上海市民办南模中学2024-2025学年高二上学期期中数学试题

南模中学高二期中数学试卷 2024.11 一.填空题 1. 空间两直线所成角的取值范围是 2. 如图所示:在直三校柱ABC-A.B.C中,AB1BC,AB=BC=BB,则平面ABC 与平面ABC所成的锐二面角的大小为 C 3. 已知圆柱O的母线长为1,底面半径为y,O是上底面圆心,A、B是下底面圆周上两个 4. 以下五个命题中,所有真命题的序号为 ①三角形(及其内部)绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥; ②正校柱的侧梭垂直于底面; ③校锥的各侧梭和底面所成的角相等; ④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 5. 正方体ABCD-A.B.CD.中,点M为A.B.的中点,则异面直线AM、BD.所成的角的 大小为 6. 已知在圆锥SO中,底面圆O的直径AB=2,△SAB的面积为22,点M在母线SB上 且SM--SB,一只蚂蚁若从A点出发,沿圆锥侧面爬行到达M点,则它爬行的最短距离 2. 7. 如图,在正四柱ABCD-AB.C.D中,BB.=2,AB=AD=1,E为AA.的中点 则A点到平面DCE的距离为 8. 已知g、B是两个相交平面,空间两条直线l、2在g上的射影是直线s、s,在B上 的射影是直线t、t,用s.与s,4与t。的位置关系,写出一个总能确定与12是异面直线 的充分条件 全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中(不考虑外包装的厚度),则外包装盒的 表面积的最小值为 {C 10. 已知正四面体ABCD中,AB=2,P、P、...、P在线段AB上,且 |APlB-PPP.B,过点P(k=1、2、..、n)作平行于直线AC、BD 的平面,截面面积为a.,则所有截面积之和为 11. 在校长为1的正方体ABCD-A.B.C.D中,M是校CC.的中点,N是侧面B.BCC.内的 动点,且满足直线A.N//平面ADM,当直线A.V与平面B.BCC.所成角最小时,记过点 D、M、N的平面截正方体ABCD-A.B.CD.所得到的截面为O,所有O的面积组成的集合 记为S则S=_ 12. 在校长为1的正方体ABCD一A.B.CD.中,F、P分别为线段AC.和平面A.B.CD上的 动点,点G为线段BC的中点,则△PGF周长的最小值为__ 二.选择题 13.如图,用斜二测画法作△ABC的直观图得△A.B.C,其中 A.B.=BC,A.D.是BC边上的中线,由图形可知,在△ABC (D是BC的中点)中,下列结论中正确的是( _。 A. AB=BC=AC B. ADIBC C. AC>AD>AB>BC D. AC>AD>AB=BC 14. 如图正方体ABCD-A.B.C.D中,P、O、R、S分别为梭 C AB、BC、BB.、CD的中点,联结A.S、B.D,对空间任意两 点M、N,若线段MN上不存在点在线段A.S、B.D上,则称 _ M、N两点可视,则下列选项中与点D可视的是( 2 C.点P B.点O D. 点R A. 点B 1D 15. 分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的 体积依次为V、V、V,则() #### ## A. V-V2+V B.2-V2+V2 16. 已知P是正方体ABCD一A.B.C.D.的中心,过点P的直线/与该正方体的表面交于E、 F两点,现有如下命题:①线段EF在正方体6个表面的投影长度为t(i=1、2、...、6), 为定值.下列判断正确的是( ) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C. ①为假命题,②为真命题 D. ①为真命题,②为假命题 三.解答题 17. 已知长方体ABCD-A.B.C.D.中,AD=AB=4,AA.=2,E、F分别是AB,A.D 的中点. (1)求证:直线EF/平面BB.D.D; D (2)求直线EF与平面BCCB.所成角的正弦值 2 18. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶 点的曲率等于2:与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面 3 3 M分别为AB、CC.的中点,且AB=AC,AA.=2AB. (1)求异面直线CN和BM所成角 (2)求二面角A-MB.-C的正切值 M B 的图像上,设C、D的纵坐标为t (1)求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积V(0和表面积S(0关于t的表达式 (2)求V(t)、S(o的取值范围 20. 对于函数y=f(x)和数列(a)、(),若a.=f(n),f(b)=n,则称(a)为函数 y=f(x)的“影数列”,(b.)为函数y=f(x)的一个“镜数列”.已知f(x)=x2, g(x)=logx,h(x)-2*+x. (1)若(a)为y=f(x)的“影数列”,(b)为函数y=g(x)的“镜数列”,求a,+b的值; (2)在(1)的条件下,当n>5,nEN时,比较a.和b.的大小,并说明理由; (3)若(c)为函数y三h(x)的“影数列”,(d.)为函数y三h(x)的“镜数列”,现将(c) 与(d.)的公共项按从小到大的顺序重新构成数列e),试问在数列(e)中是否存在连续三 项构成等比数列?请说明理由 21. 如图,在平行六面体ABCD-A.B.C.D.中,AD=1,CD=2,A.D1平面ABCD AA.