精品解析：江苏省扬州市苏东坡中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷

扬州苏东坡中学初三数学学科自测 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，且未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 2. 若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ） A. 0＜r＜3 B. 2＜r＜8 C. 3＜r＜5 D. r＞5 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外， ∴OA小于r，OB大于r， ∵OA＝3，OB＝5， ∴3＜r＜5． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 3. 已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且k≠0 【答案】D 【解析】 【详解】根据一元二次方程概念和根的判别式，可得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0， 故选：D． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题关键是求根的判别式，此题方程有2个不相等的实数根应注意两种情况：△＞0，二次项的系数不为0． 4. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 125° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，代入求出即可． 【详解】解：所对的圆心角为，所对的圆周角为，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出是解此题的关键． 6. 已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9,b=4,则c长( ) A. 18 B. 5 C. 6 D. ±6 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列出关系式即可 【详解】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去）， 故选C． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 7. 如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是(     )     A. 3或2.8 B. 3或4.8 C. 1或4 D. 1或6 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3； ②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注意运用方程思想解题． 8. 如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　 　） A. 1+ B. 1+ C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，过点作于点，过点作于点，连接，在中，，则，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，再利用已知条件求得值即可． 【详解】解：作，过点作于点，过点作于点，连接． ， ， ∴在中，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， ∴由勾股定理得：， 的最小值为 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，平行线的性质，等腰三角形的性子，熟练掌握知识点，将转化为是解题的关键． 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 方程的根是________ 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．先移项，变成，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可． 【详解】解： 移项得， ∴． 故答案为：，． 10. 关于的方程是一元二次方程，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义知，由此求得值即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，牢记相关的定义内容是解题的切入点． 11. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ ________° 【答案】25 【解析】 【详解】试题分析：根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答． 试题解析：∵CD∥AB， ∴∠ADC=∠BAD， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°． 考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质． 13. 已知：（a≠0），则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用比例的性质可直接得结论． 【详解】∵＝﹣， ∴＝﹣． 故答案为:﹣． 【点睛】本题考查了比例的性质，若a:b=c:d(b、d≠0)，则有：①ad=bc（即比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积），②b:a=d:c（a、c≠0）（交换比较，结果仍然相等），③a:c=b:d、c:a=d:b，④(a+b) :b=(c+d) :d，⑤a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0，c+d≠0)，⑥(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0，c+d≠0) ． 14. 若线段上黄金分割点为，且，又的长为，则的长为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割的定义，当是较长线段时，得到，把代入计算即可． 【详解】解：∵线段上黄金分割点为，且，又， ∴， 故答案为：． 15. 如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵△ABC和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴＝×9＝16． 故答案为16． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及位似，熟练掌握相似三角形的性质及位似是解题的关键． 16. 一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形外接圆圆心的位置问题，先解方程求出两直角边的长，进而利用勾股定理求出斜边长，再由直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∴该直角三角形的两直角边长分别为3，4， ∴该直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边 ∴此直角三角形的外接圆的直径为， 故答案为：． 17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E，则其内切圆的半径r等于_____． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：利用切线的性质，易证得四边形OECD是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CD=（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长． 解：如图， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8； 根据勾股定理AB==10； 四边形OECD中，OE=OD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°； ∴四边形OECD是正方形； 由切线长定理，得：AD=AF，BF=BE，CE=CD； ∴CE=CD=（AC+BC﹣AB）； 即：r=（6+8﹣10）=2． 故答案为2． 考点：三角形的内切圆与内心． 18. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为_____． 【答案】y＝（0＜x≤2） 【解析】 【分析】作FH⊥BC于H．证明△DBE≌△EHF，则FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，由求得自变量的范围，根据FH∥AB，得＝，即可求解． 【详解】解：作FH⊥BC于H． ∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°， ∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEH＝90°， ∴∠BDE＝∠FEH． 在△DBE和△EHF中， ， ∴△DBE≌△EHF， BE＝DB， ∴FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x， , AB＝4， ，即 ∵FH∥AB， ∴＝， ∴＝， ∴y＝（0＜x≤2）． 故答案为：y＝（0＜x≤2）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，函数关系式，证明是解题的关键． 三．解答题（共10小题，共计96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程的左边因式分解为，则利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）将方程的左边因式分解为，则利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， ，即， 或， 或， 所以方程的解为． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，求出该方程的根． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法．一元二次方程根的判别式为，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式可得：是，因为方程有实数根，所以可得，，解不等式求出的取值范围； 由可知的最大值为，可得方程为，用因式分解法解方程求出结果． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程根的判别式是 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， 的最大值为， 当时，方程为， 分解因式得：， 方程的解为． 21. 如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长． 【答案】6 【解析】 【分析】判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等求出圆的半径，再解答即可． 【详解】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴四边形OFDE是矩形， ∴OD=EF=3， ∴AB=6 【点睛】考查矩形的判定与性质以及圆的性质，掌握矩形的判定与性质是解题的关键. 22. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【答案】直径的长为寸 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到E为的中点，由的长求出的长，设寸，则寸，寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径的长． 【详解】解：如图所示，连接． ∵弦，为的直径， ∴E为的中点， 又∵寸， ∴寸， 设寸，则寸，寸， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴寸， 即直径的长为寸． 23. 如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上． (1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB． 【答案】（1） （2）证明：∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC， ∴∠BAP =∠ABC， ∴∠BAP=∠CPD=∠ABC， 即∠CPD =∠ABC， ∴PD∥AB. 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可； （2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根据平行线的判定即可. 【详解】解：（1）∵△PCD∽△ABP， ∴∠CPD=∠BAP， 故作∠CPD=∠BAP即可， （2）略 24. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，但售价不能超过70元．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ 【答案】50元 【解析】 【分析】设售价为x元，根据“销售利润=一个灯泡的利润×销售灯泡的个数”，列出方程解方程即可． 【详解】解：设售价定为x元 ． [600−10(x−40)](x−30)=10000 ， 整理，得x2−130x+4000=0 ， 解得：x1=50，x2=80 ． ∵x≤70， ∴x=50 ． 答：台灯的售价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程求解是解题的关键．注意一元二次方程的两个解要根据题意判断是否需要舍去一个． 25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线． （1）求证：DE=DC； （2）若⊙O的半径为5，OE=1，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，在和中进行角的等量代换可以得到；在和中进行角的等量代换可以得到，结合是等腰三角形进行角的等量代换即可得证； （2）证明，得到，从而求得,的长度；在中，用勾股定理求得AE的长度，从而求得CE长度；证明，得到，代入求解即可． 【详解】解：连接OC，如下图： ∵AB是⊙O的直径 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵是⊙O的切线，是半径 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵, ∴ ∴ （2）解：∵在中，,由勾股定理知 即： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴, ∴ ∵, ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 即： ∴． 【点睛】本题考查勾股定理解三角形，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，切线的性质定理等相关知识点，根据定理内容数形结合解题是关键． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（是常数）是“邻根方程”，求m的值； 【答案】（1）是 （2）0或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得，， ∴方程是“邻根方程” 故答案为：是； 【小问2详解】 解： ， 解得：，， ∵方程（是常数）是“邻根方程”， ∴， 解得，． 27. 如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【答案】（1）解：相切，理由如下， 证明：连接，如图1， ∵ 四边形内接于，， ∴ 是的直径，即点在上． ∴ ． ∴ ． ∵ ． 又∵ ， ∴ ∴，即． ∴ ∵是的半径 ∴是的切线． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理推出，据此即可得解； （2）连接，与交于点，根据垂径定理得出，，根据题意得到，根据相似三角形的性质得到，据此即可得解； （3）先证明，根据相似三角形的性质得到，再由在中，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2，与交于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴ ，． ∴； ②∵ ，， ∴ ． ∴ ∴设，则，． 在中，， ∴ ． 解得：，（舍）． ∴ ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 28. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． （1）填空： ； （2）当时，求x的值； （3）当时，求y与x之间的函数关系式； （4）直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或4或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得； （2）先确定当时，点在上，点在上，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先确定当时，点在上，点在上，再过点作于点，然后证出，根据相似三角形的性质可得，利用三角形的面积公式求解即可得； （4）分①当点在上，点在上，即时，过点作于点；②点与点重合时；③当点运动到停止运动，点运动到中点时，利用相似三角形的性质和矩形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，动点分别从点同时出发，运动速度均为， ∴如图，当时，点在上，点在上， ∴，， ∴，即， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则当时，点在上，点在上， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴的面积为， 所以当时，与之间的函数关系式为． 【小问4详解】 解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则分以下三种情况： ①如图，当点在上，点在上，即时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，点与点重合时， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点运动到停止运动，点运动到中点时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时， 综上，的值为或4或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的几何应用等知识，较难的是题（4），正确分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州苏东坡中学初三数学学科自测 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ） A. 0＜r＜3 B. 2＜r＜8 C. 3＜r＜5 D. r＞5 3. 已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且k≠0 4. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 125° D. 130° 6. 已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9,b=4,则c长( ) A. 18 B. 5 C. 6 D. ±6 7. 如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是(     )     A. 3或2.8 B. 3或4.8 C. 1或4 D. 1或6 8. 如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　 　） A. 1+ B. 1+ C. D. 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 方程的根是________ 10. 关于的方程是一元二次方程，则的值是________ 11. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ ________° 13. 已知：（a≠0），则＝_____． 14. 若线段上黄金分割点为，且，又的长为，则的长为_______ 15. 如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为_____． 16. 一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_______． 17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E，则其内切圆的半径r等于_____． 18. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为_____． 三．解答题（共10小题，共计96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，求出该方程的根． 21. 如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长． 22. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 23. 如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上． (1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB． 24. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，但售价不能超过70元．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ 25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线． （1）求证：DE=DC； （2）若⊙O的半径为5，OE=1，求DE的长． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（是常数）是“邻根方程”，求m的值； 27. 如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 28. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． （1）填空： ； （2）当时，求x的值； （3）当时，求y与x之间的函数关系式； （4）直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $