指对幂函数专题训练-2025届高三数学一轮复习

指对幂函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•济南模拟）若a＝sin1，b＝lg（tan1），，则（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 2．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）已知2a＝a，（）b＝b，则下面正确的是（　　） A．a＞b B．a＜ C．b＞ D．|a﹣b|＜ 3．（2024•开福区校级模拟）若0＜a＜1，则（　　） A． B．2a＜3a C．loga＞loga D．sina＞cosa 4．（2024•乌鲁木齐模拟）已知f（x）＝|lgx|，若，，c＝f（4），则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 5．（2024•魏都区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}，则A∩B＝（　　） A．[﹣1，4] B．[0，1] C．（0，4] D．[0，4] 6．（2024•开封一模）若log2a+log2b＝3，则a+b的最小值为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 7．（2024•柳州三模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1 8．（2024•浙江模拟）函数的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•建邺区校级模拟）已知2x＝3，y＝2log32，则（　　） A． B．xy＝2 C．x＞y D． （多选）10．（2024•孝南区校级模拟）已知函数f（x）＝|lgx|，0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则下列说法正确的是（　　） A．ab＝1 B．ab＝10 C．a+2b的最小值为 D．（a+1）2+（b+1）2＞8 （多选）11．（2024•新郑市校级二模）设f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　） A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢 B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢 C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢 D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢 三．填空题（共3小题） 12．（2024•南岸区模拟）＝　 　． 13．（2024•浦东新区三模）已知实数x1、x2、y1、y2满足+＝1，+＝3，x1y2﹣x2y1＝，则|x1x2+y1y2|＝　 　． 14．（2024•巴宜区校级三模）已知曲线与曲线C2：y＝logax（a＞0且a≠1）交于点P（x0，y0），若x0＞2，则a的取值范围是 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2023•大荔县一模）计算下列各式的值． （1）； （2）． 16．（2024•子长市校级三模）已知指数函数f（x）＝（3a2﹣10a+4）ax在其定义域内单调递增． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣3，当x∈[0，2]时，求函数g（x）的值域． 17．（2024•广汉市校级模拟）设函数h（x）是定义在（﹣3，3）的偶函数，且当x∈[0，3）时，h（x）＝log2（3﹣x），将函数h（x）中x∈[0，3）和x∈（﹣3，0）两部分的表达式相加得到函数y＝f（x）． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）判断函数y＝f（x）的奇偶性； （3）讨论函数y＝f（x）在定义域内的单调性，并证明． 18．（2023•南京二模）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣logax，a＞1． （1）若a＝e，求证：f（x）≥1； （2）若关于x的不等式f（x）＜1的解集为集合B，且B⊆（，a），求实数a的取值范围． 19．（2024•鼓楼区校级模拟）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”． （1）求证：对任意“好数”m，m2﹣16一定为20的倍数； （2）若m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：，例如24＝52﹣12，称数对（5，1）为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值． 指对幂函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•济南模拟）若a＝sin1，b＝lg（tan1），，则（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【解答】解：∵正弦函数y＝sinx在（0，）上单调递增，且0， ∴sin1＝，即a＞， ∵正切函数y＝tanx在（0，）上单调递增，且0， ∴tan1＜tan＝， ∴lg（tan1）＜lg＝，即b＜， ∴b＜c＜a． 故选：C． 2．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）已知2a＝a，（）b＝b，则下面正确的是（　　） A．a＞b B．a＜ C．b＞ D．|a﹣b|＜ 【解答】解：因为2a＝a，（）b＝b， 所以a，b可分别看成y＝2x，y＝（）x与y＝x的交点的横坐标， 因为y＝2x，y＝（）x的图象关于y轴对称，y＝（）x与y＝x的图象关于y＝x对称， 且y＝（）x与y＝x，y＝x交于一点， 即（）b＝b＝b， 结合函数图象可知，a＜b，A错误； 令g（x）＝2x+log2x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（a）＝0， 因为g（）＝+log2＝﹣2＜0， 所以，B错误； 令f（x）＝x+log2x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（b）＝0， 因为f（）＝+log2＝﹣＞0， 所以b＜，C错误； 因为， 所以a﹣b＜0，即|a﹣b|＜﹣，D正确． 故选：D． 3．（2024•开福区校级模拟）若0＜a＜1，则（　　） A． B．2a＜3a C．loga＞loga D．sina＞cosa 【解答】解：当0＜a＜1时， y＝ax单调递减，故，A错误； 因为y＝xa在（0，+∞）上单调递增，故2a＜3a，B正确； 因为y＝logax在（0，+∞）上单调递减，故loga＜loga，C错误； 当a＝时，sina＝cosa，D显然错误． 故选：B． 4．（2024•乌鲁木齐模拟）已知f（x）＝|lgx|，若，，c＝f（4），则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【解答】解：， ∵lg4＞lg3＞lg2， ∴c＞b＞a． 故选：C． 5．（2024•魏都区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}，则A∩B＝（　　） A．[﹣1，4] B．[0，1] C．（0，4] D．[0，4] 【解答】解：因为A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}＝{y|y≥0}， 则A∩B＝[0，4]． 故选：D． 6．（2024•开封一模）若log2a+log2b＝3，则a+b的最小值为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【解答】解：因为log2a+log2b＝log2ab＝3， 所以ab＝8，a＞0，b＞0， 则a+b＝4，当且仅当a＝b时取等号，a+b的最小值4． 故选：C． 7．（2024•柳州三模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1 【解答】解：由题意得两颗星的星等与亮度满足， 令m2＝﹣1.45，m1＝﹣26.7， 则， 故选：A． 8．（2024•浙江模拟）函数的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，函数， 当a＝0时，f（x）＝，是反比例函数，其图象与A符合； 当a≠0时，设g（x）＝ln|x|，其图象大致如图： ， 函数y＝﹣＝，是反比例函数，其图象与y＝g（x）的图象一定存在交点， 即方程ln|x|＝﹣一定有解， 则当a≠0时，函数与x轴一定有交点， 选项D中图象不关于原点对称，则有a≠0，与x轴没有交点，故不会是函数的图象． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•建邺区校级模拟）已知2x＝3，y＝2log32，则（　　） A． B．xy＝2 C．x＞y D． 【解答】解：因为2x＝3， 所以x＝log23＞log2＝＝，A错误； 又y＝2log32， 则xy＝2log32•log23＝2，B正确； 由xy＝2及x＞可知y＜，故x＞y，C正确； 因为＝+＝log32+log23＝， 由于log32≠log23，等号无法取得，D正确． 故选：BCD． （多选）10．（2024•孝南区校级模拟）已知函数f（x）＝|lgx|，0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则下列说法正确的是（　　） A．ab＝1 B．ab＝10 C．a+2b的最小值为 D．（a+1）2+（b+1）2＞8 【解答】解：因为函数f（x）＝|lgx|，0＜a＜b，且f（a）＝f（b）， 所以﹣lga＝lgb，且0＜a＜1＜b， 所以lga+lgb＝lgab＝0，即ab＝1，A正确，B错误； a+2b＝2，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时取等号，但显然与已知矛盾，C错误； （a+1）2+（b+1）2＝a2+b2+2（a+b）+2+2＝8，当且仅当a＝b时取等号，但显然等号无法取得， 故（a+1）2+（b+1）2＞8，D正确． 故选：AD． （多选）11．（2024•新郑市校级二模）设f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　） A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢 B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢 C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢 D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢 【解答】解：画出函数f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x中， 当x∈（4，+∞）时，函数g（x）＝2x增长速度最快，h（x）＝log2x增长速度最慢． 所以选项B正确；选项ACD不正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•南岸区模拟）＝　﹣1　． 【解答】解：原式＝ ＝＝1﹣3+1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（2024•浦东新区三模）已知实数x1、x2、y1、y2满足+＝1，+＝3，x1y2﹣x2y1＝，则|x1x2+y1y2|＝　1　． 【解答】解：∵实数x1、x2、y1、y2满足+＝1，+＝3， ∴可令x1＝cosα，y1＝sinα，x2＝cosβ，y2＝sinβ， 则x1y2﹣x2y1＝cosα•sinβ﹣sinα•cosβ＝sin（β﹣α）＝， 可得sin（β﹣α）＝， 则|x1x2+y1y2|＝|cosα•cosβ+sinα•sinβ|＝|cos（β﹣α）|＝×＝×＝1． 故答案为：1． 14．（2024•巴宜区校级三模）已知曲线与曲线C2：y＝logax（a＞0且a≠1）交于点P（x0，y0），若x0＞2，则a的取值范围是 　（4，+∞）　． 【解答】解：①当0＜a＜1时，由曲线C1和曲线C2的图象可知，0＜x0＜1，不合题意； ②当a＞1时，有，可化为，有lna＝x0lnx0， 令f（x）＝xlnx（x＞2），则f′（x）＝lnx+1＞ln2+1＞0， 故函数f（x）单调递增，可得函数f（x）的值域为（2ln2，+∞）， 故lna＞2ln2＝ln4，可得a＞4． 故答案为：（4，+∞）． 四．解答题（共5小题） 15．（2023•大荔县一模）计算下列各式的值． （1）； （2）． 【解答】解：（1）； （2）． 16．（2024•子长市校级三模）已知指数函数f（x）＝（3a2﹣10a+4）ax在其定义域内单调递增． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣3，当x∈[0，2]时，求函数g（x）的值域． 【解答】解：（1）∵f（x）是指数函数， ∴3a2﹣10a+4＝1，解得a＝3或， 又∵f（x）在其定义域内单调递增，所以a＝3， ∴f（x）＝3x； （2）g（x）＝32x﹣4•3x﹣3＝（3x）2﹣4（3x）﹣3， ∵x∈[0，2]， ∴3x∈[1，9]，令t＝3x，t∈[1，9]， ∴g（t）＝t2﹣4t﹣3，t∈[1，9]， ∴g（t）min＝g（2）＝﹣7， ， ∴g（x）的值域为[﹣7，42]． 17．（2024•广汉市校级模拟）设函数h（x）是定义在（﹣3，3）的偶函数，且当x∈[0，3）时，h（x）＝log2（3﹣x），将函数h（x）中x∈[0，3）和x∈（﹣3，0）两部分的表达式相加得到函数y＝f（x）． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）判断函数y＝f（x）的奇偶性； （3）讨论函数y＝f（x）在定义域内的单调性，并证明． 【解答】解：（1）当x∈（﹣3，0）时，﹣x∈（0，3），则h（x）＝h（﹣x）＝log2（3+x）， 所以f（x）＝log2（3﹣x）+log2（3+x），x∈（﹣3，3）． （2）由（1）知，x∈（﹣3，3），f（﹣x）＝log2（3+x）+log2（3﹣x）＝f（x）， 函数f（x）是（﹣3，3）上的偶函数． （3）f（x）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，证明如下： 由（1）知，x∈（﹣3，3），， 函数f（x）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减， ∀x1，x2∈（﹣3，0），x1＜x2，则，于是， 而函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，因此， 即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在（﹣3，0）上单调递增，由偶函数的性质得f（x）在（0，3）上单调递减． 18．（2023•南京二模）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣logax，a＞1． （1）若a＝e，求证：f（x）≥1； （2）若关于x的不等式f（x）＜1的解集为集合B，且B⊆（，a），求实数a的取值范围． 【解答】证明：（1）若a＝e，则f（x）＝ex﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞）， 则在（0，+∞）上单调递增， ∵f′（1）＝0， ∴当0＜x＜1时，f′（1）＜0，当x＞1时，f′（1）＞0， 则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则当x＝1时，函数取得最小值为f（1）， ∴f（x）≥f（1）＝1； 解：（2） 为增函数， 当x→0时，f′（x）→﹣∞，x→+∞，f'（x）→+∞， 则存在 x0∈（0，+∞），使 f'（x0）＝0， ∴f（x）在 （0，x0）上递减，在 （x0，+∞）上递增， 又f（1）＝1，由（1）可知a＝e，有f（x）≥1，可得B＝∅，满足B⊆（，e）； ①若l＜a＜e，有 x0＜1，∴存在 x1＞x0，使 f（x1）＝1，则 x1≤a， 有 f（a）＝aa﹣1﹣1≥1，则（a﹣1）lna≥ln2， 设g（a）＝（a﹣1）lna，l＜a＜e， 则g′（a）＝lna+＝lna+1﹣为增函数， ∵g′（1）＝0，∴g（a）＝（a﹣1）lna在（l，e）上递增， ∵（a﹣1）lna≥ln2，∴2≤a＜e， ②若a＞e，有 x0＞1，∴存在 x2＜x0，使 f（x2）＝1，则 x2≥， 有 f（）＝+1＞1，符合题意， 综上，a∈[2，+∞）． 19．（2024•鼓楼区校级模拟）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”． （1）求证：对任意“好数”m，m2﹣16一定为20的倍数； （2）若m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：，例如24＝52﹣12，称数对（5，1）为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值． 【解答】解：（1）证明：设m＝10t+4，1≤t≤9且t为整数， ∴m2﹣16＝（10t+4）2﹣16＝100t2+80t+16﹣16＝20（5t2+4t）， ∵1≤t≤9，且t为整数，∴5t2+4t是正整数， ∴m2﹣16一定是20的倍数； （2）∵m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，∴10t+4＝（p+q）（p﹣q）， 当t＝1时，10t+4＝14＝1×14＝2×7，没有满足条件的p，q， 当t＝2时，10t+4＝24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， ∴满足条件的有或， 解得或， ∴或， 当t＝3时，10t+4＝34＝1×34＝2×17，没有满足条件的p，q， 当t＝4时，10t+4＝44＝1×44＝2×22＝4×11， ∴满足条件的有，解得， ∴， 当t＝5时，10t+4＝54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9，没有满足条件的p，q， 当t＝6时，10t+4＝64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8， ∴满足条件的有或， 解得或， ∴或， ∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$