与底面ABCD所成角为9,设直线A.C与平面AA.D.D、平面ABCD、平面AA.B.B 所成角的大小分别为g、B、”. (1)若 ADC=24,求平行六面体ABCD-A.B.C.D.的体积V的取值范围; (2)若之ADC-29且θ-,求g、B、”中的最大值; g()=max(a(),(),v()(其中maxfa,b是指a、b中的最大的 数),求g()的最小值. 7C 参考答案 一.填空题 1.[01) 2. 3. 3 4. ②④ .7 6.7 8. s.//s,且t.与t,相交(或t.//t,且s.与s相交) 11.# 12.-3 2n2+4n 9. 38R2 10. 3n+3 二.选择题 15.C 13.C 14.B 16.D 三.解答题 17. 【解】(1)取BD的中点P,连接PE,PD,由条件E,F 分别是AB,AD的中点可知 PElID.F,且PE=D.F,故PEFD.为平行四边形,所以PD.lIEF : EF平面BB.D.D,且PD.C平面BB.D.D :.EF//平面BBD.D (2).平面BCCB.//平面ADD.A C '.直线EF与平面ADD.A.所成角就是直线EF与平面 BCC.B所成角. .AB1平面ADDA,..EF在平面ADD.A.内的射影 为AF 因此AFB就是直线EF与平面ADD.A.所成角 A 在△AEF中AF=22,AE=2,EF=23$ 18. 【解】(1)在直三校柱ABC-A.B.C,中,AA1平面ABC,AC,ABC平面ABC, 则4A1AC,AA1AB,所以点A的曲率为2π-2x"-乙BAC-2π #2 取BB.中点P,连CP,则可得CP//B.M,所以PCN即为异面直线CN和B.M所成角 CP?+CN2-NP26 所以cos乙PCN= 2CP.CV (2)取BC的中点F,连接AF,则AF/BC, 因为BB.1平面ABC,AF一平面ABC,所以BB.1AF, 因为BB.OBC=B,BB,BCC平面BB.CC,所以AF1平面BB.CC 又BMC平面BB.C.C,所以AF1BM,过F作B.M的垂线,垂足为H,连接AH, 则B.M1FH,又AFCFH=F,AF,FHC平面AFH,所以BM1平面 AFH, 又AH一平面AFH,所以AH1BM, 所以乙AHF为二面角A-MB-C的平面角的补角 H 设BMOBC=E,AB=2,则AF=3,EF=1+2-3,ME=2$2. {M 由等面积法可得MEFFH--EF·CM,则 2 2 EF·CM3x23 32# FH= ME FH- 3 ) 19. 【解】(1) 1+2* 当且仅当x-1时取等号,即te(0) 又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱,设C、D的坐标为(×,t),(x,t) 则圆柱的底面圆半径为t,高为h=x-x2, 14f#_2#(2#14-(}) S(t)-2xt2+2rt.1 (2)由(1)V(1) #(1-4),0),得V(t) (0.- 令-V1-4t2,则e(0,1), $(1)-2”(-4x→)在ke(0.1)严格增,得()(#]2) #(t)#0# ()(#-2) 所以综上所述: 20. 【解】(1)由题意,=f(n)=n^},g(b.)=n,logb=n,b=2”;以a+b=4+16= $ (2)当n>5,nEN时,猜想a.<b.,数学归纳法证明如下 (i)当n=5时,a;=25<b=32,命题成立; (iì)假设当n=k(k>5,kE乙)时,命题成立,即2<2*,$ 则当n=k+1时,b.-=2*+1-(k+1)} -$ $2*-k2-2 <k-1>2 <k^}-k-2 k-1=k$-2 k-1=(k-11){}-2(*) ..k>5,()>0,即命题也成立 由(i)(ii)可知,当n>5,neN时,a.<b.成立. (3) f(x)=2*+x,则c.=f(n)=2”+n,f(d.)=2**+d#=n, 设C,=d,即2'+p=d,则22”"+2”+p=q' 设函数k(x)=2*+x,函数单调递增,对于任意pEN,有唯一的aEN与之对应 即数列c.中每一项,都有d.中的项与之相等 又C.=2”+n单调递增,所以新e.三c.=2"+n, 假设数列(c.)中存在连续三项构成等比数列,c2=c.C-,m2,meN’, 故(2”+m)2=(2“+m+1).(2“-+m-1),整理得到(m-3)2“-1=1, 当→2时,(n-3)2“为偶数,等式不成立;所以等式无正整数解. 故假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列 21. 【解】(1)由已知,A.D1AD,DA.=tanθ, 由面积公式,可求四边形ABCD的而积为2sin20 平行六面体ABCD-A.B.C.D.的体积V=2sin20·tan=4sin26. 所以,平行六面体ABCD一A.B.C.D.的体积V的取值范围为(0,4). (2)由题A.D1平面ABCD,A.D=1, 又·A.D1平面ABCD,:.CD1A.D 又CD1AD,:CD1平面AA.D.D, :. tana=tan CA.D-- 过A作AH1DD,连CH, 由CD1平面AA.D.D,得CD1A.H,:A.H1平面CDD.C 所求最大值为x三arctan2 (3)由题,设A.D=x,则x>0 CD2 A.H 由(2)可得tan- tanV=- A.Dx' CH 在A4.DD中,AH-4DD 21 DD #A.C-2+4,CH-2+4-- 二,:.tanv=- x2+1x2+1 2+2 令,y=maxftanc, tanB, tany} 则y-f(x)=max #二#22) ##11五 2224 2 , x x x>2 .f(x) .8(6) m_ →f(x) m=$2 = 0<$<2$ X