精品解析：广东省汕头市潮南区2024-2025学年上学年 九年级数学期中试题

2024～2025学年度第一学期 九年级数学科期中考试卷（V） （内容：） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 9. 已知m，n是方程的两个根.记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 点是抛物线上的一点，则________； 12. 一个矩形的两邻边长分别是方程的两根，则矩形的面积等于________； 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 14. 如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为__________． 15. 如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 17. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 18. 已知实数x，y满足，若，求t的最大值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 21. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证： （2）若．求四边形的面积． 23. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期 九年级数学科期中考试卷（V） （内容：） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数顶点式，顶点坐标为：，对称轴为：，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数顶点式，顶点坐标为：，对称轴为：直线， ∴抛物线中，对称轴为：直线． 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系和解二元一次方程组，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．先求解，结合垂直的定义与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，记垂足为， ∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的根为， 即方程的另一个根为：． 故选：A． 7. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 9. 已知m，n是方程的两个根.记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数关系得，再计算得，，…，，从而得到，由题意得，求解即可得解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴， ∴， ， ….. ， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵t为正整数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，分式化简求值，熟练掌握解一元二次方程和一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 点是抛物线上的一点，则________； 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，关键是会用待定系数法计算．利用待定系数法把代入可得的值 【详解】解：把代入得：， 故答案为：． 12. 一个矩形的两邻边长分别是方程的两根，则矩形的面积等于________； 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，矩形的性质，由方程得到两个一次方程，再解一次方程结合矩形面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， ∴矩形相邻的两边分别为：2和3， ∴矩形的面积为：； 故答案为：6． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系，根据题意，，为方程的根，得，根据，则，根据，即可． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握抛物线上的点的坐标代入解析式能使左右两边相等，抛物线的顶点横坐标为，据此列式即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∵顶点在直线上， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为： ． 15. 如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同是解题的关键．根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点坐标可解决问题． 【详解】解：， 每旋转八次，点的坐标重复出现． 余4， 第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同． 连接和， 四边形是矩形， 和互相平分， ，， ，， 点的坐标为． 又， 第4秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称， 此时点的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A； （2）再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 17. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到 ，， ， 18. 已知实数x，y满足，若，求t的最大值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，用表示，并能正确的进行配方是解题的关键．由第一个等式可用去表示，再用去表示，对所得表达式进行配方即可． 【详解】解：由得， ． 由， 则 因为， 所以． 即当时，取得最大值，最大值为6． 故的最大值为6． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接， 则的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【小问1详解】 解：根据题意得 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 21. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证： （2）若．求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1中， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，连接， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 23. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的交点坐标是、， 设该抛物线解析式为， 将点代入函数解析式代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为：， 联立方程组：， 解得或， ∵， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 解：如图所示： 过点作轴，交于点， 设，则， ， ， 当时，的面积的最大，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：设直线与轴相交于点，则， ∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G， ∴设点坐标为，则点点坐标为， ， ， ， 轴， ， 若为直角三角形，则是等腰直角三角形， ①当时，过点作于， ，，， ，解得：（舍去）或， ； ②当，则， ， 解得（舍去）或， ； 综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $