山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二上学期期中考试 参考 答案 1．C 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 2．C 【分析】由题意，确定满足条件的基本事件个数即可． 【详解】根据三角形任意两边之和大于第三边， 所以能组成三角形的有：2，3，4；2，4，5；2，5，6；3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6，共7个， 故选：C． 3．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可 【详解】若直线与直线垂直， 则，得，或， 所以命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 4．A 【分析】根据给定条件，借助斜率判断形状，再求出圆方程作答. 【详解】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即， 因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径， 所以外接圆方程是，即. 故选：A 5．A 【分析】先求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理结合圆的性质求出的长，由圆的性质可知当为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，从而可求出面积的最大值. 【详解】解：把圆化为标准方程，圆心，半径， 直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距， 由勾股定理的半弦长为，弦长为， 又两点在圆上，并且位于直线的两侧，四边形的面积可以看出是两个三角形和的面积之和， 如图所示，当为如图所示的位置，即为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大， 最大面积为， 故选：A． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及圆的内接四边形面积最大问题，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 6．A 【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示 由题意可知，， 因为为的中点，所以, 所以， 当时，取最小值，此时取最大值， 所以的最大值为4. 故选:A. 7．D 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 8．C 【分析】由，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出的值，进而可得答案． 【详解】由，得到， 因为底面是矩形，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， ，故． 故选：C． 9．AB 【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可. 【详解】当时，其斜率，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确； 故选：AB. 10．AC 【分析】对于AB：根据独立事件的定义分析判断；对于C：先求，根据独立事件的乘法公式分析判断；对于D：根据互斥事件与独立事件的关系分析判断. 【详解】对于选项A：把一枚硬币掷两次，对于每次而言结果都是相互独立的， 即其结果不受先后次序的影响．所有事件是相互独立事件，故A正确； 对于选项B：不放回地摸球，显然事件A与事件不相互独立，故B错误； 对于选项C：事件A为出现1，3，5点，， “出现点数为3或4”，则， “出现点数为3”，则， 因为，所以事件相互独立，故C正确； 对于选项D：可知两事件是互斥事件，所以事件不是相互独立事件，故D错误． 故选：AC. 11．ABC 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明及线面角的向量求法求解判断即可. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 由，得，， 对于A，，显然， 即，而平面，则平面， 因此是平面的法向量，又， 平面，所以平面，A正确； 对于B，由选项A知，对于任意的，，即，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，平面的法向量，令与平面所成的角为， 则， 而，因此不存在，使与平面所成的角为，D错误. 故选：ABC 12．(5，－9). 【分析】设顶点，根据的中点在轴上，的中点在轴上，列出方程组，即可求解. 【详解】设顶点， 因为的中点在轴上，的中点在轴上， 所以且，解得， 所以的坐标为. 故答案为：. 13． 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 平面ABC的法向量为， 平面AEF的法向量为. 所以， 所以， 则, 取x=1，则y=-1，z=3.故. 所以. 所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为. 故答案为： 14． 【分析】根据题意可设，，，由在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知是的两个根，进而求直线的斜率，再根据直线、倾斜角的关系求值. 【详解】由题设，圆和圆与轴和直线相切，且一个交点， ∴和在第一象限，若分别是圆和圆的半径，可令，，， ∴，易知：是的两个根， 又，∴，可得，则，而直线的倾斜角是直线的一半，∴. 故答案为：. 15．(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为 ． (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到平面OPB，故； （2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面APD的法向量，利用线面角的向量公式求出正弦值； （3）由两平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【详解】（1）如图，取CD的中点，连接OP，， 因为是边长为2的正三角形，所以， 在菱形ABCD中，，则为等边三角形，所以， 又，，平面OPB，所以平面OPB， 又平面OPB，所以； （2）由（1）得，， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD， 如图，以点为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则，，， 设平面PAD的法向量为，则有， 令，则，，所以， 所以PB与平面APD所成角的正弦值为 ； （3）因为轴平面PCD，所以可取平面PCD的法向量为， 由（2）得平面PAD的法向量为， 则， 所以平面APD与平面PCD夹角的余弦值为. 17．(1)证明见解析 (2) (3)4 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为，故无论k取何值，直线l总过定点． （2）直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 18．(1)证明见详解 (2) (3)存在点满足题意， 【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证； （2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是正方形，则， 且与是平面内两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以. （2）因为分别是的中点， 所以， 所以平面即是平面， 由（1）知平面，则平面，平面， ，则， 设点到平面的距离为，由， 得，即， 解得， 所以点到平面的距离为. （3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， ， ，整理得， 解得或（舍）， ，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程. （2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得. （3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程. 【详解】（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为. （2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或，又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. （3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧， 设，则，连接，， ，， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 答案第4页，共7页 答案第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上学期期中考试 一、单选题 1．已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2．有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 3．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 6．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 7．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 8．如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（    ） A．9 B． C． D．6 二、多选题 9．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 10．下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 11．如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的，都有平面 B．对于任意的，都有 C．若，则 D．存在，使与平面所成的角为 三、填空题 12．已知的两个顶点，若的中点在轴上，的中点在轴上，则顶点的坐标为 ． 13．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 . 14．已知圆和圆与x轴和直线相切，两圆交于P，Q两点，其中P点坐标为，若两圆半径之积为，则点k的值为 ． 四、解答题 15．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD. (1)求证：； (2)直线PB与平面APD所成角的正弦值； (3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值. 17．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 19．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 第3页共4页◎第4页共4页 第1页共4页◎第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共7页 答案第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$