精品解析：山东省烟台市烟台经济技术开发区烟台爱华高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

爱华高级中学2023级高二上10月月考数学测试卷 出卷人：孙泽洪 审核人：唐诗 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是直线上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题说法正确的有（ ） A. 已知直线与直线，若，则或 B. 点关于直线的对称点的坐标为 C. 原点到直线的距离的最大值为 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 11. 如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 13. 若圆与圆相切，则a的值为___________. 14. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点、、，设，． （1）设，//，求． （2）若与互相垂直，求． 16. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. （1）求证：； （2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 爱华高级中学2023级高二上10月月考数学测试卷 出卷人：孙泽洪 审核人：唐诗 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，即， 所以倾斜角满足，， 所以， 故选：C. 2. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知， 故选：D． 3. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出异面直线和所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知， 所以是异面直线和所成的角或其补角， 设异面直线和所成的角为，设正方体的棱长为， ，， 则. 故选：A. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 4. 已知点是直线上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，从而当三点共线时得到最小值. 【详解】解析：设关于直线的对称点为，所以， 解得:，所以：， 当三点共线时有最小值：， 所以：的最小值等于.故D项正确. 故选：D. 5. 直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，表示出边界线，根据所过点以及切线性质，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 当直线位于直线时，交点一定有两个， 由，则，易知， 设直线，由图可知为切线，则，解得， 由图可得：. 故选：C. 6. 已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值. 【详解】由题得，当时，最小时，最小. 由题得， 所以. 故选：B. 7. 已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由弦长公式可得，由此可通过求的最大值，确定弦长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为点、在圆上，的中点为， 所以，其中， 即， 因为圆的圆心为，半径，点在圆上， 所以，故， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：B. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题说法正确的有（ ） A. 已知直线与直线，若，则或 B. 点关于直线的对称点的坐标为 C. 原点到直线的距离的最大值为 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】A：根据两直线平行列出关于的方程，求解出结果后再检验是否重合，由此作出判断；B：设出对称点坐标，根据已知点和对称点的中点在已知直线上、已知点和对称点的连线垂直于已知直线求解出对称点坐标；C：先分析直线经过的定点，然后根据最大距离即为原点到定点的距离求解出结果；D：分别考虑直线的横纵截距是否为，由此求解出直线方程. 【详解】A：因为，所以，解得或， 当时，化简可得，所以重合，故A错误； B：设对称点为，所以，解得，所以对称点为，故B正确； C：因为即为， 令，解得，所以直线经过定点， 下面证明：当时，此时原点到直线的距离有最大值， 当转至任意位置且不垂直时，过点作，如下图所示： 此时显然为直角三角形，且为斜边，所以， 所以原点到直线距离的最大值即为原点到的距离，即为，故C正确； D：当直线的横纵截距均为时，设，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设，代入，解得， 由上可知，过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，故D错误； 故选：BC. 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直接法求点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项. 【详解】由题意，设点， 又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，B选项正确； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 11. 如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 直线与平面所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立空间的一组基底，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A项；利用空间向量的夹角公式计算判断B项；利用向量的数量积是否为0判断C项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D项. 【详解】不妨设则. 对于A，因, 故 ，故，故A正确； 对于B，因，,则， ， 设直线与所成角为，则故B正确； 对于C，因 ， 即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误； 对于D，因，, 因，， 则有因平面，故平面， 即平面的法向量可取为，又， 设直线与平面所成角为， 因，，， 则，因，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，向量在上的投影向量是， 其坐标为. 故答案为：. 13. 若圆与圆相切，则a的值为___________. 【答案】或或 【解析】 【分析】讨论两圆为内切或外切两种情况，利用圆心距离与两圆半径的关系列方程求参数a即可. 【详解】由的圆心为，半径为1；的圆心为，半径为5， ∴若两圆内切，则，即； 若两圆外切，则，即. 故答案为：或或. 14. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点、、，设，． （1）设，//，求． （2）若与互相垂直，求． 【答案】（1）或 （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理，结合即可得出； （2）利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【小问1详解】 由于，，则， 由于//，设，由，则，即有， 则或． 【小问2详解】 与互相垂直，则， 则，由（1），，即有， 解得或． 16. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【小问1详解】 由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面的法向量和的坐标，点到平面的距离.计算即可求出答案. （2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案. 【小问1详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系. 由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则. .故点到平面的距离. 【小问2详解】 平面的法向量， 平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. （1）求证：； （2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：由已知可得四边形是等腰梯形， 过作，垂足为，则， 在中，， 则，可得， 在中，由余弦定理可得， ， 则，， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 又为矩形， ，则平面， 而平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，利用正余弦定理可证，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，且， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，设， 则，又， 设平面的法向量为， 由， 取，得， 又， ， ，， 则. 19. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）或． （3）证明:设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【小问1详解】 根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． 【小问2详解】 根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $