江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2022-2023学年高三上学期期末考试适应性训练数学试卷

扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期 高三期末适应性训练 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 2.若，则（ ） A.3 B.2 C. D. 【答案】 C 3.不等式在R上恒成立的一个充分不必要条件是（      ） A. B. C. D. 【答案】 D 4.的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. -20 C. 28 D. -28 【答案】B 5.某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6.已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B . C. D. 【答案】 B 7.已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】由，可知， ∴，即. 时，，∴，∴，∴， ∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列. ∴.又， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列. ∴. 又，∴，即， ∴.又，∴的最小值为7. 故选：C. 8.已知、，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不妨设，则，可得， 所以，，设，则， 所以，函数在区间上为增函数， 对任意的恒成立，则， 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足：，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】由，得，故A正确； ，故B正确； 因为，所以，故C正确； ，故D不正确. 10．若，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 方程是的一条对称轴 C. 的值域为 D. ，，对都满足，（a，b是实常数） 【答案】BC 【解析】对A,因为，所以，故是的一个周期，故最小正周期是是错误的， 对B，因为，故是的一条对称轴是正确的， 对C,当时，，由，则，故因此，由A知是的周期，故的值域为，C正确， 对D,因为当时，，且是的周期，故画出的图象如图： 由图可知，没有对称中心，故不存在，使得，故D错误. 故选：BC 11. 已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【详解】解：由题意，故A正确； 拋物线的准线， ，则以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为， 则线段的中点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，故B正确； 拋物线的焦点为， ，当且仅当三点共线时，取等号， 所以，故C正确； 对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消得， 当时，方程得解为， 此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得， 综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误. 故选：ABC. 12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 不等式的解集为 C. 若关于的方程有6个实根，则 D. ，，都有 【答案】AC 【解析】函数是定义在上的奇函数，， ∵当时，， ∴当时，，则， ∴，，又 ∴曲线在点处的切线方程为，故A正确； ∵∴令，则 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，符合题意， 故的解集为，故B错误； 当时，，∴， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴当时，取极小值， 在时，， 函数是上的奇函数，图象关于原点对称， 根据以上信息，作出的大致图象如图， 由图可知，当时，， ，，都有，故D错误． 根据函数图象的变换规律，作出的大致图象如图， 由图可知，当时，直线与的图象有6个交点，则关于的方程有6个实根，故C正确； 故选：AC． 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13. 过点作圆：的切线交坐标轴于点，，则          ． 【答案】  【解答】解：由题意知，，， 点在圆：上，且， 故切线的方程为，即， 故A、两点分别为，， 故，，故， 故答案为：． 14. 已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则___________. 【答案】 【解析】【详解】因为向量在方向上的投影向量为，所以， 又，， 所以.故答案为：. 15.如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则＝_____________． 【答案】 【解析】如图，因为的周期为，所以， ， 所以， 解得，所以， 所以，， 因为，所以或， 又因为函数在轴右侧单调递减，所以． 故答案为: . 16.在四面体PABC中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_________ 【答案】 【解析】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心且垂直于平面ABC的直线上,且到A,P的距离相等. 在△ABC中,由余弦定理得：. 由正弦定理得：,解得： 而，所以. 即该几何体的外接球的半径. 所以外接球的体积为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos A＋a＝c. （1）求cos B； （2）如图，D为外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】解 （1）在中，由正弦定理得 sin Bcos A＋sin A＝sin C，又C＝π－(A＋B)， 所以sin Bcos A＋sin A＝sin (A＋B)， 故sinBcos A＋sin A＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＝sin A， 又A∈(0，π)，所以sin A≠0，故cos B＝. （2）因为D＝2B，所以cos D＝2cos2B－1＝，又在中，AD＝1，CD＝3， 所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D ＝1＋9－2×3×＝12， 所以AC＝， 在中，BC＝，AC＝，cos B＝， 所以由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， 即12＝AB2＋6－2·AB××，化简得AB2－AB－6＝0， 解得AB＝. 故AB的长为. 18.已知正项等比数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列前n项和，求使不等式成立的n的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，所以， 由 ，因为，所以， 因为，所以解得，即，所以数列的通项公式为： ； 【小问2详解】 由（1）可知：，所以，所以， ， 得：， 所以，代入中， 得，因为，所以n的最小值为. 19.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表： 成绩/分 频数 40 90 200 400 150 80 40 （1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？ （3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1）82.15分 （2）75.5分 （3）分布列见解析， 【解析】【小问1详解】 设这1000份试卷成绩的平均数为，则： 分. 【小问2详解】 由（1）得，而， 由于， 即， 所以市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分； 【小问3详解】 由分层抽样得抽取的6份试卷中2份在内，4份在内，的可能取值为0，1，2， 则，， 即的分布列为： 0 1 2 所以. 20．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【解析】 （1） 取中点，连接， 分别为中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 ，取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 21.已知点与，动点满足直线，的斜率之积为，则点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点在直线上，直线，分别与曲线交于点，，求与面积之比的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）， ，化简得， 当位于轴上时，此时直线，的斜率均不存在，不合题意，舍去 故曲线的方程为； （2）设，则直线的方程为， 联立得：，， 直线的方程为， 联立，得，. 故 ，当且仅当时等号成立. 最大值为. 22.己知函数（其中）． （1）当时，求的最大值； （2）对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值为0 （2） 【解析】【小问1详解】 将代入函数中，，由 所以 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 故函数 【小问2详解】 任意都有成立， 即，即， 令， ， 令， 则在上恒成立，即 在上单调递增. 又， 故在 内有零点，设零点为， 当时，， 当时，， 所以，则， 所以， 设，，所以在单调递增， ，即， 所以， 所以， 所以. 即实数a的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期 高三期末适应性训练 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.若，则（ ） A.3 B.2 C. D. 3.不等式在R上恒成立的一个充分不必要条件是（      ） A. B. C. D. 4.的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. -20 C. 28 D. -28 5.某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 6.已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B . C. D. 7.已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8.已知、，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足：，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 10．若，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 方程是的一条对称轴 C. 的值域为 D. ，，对都满足，（a，b是实常数） 11. 已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 不等式的解集为 C. 若关于的方程有6个实根，则 D. ，，都有 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13. 过点作圆：的切线交坐标轴于点，，则          ． 14. 已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则___________. 15.如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则＝_____________． 16.在四面体PABC中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_________ 四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos A＋a＝c. （1）求cos B； （2）如图，D为外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB长． 18.已知正项等比数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列前n项和，求使不等式成立的n的最小值． 19.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表： 成绩/分 频数 40 90 200 400 150 80 40 （1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？ （3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 20．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 21.已知点与，动点满足直线，的斜率之积为，则点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点在直线上，直线，分别与曲线交于点，，求与面积之比的最大值. 22.己知函数（其中）． （1）当时，求的最大值； （2）对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$