精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明县海渊中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期宁明县海渊中学九年级数学上册月考卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一个符合题目要求，多选、错选或未选均不得分．） 1. 下列函数关系中，是的二次函数的是（ ）. A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 当时，的函数值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（ ） A. B. C. D. 5 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（　　） A. B. C. 方程无解 D. 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A. 18 B. C. 9 D. 12. 如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 关于的函数与轴有唯一交点，则的值是________． 14. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 16. 如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 已知关于的二次函数． （1）当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； （2）若抛物线与直线交于点，求点到轴的最小值． 18. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 19. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的解析式和对称轴； ②若将平面内一点向左平移个单位长度得到点，向右平移个单位长度得到点，且点恰好在二次函数的图象上，求出的值： （2）若点，是该二次函数图象上的两点，且满足，求证：． 20. 某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门如图所示，点Q为图中抛物线的顶点，其高（即顶点Q到地面的距离）为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求图中抛物线的函数表达式；（无需写出自变量x的取值范围） （2）小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使得点A、D在抛物线上，点B、C在上，若光带的长度为6米，求“光带”、的长度之和（即的值）． 21. 如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. （1）求二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围是 ； （3）将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 22. 某网店以每件100元的价格购进一批休闲服进行销售，当每件售价为280元时，日销量为50件．网店准备采取降价方式进行促销，经市场调查发现：每件休闲服的售价每降低20元，则日销量增加10件． （1）网店欲每日获得9600元利润，且能够尽快减少库存，则每件休闲服售价应定为多少元？ （2）小张看到该网店的促销方式后，认为“当网店日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小张的想法对吗？试说明理由． 23. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期宁明县海渊中学九年级数学上册月考卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一个符合题目要求，多选、错选或未选均不得分．） 1. 下列函数关系中，是的二次函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据形如是二次函数，可得答案； 【详解】解：选项A中，不是二次函数，故选项A错误； 选项B中，不是二次函数，故选项B错误； 选项C中，是二次函数，故选项C正确； 选项D中，不是二次函数，故选项D错误； 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 3. 当时，的函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 4. 已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下． 【详解】解：设“□”为， ∵二次函数的图象开口向上， ∴为大于0的实数， 则D选项符合题意， 故选：D． 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 6. 已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二次函数的增减性判断函数值大小． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质时开口向上，对称轴右侧随增大而增大）比较函数值大小． 【详解】因为， 所以抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以， 故选：A． 7. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：A． 8. 某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（　　） A. B. C. 方程无解 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是根据二次函数的图象和性质分别判断即可． 【详解】解：A、图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点在和之间， 当时，，即，故选项A不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， 由图象可知，当时，， ，故选项B符合题意； C、由图象可知顶点坐标为， ， 方程的解为，选项C不符合题意； D、时函数值为最大值， ，即，选项D不符合题意． 故选：B． 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 11. 如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A. 18 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 12. 如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得进行求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点．如图所示： 点，的横坐标分别为，，已知正方形的顶点，在二次函数的图象上， ， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵点，在轴的同侧， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 关于的函数与轴有唯一交点，则的值是________． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【分析】对分情况进行讨论，当和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：当时，函数为，为一次函数，与轴有唯一交点，符合题意； 当时，函数为，为二次函数，与轴有唯一交点 则判别式，解得 故答案为0或1 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键，易错点是容易忽略的情况． 14. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标，的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出抛物线的对称轴，再利用增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵时，， ∴当时，， 又当时，， ∴当时，， 即， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____． 【答案】(2，)## 【解析】 【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解． 【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 连接AC，由点的对称性知，MA=MB， △MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小， 令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5， 故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5）， 则函数的对称轴为x=（1+3）=2， 设直线BC的表达式为y=kx+b，则 ，解得， 故直线BC的表达式为y=-x+5， 当x=2时，y=-x+5=， 故点M的坐标为（2，）． 故答案为： 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 已知关于的二次函数． （1）当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； （2）若抛物线与直线交于点，求点到轴的最小值． 【答案】（1）顶点坐标为；对称轴为直线 （2）点到轴最小值为7 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）求得点的纵坐标为，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中， 得， 顶点坐标为， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：把代入中， 得， 所以点的纵坐标为， 因为， 所以点到轴最小值为7． 18. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 19. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的解析式和对称轴； ②若将平面内一点向左平移个单位长度得到点，向右平移个单位长度得到点，且点恰好在二次函数的图象上，求出的值： （2）若点，是该二次函数图象上的两点，且满足，求证：． 【答案】（1）①；对称轴为直线；②； （2） 证明：∵设点，是该函数图象上的两点，， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图象的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a的值，即可得到二次函数的解析式；将解析式化为顶点式即可得到二次函数的对称轴；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：①将代入可得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； ②∵将平面内一点向左平移个单位得到点，将点A向右平移个单位得到点， ∴， ∵点恰好在二次函数的图象上， ∴点关于二次函数图象的对称轴对称， ∴， 解得， 则， 把代入，得； 【小问2详解】 略 20. 某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门如图所示，点Q为图中抛物线的顶点，其高（即顶点Q到地面的距离）为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求图中抛物线的函数表达式；（无需写出自变量x的取值范围） （2）小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使得点A、D在抛物线上，点B、C在上，若光带的长度为6米，求“光带”、的长度之和（即的值）． 【答案】（1） （2）“光带”、的长度之和为9米 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的顶点，再利用顶点式求解； （2）先根据矩形的性质得出轴，，再利用对称性得出点的横坐标为3，令，求得，从而可得，于是可求得． 【小问1详解】 解：∵米， ∴顶点的横坐标为， ∴顶点的坐标为， 设图中抛物线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得:， ∴图中抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴轴，， ∵米， ∴由抛物线的对称性可知：点的横坐标为3， 令，则， ∴， ∴（米）， ∴“光带”、的长度之和为9米． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，根据二次函数的对称性求函数值，待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题(实际问题与二次函数)，根据矩形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 21. 如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. （1）求二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围是 ； （3）将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质，二次函数的平移， （1）设二次函数的解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入函数解析式，再结合图形，即可解答； （3）设二次函数的图象向下平移个单位，根据顶点式平移的性质可得二次函数的解析式，再将代入，解方程，求得的值，即可解答， 熟练掌握二次函数的平移口诀：“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【小问1详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入，可得， 解得， 二次函数的解析式为，即； 【小问2详解】 解：将代入函数解析式， 可得， 将代入函数解析式， 可得， 根据题意可得，当时，有最小值为 当时，y的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设向下平移个单位， 可得， 把代入， 可得， 解得， 故答案为：18． 22. 某网店以每件100元的价格购进一批休闲服进行销售，当每件售价为280元时，日销量为50件．网店准备采取降价方式进行促销，经市场调查发现：每件休闲服的售价每降低20元，则日销量增加10件． （1）网店欲每日获得9600元利润，且能够尽快减少库存，则每件休闲服售价应定为多少元？ （2）小张看到该网店的促销方式后，认为“当网店日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小张的想法对吗？试说明理由． 【答案】（1）每件休闲服的售价应定为220元；（2）不对，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知表示出每天的销量以及每件利润，即可得出答案； （2）根据二次函数最值问题进行分析即可． 【详解】（1）设售价定为x元， 则由题意得， 整理得， 解得，． ∵尽快减少库存， ∴． 答：每件休闲服的售价应定为220元； （2）小张的想法不正确，理由如下： 设售价定为x元，每日的利润为y元，则 ， ∴元时，日利润最大， 而日销售额， 当时，日销售额s最大． ∴他的说法不对． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 23. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】（1）y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） （2）能飞越 把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）8.1米 【解析】 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $