云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. ，既不充分也不必要条件 3. 已知直线a，b，c，平面，，下列选项能推出的是（ ） A. ， B. a，b与所成角相同 C. ，， D. ， 4. 如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 5. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与：交于点P，点，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其中为正三角形，为等腰直角三角形，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点（其中在第一象限），已知，（为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 C. 若点在的图象上，则点也在的图象上 D. 若点在的图象上，则点也在的图象上 10. 已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为： B. P，A，B不共线时，面积的最大值为 C. 存在点P，使得 D. 为坐标原点，的最小值为4 11. 在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，动点满足，其中，，则（ ） A. 当，时，平面截正方体所得截面为四边形 B. 当时，平面 C. 当时，的最小值为 D. 当时，动点P的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆锥的底面积为，其母线与底面所成角为，且，则该圆锥的体积为________. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知的面积为，，，则________. 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球. （1）记摸出红球的个数为X，求X的分布列和期望； （2）已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率. 16. 已知在长方形中，，，点是边的中点，如图甲所示.将沿翻折到，连接，，得到四棱锥，其中，如图乙所示. （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若直线是曲线的一条切线，求a的值； （2）若在上的最大值为1，求a的取值范围. 18. 设为抛物线：的焦点，过作抛物线准线的垂线，垂足为N，的面积为2. （1）求抛物线的方程； （2）直线：与E交于点A，B（A在x轴上方），直线：与E交于点C，D（D在x轴上方），直线与的交点为H. ①证明：H在一条定直线上； ②若H坐标，求的面积. 19. 已知数列的前项和为，若，其中，，则称为“数列”. （1）若是“数列”，求满足条件的一个； （2）若是“数列”，且，证明：； （3）是否存在等差数列是“数列”？若存在，求出所有满足条件的，并指出取最小值时的通项；若不存在，请说明理由 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）分布列： 0 1 2 期望为； （2）． 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接，因为是中点，所以， 从而，所以， 又，所以，所以， ，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①证明：设 联立，得则. 联立，得则. 代入， 化简得, 同理得. 联立两直线方程，得到. 所以在定直线上. ② 【19题答案】 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明：法一：由于是“数列”，故. 而，故，从而由知. 下面用数学归纳法证明：. 当时，由知，所以. 这表明结论在时成立； 假设当时结论成立，即. 则由知. 所以，即. 这就得到. 假设，则，矛盾. 所以，故. 所以，这表明结论在时成立. 由数学归纳法知对任意正整数成立. 所以由知，故. 法二：由题得， 当时，，解得，结论成立； 当时，，即， 利用求根公式得． 而，所以． 所以． 综上，． （3）当，，时，；当，时，； 其余情形不存在；取最小值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $