正比例函数图象特征判断字母符号 解题技巧提炼 此类题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象性质利用数形结合思想解题是关键． 10．如果一个正比例函数图象经过不同象限的两点，，那么一定有（    ） A．， B．， C．， D．， 11．如果一个正比例函数y＝kx的图象经过不同象限的两点（m，1）、（2，n），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＜0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＞0 12．正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 13．正比例函数的图象经过不同象限的两个点，，那么一定有（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四、分类讨论问题 解题技巧提炼 点到轴的距离是非负数，而坐标有正负，这将决定k的多样性，做题的时候一定要严谨，并数形结合，以免掉入陷阱． 14．正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ． 15．函数的图象上存在点P，使得点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 题型五、对称、旋转问题 解题技巧提炼 （1）关于x轴对称，x不变y相反；关于y轴对称，y不变x相反． （2）旋转问题一般会给出特殊角（30°、45°、60°、90°等），需要我们画出图形数形结合找出坐标之间的关系. 16．已知直线 y1=2x+1，y2=－2x+1，则下列说法正确的是（    ） A．两直线互相平行 B．两直线互相垂直 C．两直线关于 x 轴对称 D．两直线关于 y 轴对称 17．函数 y1 =k1x 的图象过点 P （ 2 ， 3 ），且与函数 y2 =k2x 的图象关于 y 轴对称，那么他们的解析式 y1 = ，y2 = . 18．已知点A（1，－2），若A，B两点关于轴对称，则B点的坐标为 ,若点（3，）在函数的图象上，则＝ . 19．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为 ． 20．过原点的直线经过A3,1，将此直线绕原点逆时针方向旋转45后所对应的直线的解析式为 ． 题型六、正比例函数与三角形面积问题 解题技巧提炼 铅垂法大全 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． 21．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8 (1)求正比例函数的解析式． (2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 24．（21-22八年级上·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 25．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型七、画正比例函数图象 解题技巧提炼 列表→描点→画图 26．已知：函数． (1)画出此函数的图象； (2)若点P（m，4）在图象上，求出m的值． 27．已知正比例函数（）的图象经过点（3，）． （1）求这个函数的解析式； （2）直接在图中画出这个函数的图象； （3）判断点A（4，）、点B（，3）是否在这个函数图象上； （4）已知图象上两点C（，）、D（，），如果，比较，的大小． 题型八、新定义问题 解题技巧提炼 正比例函数新定义问题，要将题目多读多分析，并理解举例，结合函数的图象和性质进行解题. 28．定义运算*为：a*b=如：1*（-2）=-1×（-2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 29．如图所示，将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则的取值范围是 ．    30．在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点． 例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，． (1)点A和点B的3系和点的坐标为__________； (2)已知点，若点B和点C的k系和点为点． ①求m的值； ②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________； ③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2 第2课时 正比例函数的图象和性质 知识点二 正比例函数的图像 1.函数y=f(x)的图像 对于一个函数,如果一个图形(包括直线、曲线或其他图形)上任意一点的坐标都满足函数关系式,同时以这个函数解析式所确定的与的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数图像. 注意：函数的图像应满足两个条件: (1)函数图像上的任意一点中的,必满足函数解析式; (2)满足函数解析式的任意一对,的值，作为横坐标和纵坐标的点必在这个函数的图像上.二者缺一不可. 2.正比例函数的图像 一般地，正比例函数的图像是经过原点和点的一条直线.我们把正比例函数的图像叫做直线. 注意：因为两点确定一条直线，今后画函数图像，可以用原点和点这两个点进行“两点作图法” 3.画正比例函数图像的一般步骤 ①列表（正比例函数一般用两点法，复杂函数可用五点法或者其他） ②描点 ③连线（正比例函数一般情况是直线，如果遇到实际问题限定，可能是“线段”、“离散的点”等等） 知识点三 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 知识点四 正比例函数解析式的确定 1.待定系数法 在求正比例函数的解析式时,先设解析式为，其中k待定，再利用已知条件确定k的值，这样的方法称为“待定系数法” 2.确定正比例函数解析式的一般步骤 (1)设：将正比例函数解析式设为 (2)代:将已知的x,y的一组对应值代入，建立关于k的方程 (3)解:解这个方程确定的值; 4)写:把求得的k值代入,写出正比例函数的解析式. 题型一、求在函数图象上的点 解题技巧提炼 求函数图象上的点，我们一般先代入x的值，求出y值进行比对． 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：当时，，即点不在函数图象上，C选项正确； 当时，，即点在函数图象上，A选项正确； 当时，，即点不在函数图象上，B选项不正确； 当时，，即点不在函数图象上，D选项不正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数的函数值，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 2．下列各点在正比例函数图象上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别代入x＝1，x＝-2，x＝和x＝4求出与之对应的y值，再对照四个选项中点的坐标即可得出结论． 【详解】解：A、当x＝1时，y＝-2x＝﹣2， ∴点（1，﹣2）在正比例函数y＝-2x的图象上． 故A正确，符合题意； B、当x＝-2时，y＝-2x＝4， ∴点（-2，1）不在正比例函数y＝-2x的图象上； 故B不正确，不符合题意； C、当x＝4时，y＝-2x＝-8， ∴点（4，﹣2）不在正比例函数y＝-2x的图象上； 故C不正确，不符合题意； D、当x＝时，y＝-2x＝-1， ∴点（，1）不在正比例函数y＝-2x的图象上； 故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记图象上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx是解题的关键． 3．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把各个选项分别代入正比例函数解析式进行排除选项即可． 【详解】解：A、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； B、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； C、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； D、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； 故选D． 4．若正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把时，代入求得解析式为，再四个选项分别代入后即可判定． 【详解】解：把时，代入得， 2k=6， k=3， ∴， 选项A，把x=-1代入得y=-3，即可得点在正比例函数的图象上，选项A符合题意； 选项B，把x=-1代入得y=-3，即可得点不在正比例函数的图象上，选项B不符合题意； 选项C，把x=1代入得y=3，即可得点不在正比例函数的图象上，选项C不符合题意； 选项D，把x=3代入得y=9，即可得点不在正比例函数的图象上，选项D不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的判定方法，要判断点是否在正比例函数的图象上，只需把点的横坐标代入函数解析式检验纵坐标，若两者相同，则该点在这一正比例函数的图象上，否则不在． 题型二、求正比例函数比例系数k 解题技巧提炼 将已知点代入正比例函数解出k即可. 5．已知正比例函数的图象如图所示，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象可知点在函数图像上，因此将此点代入函数解析式即可求得k值 【详解】由图知，点在函数上， ∴， 解得： 故选B． 【点睛】本题考查用待定系数法求正比例函数解析式，为基础题．关键在于通过读函数图象得到图象上点的坐标代入求解即可． 6．已知正比例函数的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像经过点（2，4）可求出k的值，得到函数解析式，将各点坐标代入验证即可． 【详解】由图像可知，正比例函数的图像经过点（2，4）， ∴4=2k， 解得：k=2， ∴函数解析式为y=2x， A.当x=-2时，y=2×(-2)=-4，故A错误； B.当x=-1时，y=2×(-1)=-2，故B错误； C.当x=4时，y=2×4=8，故C正确； D.当x=8时，y=2×8=16，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数，通过函数经过的点的坐标求函数解析式是解题的关键． 7．若正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，将点的坐标代入函数关系式，即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：B． 8．已知和均在正比例函数图像上，则的值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，直接把代入正比例函数即可得出的值，进而可得出正比例函数的解析式，再把代入求出的值即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵在函数图像上， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是正比例函数图像上点的坐标特点，熟知正比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 9．已知三点，，，若正比例函数的图像经过其中两点，则k的值为 ． 【答案】﹣3 【分析】分别将点代入解析式，可求出对应的k值，k值相同的两点即在本题的正比例函数图象中． 【详解】将A（﹣2，6）代入解析式得：6＝﹣2k，解得k＝﹣3． 将B（﹣3，1）代入解析式得：1＝﹣3k，解得：． 将C（1，﹣3）代入解析式得：﹣3＝k，解得k＝﹣3． ∴A、C在同一个正比例函数中， ∴本题k值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式，通过待定系数法求出k值，可以确定哪两个点在同一个解析式中，进而可以求取本题结果． 题型三、根据正比例函数图象特征判断字母符号 解题技巧提炼 此类题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象性质利用数形结合思想解题是关键． 10．如果一个正比例函数图象经过不同象限的两点，，那么一定有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据正比例函数图象所在象限，可判断出m及n的符号． 【详解】解：∵点的横坐标为-2＜0， ∴此点在第二或第三象限； ∵点的纵坐标为3＞0， ∴此点在第一或第二象限， 又∵A与B是不同象限的点 ∴此函数的图象一定经过第一、三象限， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴m＜0，n＞0． 故选：C． 11．如果一个正比例函数y＝kx的图象经过不同象限的两点（m，1）、（2，n），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＜0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＞0 【答案】B 【分析】利用正比例函数的性质可知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限或第二、四象限，结合点（m，1）和（2，n）在不同象限，即可得出点（m，1）在第二象限、点（2，n）在第四象限，进而可得出m＜0，n＜0. 【详解】解：正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限或第二、四象限. ∵点（m，1）和（2，n）在不同象限， ∴点（m，1）在第二象限，点（2，n）在第四象限， ∴m＜0，n＜0. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟悉掌握正比例函数的图象特点是解题的关键． 12．正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质可知：函数的图象过一、三象限或二、四象限，再由其图象经过不同象限的两点即可判断． 【详解】解：∵正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n）， ∴m＞0，n＞0， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟知正比例函数图象上点的坐标特征是关键． 13．正比例函数的图象经过不同象限的两个点，，那么一定有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据点的横坐标可以判断点可能在二、三象限，根据点的纵坐标可以判断点可能在一、二象限，由此可以确定正比例函数所经过的象限，即可求解； 【详解】 ， 点可能在二、三象限，点可能在一、二象限 函数图象必定经过一、三象限 ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系内点的特点，同时结合正比例函数的性质，熟练掌握平面直角坐标系内点的特点是求解本题的关键. 题型四、分类讨论问题 解题技巧提炼 点到轴的距离是非负数，而坐标有正负，这将决定k的多样性，做题的时候一定要严谨，并数形结合，以免掉入陷阱． 14．正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ． 【答案】或 【分析】根据题意确定A点纵坐标是2或者-2，设出正比例函数解析式，然后分情况将A点坐标代入解析式即可求出． 【详解】根据题意可得A点坐标或， 设正比例函数解析式为：y=kx， 代入解析式可得：k=或， ∴函数解析式是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数解析式，根据题意确定点A的坐标是解题的关键． 15．函数的图象上存在点P，使得点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【解析】略 题型五、对称、旋转问题 解题技巧提炼 （1）关于x轴对称，x不变y相反；关于y轴对称，y不变x相反． （2）旋转问题一般会给出特殊角（30°、45°、60°、90°等），需要我们画出图形数形结合找出坐标之间的关系. 16．已知直线 y1=2x+1，y2=－2x+1，则下列说法正确的是（    ） A．两直线互相平行 B．两直线互相垂直 C．两直线关于 x 轴对称 D．两直线关于 y 轴对称 【答案】D 【分析】画出图像，根据图像解答即可. 【详解】解：∵，中k值分别为2，-2， ∴两直线不平行，也不垂直； 如图：两直线关于y轴对称 ；关于x轴不对称. ​故选D. 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解答此题的关键是根据一次函数图象上点的坐标特征解决问题. 17．函数 y1 =k1x 的图象过点 P （ 2 ， 3 ），且与函数 y2 =k2x 的图象关于 y 轴对称，那么他们的解析式 y1 = ，y2 = . 【答案】 y=x y=-x 【分析】列出方程，求出未知数，再根据一次函数图象的特点解答． 【详解】把点P（2，3），代入y1=k1x得3=2k1，解得k1=，所以解析式y1=x， 又函数y1=k1x与函数y2=k2x的图象关于y轴对称，所以y2=k2x的图象一定过点P（-2，3），代入解析式得，3=-2k2，解得k2=-，所以解析式是y2=-x． 故答案为(1)y=x ；(2)y=-x 18．已知点A（1，－2），若A，B两点关于轴对称，则B点的坐标为 ,若点（3，）在函数的图象上，则＝ . 【答案】 （1，2） -6 【详解】分析：平面直角坐标系中任意一点关于x轴的对称点的坐标是将点代入函数即可求得n的值． 详解：∵A，B两点关于x轴对称， ∴B点的坐标为(1,2)； 若点(3,n)在函数y=−2x的图象上， 则n=−6. 故答案为(1,2)，−6. 点睛：正比例函数的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，掌握它们各自的性质是解题的关键. 19．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为 ． 【答案】y=-x或y=-4x/ y=-4x或y=-x 【分析】直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式． 【详解】解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′， 则A′（-3，4）， 设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx， 则4=-3k， 解得：k=-， 则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x， 同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A″，则A″（1，-4）， 设过点A″的正比例函数的解析式为：y=kx， 则-4=k， 解得：k=-4， 则过点A″的正比例函数的解析式为：y=-4x， 故则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x或y=-4x． 故答案为：y=-x或y=-4x． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键． 20．过原点的直线经过A3,1，将此直线绕原点逆时针方向旋转45后所对应的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中画出旋转前后的图形，过点A作交OE于点B，轴于点D，交AD的延长线于点C，利用AAS可证，由全等三角形对应边相等可知BC、AC长，易知点B坐标，可设直线的解析式为，将点B坐标代入求解即可. 【详解】解：如图，直线OE为OA逆时针旋转45后所对应的直线，过点A作交OE于点B，轴于点D，交AD的延长线于点C. 由点可知 由旋转可知 轴，交AD的延长线于点C 在和中 所以点B的坐标为 设直线OE的解析式为， 将点B代入得 解得 所以直线OE的解析式为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何图形的综合，涉及了一次函数解析式、全等三角形的判定与性质，灵活利用题中条件添加辅助线是解题的关键. 题型六、正比例函数与三角形面积问题 解题技巧提炼 铅垂法大全 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． 21．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8 (1)求正比例函数的解析式． (2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝－x (2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0) 【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为4，， ∴点A的纵坐标为-4， ∴点A的坐标为(4，－4)， ∵正比例函数y＝kx的图像经过点A， ∴-4＝4k，解得k＝－1， ∴正比例函数的解析式为y＝－x； （2）存在， ∵A(4，－4)， ∴AH＝4， ∵， ∴OP＝5， ∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个． 22．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的值为或 【分析】（1）根据题意，得到，由直线（），交边于点，可知与重合时，最小；与重合时，最大；将点的坐标代入解析式求出值即可得到答案； （2）根据题意，有三种情况：当直线交于时；当直线经过点时；当直线交于点时；分别求解即可得到答案； （3）由（2）中分类，结合，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形边，， ， ∵直线（），交边于点， ∴直线（）经过一、三象限， ∴， 把代入（），得，解得， ∴的取值范围为； （2）解：根据题意，有三种情况： ①当直线交于时，联立，解得， ∴， ∴，即（）； ②当直线经过点时，； ③当直线交于点时，联立，解得， ∴，即（）； 综上所述，关于的解析式为； （3）解：能， ∵，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7， ①当直线交于时，， ∵， ∴，解得； ②当直线交于点时，， ∵， ∴，解得； 综上所述，直线（），将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7时，的值为或． 【点睛】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、正比例函数图象与性质、正比例函数的取值范围、不规则图形面积的间接表示、三角形面积等知识，读懂题意，熟记正比例函数图象与性质，数形结合，准确分类是解决问题的关键． 24．（21-22八年级上·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则正比例函数的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 设点的坐标为，则， 的面积是， ，即， 解得或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键． 25．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 题型七、画正比例函数图象 解题技巧提炼 列表→描点→画图 26．已知：函数． (1)画出此函数的图象； (2)若点P（m，4）在图象上，求出m的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 y 0 -2 描点并连线 （2）解：当点P（m，4）在图象上，则 解得： 【点睛】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键． 27．已知正比例函数（）的图象经过点（3，）． （1）求这个函数的解析式； （2）直接在图中画出这个函数的图象； （3）判断点A（4，）、点B（，3）是否在这个函数图象上； （4）已知图象上两点C（，）、D（，），如果，比较，的大小． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）点不在函数图象上，点在函数图象上；（4）． 【分析】（1）将点（3，）代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可； （4）根据正比例函数的性质或者结合图像分析即可． 【详解】（1）正比例函数（）的图象经过点（3，）， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）正比例函数经过原点，且是一条直线， 当时，， 则在图中找到， 作直线即可，如图： （3）将A（4，）、点B（，3）分别代入， ,则点不在函数图象上， ，则点在函数图象上； （4）， 随着增大而减小， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 题型八、新定义问题 解题技巧提炼 正比例函数新定义问题，要将题目多读多分析，并理解举例，结合函数的图象和性质进行解题. 28．定义运算*为：a*b=如：1*（-2）=-1×（-2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义运算“*”为：a*b=，可得y=2*x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象． 【详解】y=2*x=， x＞0时，图象是y=2x的正比例函数中y轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=-2x的正比例函数中y左侧的部分， 故选C． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，利用定义运算“※”为：a*b=，得出分段函数是解题关键． 29．如图所示，将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标，难度不大．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时，， ∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 故答案为：． 30．在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点． 例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，． (1)点A和点B的3系和点的坐标为__________； (2)已知点，若点B和点C的k系和点为点． ①求m的值； ②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________； ③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点D的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义、求直角坐标系中点的坐标等知识点，准确理解材料是解题关键． （1）根据定义计算即可； （2）①先根据点B和点C的k系和点为点D，列出方程，再根据点D的横坐标等于纵坐标，即可求得； ②由条件得点在一三象限角平分线上，画出图，找到合适的点即可； ③分两种情况讨论，求得当点在第一象限和点在第三象限时，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解；，， 且，， 点A和点B的3系和点的坐标为． 故答案为：； （2）解：①∵点为和的k系和点， ，． 即． ， ， ， ∴； ②∵， ，， ∵点在一三象限角平分线上，如图， ∴符合条件的点有两个，且坐标分别为，， 或， ∴或， 故答案为：或； ③∵，， ∴的面积为2， 当点在第一象限时，四边形的面积为16， ∴的面积为8， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 当点在第三象限时，四边形的面积为12， ∴的面积为6， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$