广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

南宁二中2024-2025学年度上学期高一期中考试参考答案 数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 B.取，，，，满足，， ，，不满足，因此不正确； C.，则，对 两边同时乘，则，正确； D.取，，，，满足条件，，但是不成立． 3.下列函数是偶函数的是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是(    ) A. 消耗升汽油，乙车最多可行驶千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油 D. 某段道路机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 6.已知，则(    ) A. B. C. D. 7.已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是(     ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的有(    ) A. 式子可表示自变量为、因变量为的函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有个 C. 函数，则4 D. 与是同一函数 10.若正实数满足，则下列说法正确的是(    ) A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 11.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是(    ) A. 是函数的“完美区间” B. 若为的“完美区间”，则 C. 二次函数存在“倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 13．已知，若q的充分不必要条件是p，则实数m的取值范围为 . 14．定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（满分13分）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 16.（满分15分）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17.（满分15分）经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足． (1)试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式； (2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值． 18.（满分17分）已知关于的不等式的解集为. (1)若，求实数的取值范围； (2)集合A中有且仅有两个整数，求实数的取值范围； 19.（满分17分）已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁二中2024-2025学年度上学期高一期中考试参考答案 数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】集合，，． 2.下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【详解】当时不成立； B.取，，，，满足，， ，，不满足，因此不正确； C.，则，对 两边同时乘，则，正确； D.取，，，，满足条件，，但是不成立． 3.下列函数是偶函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于，，=，不是偶函数，不符合题意； 对于，，定义域为R，，是偶函数，符合题意； 对于，. ，，是奇函数，不符合题意； 对于，，定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意； 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】根据题意，，且得. 5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是(    ) A. 消耗升汽油，乙车最多可行驶千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油 D. 某段道路机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【详解】对于，由图象可知当速度大于时，乙车的燃油效率大于， 当速度大于时，消耗升汽油，乙车的行驶距离大于，故A错误； 对于，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高， 即当速度相同时，消耗升汽油，甲车的行驶路程最远， 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误； 对于，当速度为时，甲车的燃油效率为，即甲车行驶时，耗油升， 故甲车行驶小时，路程为，耗油为升，故 C错误； 对于，当速度小于时，丙车燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确. 6.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】令，；； ． 7.已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由于的解集为， 故为方程的两个根，且则 可得且 ， 当且仅当时等号成立．所以的最大值为． 8.函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是(     ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】对任意的实数都有， ，即， ，，函数是上的单调函数， 函数是上的单调增函数，，即，解得， 即不等式的解集为． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的有(    ) A. 式子可表示自变量为、因变量为的函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有个 C. 函数，则4 D. 与是同一函数 【答案】ABD 【详解】因为不等式组的解集为非空集，得出选项A正确； B.由函数的定义，在定义域内的每一个，有且只有一个与之对应，故选项B正确； C.，故，．故选项C错误； D.若两个函数有相同的定义域与对应关系，则这两个函数是同一个函数，故选项D正确． 10.若正实数满足，则下列说法正确的是(    ) A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】BCD 【详解】设正实数、满足． ，当且仅当时，等号成立，  的最大值为，选项错误； ，则， 当且仅当时，等号成立，选项正确； ，当且仅当时，等号成立，选项正确； ， 当且仅当时，等号成立，选项正确． 11.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是(    ) A. 是函数的“完美区间” B. 若为的“完美区间”，则 C. 二次函数存在“倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于，函数在单调递减，所以值域也是，故A正确； 对于，因为函数的对称轴为，图象开口向上， 故函数在上单调递增，所以其值域为， 又因为为的完美区间， 所以，解得或，因为，所以，B错误； 对于，若存在“倍美好区间”， 则设定义域为，值域为， 当时，易得在区间上单调递减， ，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确； 对于，的定义域为，假设函数存在“完美区间”， 若，由函数在内单调递减，则，解得； 若，由函数在内单调递增，则 即在有两解，，得， 故实数的取值范围为，D正确． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，且在上是严格增函数， 所以. 13．已知，若q的充分不必要条件是p，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】根据题意可知，若q的充分不必要条件是p需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即；因此实数m的取值范围为. 14．定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】当时，解得或，所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（满分13分）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 16.（满分15分）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 17.（满分15分）经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足． (1)试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式； (2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值． 【详解】（1）由题意，得 （2）①当时，因为，当且仅当， 即时取等号. 所以当t＝10时，有最小值12100； 当t＝1时，有最大值20200； ②当时，∵在[25，30]上递减， ∴当t＝30时，有最小值12400; 当t=25时，有最大值13000. ∵12100＜12400，13000<20200， ∴当t＝10时，该商品的日销售金额取得最小值为12100； 当t=1时，该商品的日销售金额取得最大值为20200． 18.（满分17分）已知关于的不等式的解集为. (1)若，求实数的取值范围； (2)集合A中有且仅有两个整数，求实数的取值范围； 【详解】（1）因为，所以当时，. 将代入得，即，解得. （2）由，因式分解得， 当时，开口向上，不等式的解A含有无数个整数，不符合题意，舍去； 当时，不等式的解为，含有无数个整数，不符合题意，舍去； 当时，，不等式的解为. 因为集合中有且仅有两个整数，这两个整数只能是，.所以， 当时，，解得； 当时，，解得. 所以. 19.（满分17分）已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 【详解】（1）根据题意，函数是定义域在上的奇函数， 则，即有，解可得， 则， 则，则此时为奇函数， 设， 则， 又，， 则，，，， 则，即， 故在上是增函数. （2）根据题意，是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ， 则有对，恒成立， 则有，则， 即的取值范围为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$