精品解析：福建省莆田市仙游第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

仙游一中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角的大小是（ ） A. B. C. D. 2. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线y＝－ax－与直线y＝3x－2垂直，则a的值为 (　　) A. －3 B. 3 C. － D. 4. 已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最小值等于（ ） A. B. 6 C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.） 9. 已知、、，则（ ） A. 直线的方程为 B. 点到直线的距离为 C. 为等腰直角三角形 D. 的面积为 10. 已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，中直线的斜率为 B. 中所有直线均经过同一个定点 C. 当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D. 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 11. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ） A. 平面与垂直 B. 平面与所成角的余弦值为 C. 直线与平面平行 D. 直线与是异面直线 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，，若，则实数______. 13. 已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_____. 14. 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是__________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数a的值； （2）直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率. 16. 已知直线过点且在轴上的截距相等 （1）求直线的一般方程； （2）若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值． 17. 如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． （1）当侧面底面时，求点到平面的距离； （2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙游一中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为. 故选：B 2. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 3. 若直线y＝－ax－与直线y＝3x－2垂直，则a的值为 (　　) A. －3 B. 3 C. － D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得直线垂直的充要条件为：，得－a×3＝－1，∴a＝. 故答案选D． 4. 已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与，，三点共面，可得，从而可得答案. 【详解】因为，，三点不共线，点与，，三点共面， 又， 所以，解得. 故选：A. 5. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】∵是的重心，∴. ， . 故选：D. 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值域，即可得到本题答案. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为底面ABCD是边长为2的正方形，，所以， ∵点在平面上，∴设点的坐标为， ∵在上运动，∴ ，∴，∴点的坐标为， ∴， ∵，∴当时， 取得最小值. 故选：D 8. 已知，，则的最小值等于（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果. 【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上， 设线段的中点为，则， 到原点的距离， 依题意点在直线上， 所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为， 因此的最小值为，因此的最小值等于. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.） 9. 已知、、，则（ ） A. 直线的方程为 B. 点到直线的距离为 C. 为等腰直角三角形 D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，B对； 对于C选项，，，则， 所以，又，， 所以，所以为等腰直角三角形，C对； 对于D选项，的面积为，D错误. 故选：ABC. 10. 已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，中直线的斜率为 B. 中所有直线均经过同一个定点 C. 当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D. 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【答案】AC 【解析】 【分析】代入特殊值求出直线判断A，利用平行线间距离公式结合放缩法求解最值判断C，举反例判断B，D即可. 【详解】对于A，当时，，中直线的方程为， 即，故其斜率为，故A正确； 对于B，当时，直线方程为，该直线必过， 当时，直线方程为，化简得，不一定过，故B错误， 对于C，当时，中的两条平行直线间的距离为， 而，则， 故，即最小值为，故C正确； 对于D，点不满足方程，所以中的所有直线不可覆盖整个平面，故D错误， 故选：AC. 11. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ） A. 平面与垂直 B. 平面与所成角的余弦值为 C. 直线与平面平行 D. 直线与是异面直线 【答案】AD 【解析】 【分析】首先确定平面的法向量和直线的方向向量；由可知A正确；利用线面角的向量求法可知B错误；由及直线所过点在平面内，可知，得C错误；由与不平行及直线方程构成的方程组无解可知两直线异面，则D正确. 【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量； 对于A，，，则平面与垂直，A正确； 对于B，， 平面与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，，直线平面或直线平面， 直线过点，又满足，直线平面，C错误； 对于D，与不平行，直线与直线相交或异面， 由得：，此时无解，直线与直线无交点， 直线与直线是异面直线，D正确. 故选：AD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据坐标运算求出的坐标，然后利用数量积的坐标运算公式直接求解即可. 【详解】因为，，所以，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_____. 【答案】(6，-8) 【解析】 【分析】由已知得b=，代入到直线方程中得a(4x+3y)=y+8，根据运算法则：零乘以任何数都得零，联立方程组解之可得该直线过定点. 【详解】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8， 令解得，所以该直线过定点(6，-8). 故答案为：(6，-8). 【点睛】本题考查直线的恒过定点，属于中档题. 14. 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算，数量积运算和二次函数的性质求解即可． 【详解】连接，如图， 由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且， 设，，，则， 且由题意， ∴ ， ， 令，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值是． 故答案为：． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数a的值； （2）直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的判定列方程求参数； （2）由题意，分别求x、y轴上的截距，结合三角形面积求得，代入直线即可得斜率. 【小问1详解】 由知：，可得. 【小问2详解】 由直线与坐标轴正半轴围成三角形，故， 令，可得；令，可得， 所以，可得，故， 故直线的斜率为. 16. 已知直线过点且在轴上的截距相等 （1）求直线的一般方程； （2）若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过讨论直线截距为0和截距不为0时的情况，即得； （2）由题可知 ，根据基本不等式即得． 【小问1详解】 因为直线过点且在轴上的截距相等， 当截距为0时，则； 当截距不为0时，可设， 则，即， ∴； 综上，的一般方程：或； 【小问2详解】 由题意得， ， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为. 17. 如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． （1）当侧面底面时，求点到平面的距离； （2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离. （2）设，求得点坐标，利用二面角的余弦值列方程，求得，进而求得. 【小问1详解】 ∵，，∴． 如下图所示，连接，则, 所以， 所以， 结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形， ∴，即为的中点，∴，∴． ∵侧面底面，侧面底面， ∴平面， 易知，，两两垂直． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，取，得，， 则为平面的一个法向量， 则点到平面的距离． 【小问2详解】 假设存在满足题意的点，且（）． ∵，∴， ∴， ∴． 设平面的法向量为， 又∵，， ∴， 取，则，， 取为平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为， ∵二面角的余弦值为， ∴， 化简，得， 解得或（舍去）． ∴线段上存在满足题意的点，且． 18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：由已知，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面. （2）二面角的正切值为； （3）与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知平面，平面， 所以，又， 所以直线两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的 法向量， 设二面角的平面角为， 所以， 观察可得，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 【小问3详解】 因为，， 所以， 因为平面平面，为平面的一个法向量， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）证明：由直线方程为得， 解得，所以直线过定点， 由，得点在圆内， 所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）设点，根据，列出方程，即可求得圆的方程求圆的方程； （2）求出直线过定点，根据定点在圆内可得答案； （3）设，由两点间距离公式计算，再由辅助角公式计算可得答案. 【小问1详解】 设，由，且， 可得， 整理得，所以圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ， 其中， 因为， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值为. 【点睛】 关键点点睛：第三问解题的关键点是设，再由两点间距离公式计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $