精品解析：广西南宁市育才实验中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023学年度南宁市育才实验中学秋季学期高一期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：张发财；审题人：蒙旭晶 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 充分接近的所有实数 B. 所有的正方形 C. 著名的数学家 D. 1，2，3，3，4，4，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，A不能； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，B能； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，C不能； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，D不能. 故选：B 2. 下列关系中正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系对各关系式一一判断即可得出答案. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，集合的元素为点，集合的元素为点，故④错误； 对于⑤，集合的元素为，集合的元素为点，故⑤错误. 故选：C. 3. 若集合，则（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集、补集的概念与运算求解即可. 【详解】因，，则 又，所以， 故选：C. 4. 下列函数中，与函数相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 对于A中，函数，两函数的定义域不同，不是相同的函数； 对于B中，函数，两函数的对应法则不同，不是相同的函数； 对于C中，函数，两函数的定义域和对应法则都相同，是相同的函数； 对于D中，函数，两函数的定义域不同，不是相同的函数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相同函数的判定，其中解答中熟记相同函数的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题. 5. 命题：“对某些实数，有，”其中是常数，则为（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，得到答案. 【详解】命题：“对某些实数，有，”其中是常数， 则为：，有. 故选：C. 6. “x＝3”是“x2－2x－3＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 解出即可判断. 【详解】由可解得或3， 故“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ） A. 0.4h B. 0.5h C. 0.7h D. 1h 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得. 【详解】由题意知，点在函数的图象上， 所以， 解得， 所以， 由，可得， 所以， 解得， 所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时. 故选：C. 8. 已知函数在R上是奇函数，当时，，则的值（ ） A. 5 B. -5 C. 9 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】先求，用奇函数的性质即可. 【详解】当时，，所以， 又因为函数在R上是奇函数，所以. 故选: B 二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得5分，部分选对的得2分，选了错项的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 若，则或 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入函数解析式即可判断A；分和两种情况讨论即可判断B；分别判断两段函数的单调性，在观察临界值点的函数值即可判断C；根据函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，若时，，解得(舍)， 若时，，解得或，(舍)， 综上，故B不正确； 对于C，若时，为增函数， 若，在上递增， 又当时，， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，由于在定义域上单调递增，，，， 所以函数在上的值域为，故D正确. 故选：ACD． 10. 下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可判断出答案. 【详解】是偶函数，在区间上单调递增，故A满足； 是奇函数，故B不满足； 是偶函数，但在区间上单调递减，故C不满足； 是偶函数，在区间上单调递增，故D满足， 故选：AD 11. 若函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数在定义域上单调递增 C. 函数的值域为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A，分别判断与时，函数与的单调性，从而得函数的单调性，分析与对应的取值范围，计算得，并判断与的关系. 【详解】因为函数定义域为，，所以函数为偶函数，A正确；当时，单调递减，单调递增，所以函数单调递减，当时，单调递增，单调递减，所以函数单调递增，B错误；当时，，所以，当时，，所以，所以函数的值域为，C正确；，D正确. 故选：ACD 12. 高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 是奇函数 D. 在上是增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据知错误；利用分式值域的求法可求得，进而根据高斯函数定义可知的值域，知正确；化简得到知正确；根据单调性的性质可推导得到正确. 【详解】对于，，， ，不是偶函数，错误； 对于，， ，，，， 当时，，当时，， 的值域是，正确； 对于，，为奇函数，正确； 对于，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，即在上是增函数，正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题，解题关键是明确本题以新定义函数为载体，考查函数值域、单调性和奇偶性的知识. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 设，，，若P=Q，则_________. 【答案】-2 【解析】 【分析】由集合相等的定义，计算集合内的元素. 【详解】，，若P=Q，则有，. 故答案为：-2. 14. 函数的定义域为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得且， 故的定义域为. 故答案为： 15. 已知实数，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】 当且仅当 即 等号成立 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式求最值，注意验证等号是否成立，是基础题 16. 定义集合运算：. 若集合，，则集合的子集个数为______. 【答案】512 【解析】 【分析】根据新定义得到中共有9个元素，然后根据元素个数求子集个数即可. 【详解】由题意得，共有9个元素， 所以的子集个数为. 故答案为：512. 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义即可得解； （2），即，分和两种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 解：若，则， 所以， 或， 所以或； 【小问2详解】 解：因为，所以， 当时， 则，解得， 此时，符合题意， 当时， 则，解得， 综上所述， 所以若，m的取值范围为. 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）3 （2）7 【解析】 【分析】根据平方关系运算求解. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 19. （1）已知，求函数的解析式. （2）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法或配凑法运算即可得解. （2）利用方程组法运算即可得解. 【详解】（1）解法一（换元法）：令, 则， 则有， 所以函数的解析式为. 解法二（配凑法）：. 因为，所以函数的解析式为. 注：未写范围扣2分. （2）解：因为 ① 所以 ② 联立①②式消去可解得：. 20. 给定函数，，．用表示，中的较大者，即. （1）请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可； （2）写出函数的值域； （3）若，则求a的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据的定义可得解析式，即可作图， （2）根据函数图象即可求解最值，进而得值域， （3）分类讨论即可代入求解. 【小问1详解】 由，得，或， 得到； 得到或， 故，故的图像如图： 【小问2详解】 由图象可知当时，取最小值，故值域为． 【小问3详解】 当时，，∴． 当或时，或（舍） 故或 21. 已知函数，. （1）判断该函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】（1）函数为奇函数，理由如下： 由可得，所以 易知定义域为关于原点对称， 且满足 所以为奇函数； （2）在上是增函数，证明如下： 取，且，则 由，且，所以， 因此可得，即， 即在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求的解析式及定义域，利用奇偶函数的定义判断即可. （2）利用函数单调性，按照取值、作差、变形、判号、下结论的步骤即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 （2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 【答案】（1）； （2）年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式； （2）分别求出在和上的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 当时， ， 当时，， ； 【小问2详解】 若，， 当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年度南宁市育才实验中学秋季学期高一期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：张发财；审题人：蒙旭晶 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 充分接近的所有实数 B. 所有的正方形 C. 著名的数学家 D. 1，2，3，3，4，4，4 2. 下列关系中正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若集合，则（    ） A. B. 2 C. D. 4. 下列函数中，与函数相同的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 命题：“对某些实数，有，”其中是常数，则为（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 6. “x＝3”是“x2－2x－3＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ） A. 0.4h B. 0.5h C. 0.7h D. 1h 8. 已知函数在R上是奇函数，当时，，则的值（ ） A. 5 B. -5 C. 9 D. -9 二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得5分，部分选对的得2分，选了错项的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 若，则或 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域为 10. 下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数在定义域上单调递增 C. 函数的值域为 D. 12. 高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 是奇函数 D. 在上是增函数 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 设，，，若P=Q，则_________. 14. 函数的定义域为______________. 15. 已知实数，则的最小值为__________ 16. 定义集合运算：. 若集合，，则集合的子集个数为______. 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求m的取值范围． 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 19. （1）已知，求函数的解析式. （2）已知函数满足，求函数的解析式. 20. 给定函数，，．用表示，中的较大者，即. （1）请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可； （2）写出函数的值域； （3）若，则求a的值． 21. 已知函数，. （1）判断该函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 22. 年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 （2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $