精品解析：安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题

合肥一中2024—2025学年第一学期高三年级教学质量检测 数学学科试卷 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，且，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知一个正整数，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为（ ）．（参考数据：） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D. 函数与在上有2个交点 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 13. 已知，且，则________． 14. 设函数，下列说法正确的有________． ①函数的一个周期为； ②函数的值域是 ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数． （1）若的图象在点处的切线经过点，求； （2）若是的两个不同极值点，且，求实数a的取值范围． 17. 已知定义域为的函数满足对任意，都有 （1）求证：是奇函数； （2）当时，．若关于x的不等在上恒成立，求a的取值范围． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A取值的范围； （2）若，求周长的最大值； （3）若，求的面积． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； （3）讨论函数在上零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2024—2025学年第一学期高三年级教学质量检测 数学学科试卷 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】或， ，所以， 故选：C 2. 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可. 【详解】根据题意可知，所以， 若 ，则，与矛盾 故，将其上下同时除以，可得， 化简可得，解之得或. 故选：B 3. 已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由是奇函数确定的取值范围，即可判断. 【详解】由为奇函数， 可得：，即， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 解得， 所以是函数为奇函数的充分不必要条件. 故选：A 4. 函数在上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得其导函数并使其恒大于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可. 【详解】由题意可知时，， 时，； 又因为，所以在上单调递增， 因此可得时，恒成立，可得， 又，可得； 综上可得a的取值范围是. 故选：D 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，且，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，利用三角恒等变换求出，再利用正弦定理及三角形面积公式计算得解. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 解得，又，则， 由， 得， 当时，，,, 所以的面积是; 当时，整理得， 即，两边平方得， 又，，则，即， 由正弦定理得， 所以的面积是. 故选：C 6. 已知一个正整数，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为（ ）．（参考数据：） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设这个15次方根为，则，利用对数的运算性质求即可． 【详解】设这个15次方根为，则，其中且， 故，，,，故， ，，由于,故． 故选：C． 7. 已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数证明在区间上单调递增，从而得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从而得出范围. 【详解】，∴时，， ∴在区间上单调递增， ∴当时， ，令， 则，令，则， ∵， ∴时，，∴单调递增， ∴， ∴在上单调递增， ∴， 由题意可知， ∴. 故选：B 8. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】，由， 得， 令，且， 所以，有， 即，故， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C，利用向量的性质可求解B，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】因为关于的不等式，的解集为, 所以，所以，， 所以，A错误； 因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成立，故B正确； ，当且仅当，即时取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，故最小值为，D错误． 故选：BC． 10. 如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D. 函数与在上有2个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据部分图像求出的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项. 【详解】设的最小正周期为， 由图像可知，， 即，可得，故A正确； 且，所以，解得， 又因为图像过点，可得，即， 且，可得， 所以. 对于选项B：因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：将的图象向右平移个单位长度， 得到， 所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故C正确； 对于选项D：注意到， 在同一坐标系内，分别作出函数与在上的图象， 由图象可知：函数与在上有3个交点，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】把已知等式中换成，再移项变形可得A错误；求导令可得，再由是奇函数，再求导可得B正确；由奇函数的性质得到①，在令，可得，再由已知等式得到④，进而得到，然后可得C正确；由原函数和导函数的奇偶性可得，进而可得D正确； 【详解】对于A，因为，把换成，则， 移项化简可得，即，为偶函数，故A错误； 对于B，由A中求导可得， 令，可得， 又是奇函数，即， 求导可得，即， 令，则， 所以，故B正确； 对于C，由B中可得，① 由A中，② 把①中换成可得，③ 由②③可得， 所以: 故C正确； 对于D，由B中， 又由可得，即， 所以 所以令可得；令可得；， 所以， 故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数这一性质，再利用函数的奇偶性解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 13. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用和差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，得，， 由，得，， 由，得， 即，则， 因此，所以. 故答案为： 14. 设函数，下列说法正确的有________． ①函数的一个周期为； ②函数的值域是 ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案. 【详解】对于①，， ， 故是函数的一个周期，①正确； 对于②，， 需满足，即， 令，，则即为， 当时，在上单调递增，则； 当时，， （，故） 此时在上单调递减，则， 综上，的值域是，②错误； 对于③，由②知，， 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离 ； 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离 ， 当且仅当且时等号成立， 而时，或， 满足此条件的x与矛盾，即等号取不到， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误； 对于④，由②的分析可知，则，即， 又，故当且仅当时，， 即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确． 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：对于函数，先求出定义域，再采用换元法令，，得函数，利用单调性求其值域. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可，命题q可利用对勾函数的性质求解，取交集即可得a的取值范围，则集合A可求，再结合补集运算可得答案； （2）由是的必要不充分条件可得B，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，所以关于的一元二次方程无解， 即，解得， 因为命题q为真命题，当时，在上为增函数，满足题意； 当时，结合对勾函数的性质可知在上单调递减，不满足题意； 故集合，所以或； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，则B， 当时，，解得，此时满足B， 当时，则或， 解得或， 综上所述，的取值范围是或. 16. 已知函数． （1）若的图象在点处的切线经过点，求； （2）若是的两个不同极值点，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答. （2）利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答. 【小问1详解】 函数，求导得， 则，， 于是函数的图象在点处的切线方程为， 即， 而切线过点，则， 整理可得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 由（1）知，方程，即有两个不等实根， 则，解得，且， 于是 ， 由，得，解得， 因此，所以实数的取值范围是. 17. 已知定义域为的函数满足对任意，都有 （1）求证：是奇函数； （2）当时，．若关于x的不等在上恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 令，得，即， 令，得，即， 令，， 所以是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，先求出及的值，再证明即可； （2）由题意得，构造函数，得出的奇偶性及在上的单调性，继而可得，结合题意可得，令，利用导数求出在上的最大值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，且， 所以， 令， 因为， 所以，则， 设，则，所以， 因为， 所以在上是减函数， ，所以为偶函数， 所以在上恒成立， 即或， 即或（负值，舍去）， 令，即， ， 令，解得， 所以，，单调递增， 所以， 所以. 故的取值范围是. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A取值的范围； （2）若，求周长的最大值； （3）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）6； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可； （2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算； （3）根据题意结合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面积公式分析运算. 【小问1详解】 由题设， 所以， ， 又，则， 根据正弦边角关系，易得，则， 又，则，当且仅当时取等号， 所以，结合，可得； 【小问2详解】 由（1）有，又， 又，则， 所以，当且仅当取等号， 所以周长的最大值6. 【小问3详解】 由，且， 所以，而，则， 由，显然，故，即， 结合，可得， 由，而， 由，整理得，可得（负值舍）， 所以，故. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； （3）讨论函数在上零点的个数. 【答案】（1）； （2）当时，函数有极大值，无极小值；当时，函数无极值； （3）当时，函数在上无零点；当时，函数在上有且只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出结论； （3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，设， 则对任意的恒成立，故在上单调递减. 所以，，当时，. ①若，即时， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，在处取得极大值，不存在极小值； ②若，则，对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，此时函数无极值. 综上所述，当时，函数有极大值，无极小值； 当时，函数无极值； 【小问3详解】 分以下情况讨论： ①若，函数在上单调递增， 则， 此时，函数在上无零点； ②若，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在，使得，且函数在上单调递增，在上单调递减. 从而有，设，则对任意的恒成立，从而当增大时，也增大. （i）若，此时，此时函数在上单调递减， 若，可得或（舍去）. 此时函数在上无零点； 若，可得， 此时函数在上有且只有一个零点. 当时，，，此时函数在上只有一个零点； （ii）当时，此时，此时函数在上单调递增，在上单调递减. ，， 所以，， 设，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增，所以，， 若，即，即，此时函数在上无零点； 若，即，即时，此时函数在上有且只有一个零点. 综上所述，当时，函数在上无零点； 当时，函数在上有且只有一个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $