5.5 一元一次方程的应用 教学设计 2024--2025学年浙教版（2024）七年级数学 上册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 七年级 学期 秋季 课题 一元一次方程的应用 教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册教材 教学目标 1.掌握列方程解实际问题的一般步骤，会利用一元一次方程解决简单的实际问题。 2.在解决实际问题的过程中，感受在生活中学数学、用数学的乐趣，体验方程是刻画世界的有效的数学模型。 教学内容 教学重点： 掌握列方程解实际问题的一般步骤 教学难点： 例1的有序分析问题，以及设元、列方程环节并由此归纳方程解决实际问题的一般步骤 教学过程 课前引入同学们好！大家知道吗？作为体育强国，我国已有多个城市承担过亚运会，其中第16届亚运会就在广州举行，这届亚运会的会徽设计以柔美上升的线条，构成了一个造型酷似火炬的五羊外形轮廓，象征着亚运会的圣火熊熊燃烧、永不熄灭。 【设计意图】宣传我国体育盛事，激发学生学习探究热情！ 1. 问题征解 在广州亚运会上，我国获得奖牌416枚，其中银牌119枚，金牌数是铜牌数的2倍还多3枚.问：其中金牌有多少枚？ 问题1：你在小学是怎样解决这个问题的？ 根据题意，2010年广州亚运会，我国获得铜牌和金牌共297枚。借助画线段分析，将铜牌数记作一条线段，那么金牌数应记作两倍长的线段，并且多3枚。这么看来，我们可以列算式，即金牌有199枚。这种画线段示意图分析问题中数量关系的方法，是我们小学常用的，它是在假设铜牌数是一条线段的基础上分析的，当然，肯定也有同学会这样思考：奖牌数416-119-3后，将剩余奖牌数等分成3份，根据金牌数是铜牌数的2倍还多3枚，将一份乘以2再加上3，就是金牌数。上述两种解法的实质就是假设法。我们在小学体验了不少假设思维的精妙乐趣。 问题2：能否沿着假设法的思路，用字母表示未知数的方法来解决这个问题呢？怎么解决？ 当然可以，比如：假设铜牌有x枚，则金牌有2x+3枚，根据奖牌总数416枚，可列方程：x+（2x+3）+119=416，余下的问题就变成解一元一次方程的纯数学问题了。这种思路简明清晰，它将我们小学学习的假设法迁移到了我们前几节课学习的一元一次方程。 这节课我们就一起重点研究：（点）如何用一元一次方程解决实际问题。 【设计意图】采用教材提供的“奖牌”情境引入，设计先思考算术解法，再回顾方程解法，基于以下两点：一是通过两种算术解法思维的归一，得到解决问题的本质是假设，培养学生的思维迁移发展；二是通过假设思维构架起算术与方程之间的桥梁，自然引出本课的重点学习内容。 2. 问题探究 2.1问题探究1 2.1.1例1 例1 广州亚运会的田径赛事分A、B观看区，A区票每张180元，B区票每张90元，某场比赛共售出966张票，收入154800元.问：这场比赛共售出B区票多少张？ 对于这个问题，同学们是这样想的吗？通过以下四个问题引导学生思考： 问题1：问题中涉及哪些量？在这些量中哪些是已知量，哪些是未知量呢？ 涉及的数量有票数、票价、总价；总票数、票价、总价是已知量，而售出的A区票数、B区票数，以及A区票的总票价、B区票的总票价是未知量。 问题2：这些量之间有什么数量关系？ 它们之间的相等关系如下：票数ⅹ票价=总价；A区票数+B区票数=总票数；A区票的总票价+B区票的总票价=总价。 问题3：该如何设未知数？ 选择问题所求解的量为未知数，即设这场比赛共售出B区票x张，则售出A区票（966-x）张。 问题4：该根据哪一个相等关系列方程？ 选择：A区票的总票价+B区票的总票价=总价，这一相等关系，故由题意得：90ⅹ+（966-x）180=154800 具体书写示例： 解：设这场比赛共售出B区票x张，则售出A区票（966-x）张. 由题意得：90ⅹ+（966-x）180=154800 解方程得：x=212 检验：x=212适合方程，且符合题意 答：这场比赛共售出B区票212张. 【设计意图】将教材中的例1背景改为亚运会，更契合课前引入，通过4个问题串的形式，引导学生从本能的、无序的思维到有序的思考，帮助学生积累思考问题的经验。 2.1.2追问再探 追问1：能否设其它量为未知数呢？ 这个问题中，A区票的总票价、B区票的总票价也是未知量，我们还可以选择它们为未知数，比如： 设B区票的总票价为y元，则A区票的总票价为（154800-y）元， 根据A区票数+B区票数=总票数，列方程：=966 解方程：y=19080 检验：y=19080适合方程，且符合题意 ∴共售出B区票 = 212（张) 答：这场比赛共售出B区票212张. 这么看来，算法是多样化的，对于同一问题，设不同的量为未知数，可以列出不同的方程，一般地，设元，通常是求什么就设什么，如果这样设元，不容易列出方程，再考虑间接设未知数，因此，在设未知数时要有所选择。 【设计意图】通过这个问题，师生共同重温用方程解决问题的思考分析过程，由此及时反思总结如何设元，从而体会选择合适的未知数的重要性。 追问2：改变问题中的总价，问：如果票价不变，那么售出966张票能收入154600元吗？ 请同学们模仿我们刚才的解题表述，在学案纸上写出解题过程. 解：设这场比赛共售出B区票x张，则售出A区票（966-x）张. 由题意得：90ⅹ+（966-x）180=154600 解方程得：x=214 检验：x=214 不符合题意 答：这场比赛共售出B区票212张. ∴ 如果票价不变，那么售出966张票不可能收入154600元. 看来，用方程解决实际问题时，必须对方程的解进行检验。 【设计意图】通过这个问题，师生共同再次重温用方程解决问题的思考分析、规范书写的过程，及时反思总结用方程解决实际问题时，必须对方程的解进行检验，从而体会检验的必要性。 2.1.3探究反思 根据前一环节积累的经验，师生合作总结出，运用方程解决实际问题的一般过程如下：首先，分析题意，找出题中的数量及其关系，此为审题；然后，选择一个适当的未知数用字母表示，此为设元；接着，根据相等关系列出方程，即列方程；紧接着，解方程，最后，检验，具体检验以下内容：检验求得的解是否正确，是否符合实际。 【设计意图】以例1及两个追问为依托，让学生经历方程解决实际问题过程后，自然地反思，归纳总结出运用方程解决实际问题的一般过程，并为下一环节尝试独立解决例2做好准备。 2.2问题探究2 例2小李家和小明家相距60千米，两人同时从各自家里骑自行车出发，相向而行，打算相遇后，再一起去看田径赛。小李每小时比小明多行2千米，经过2小时相遇。问：小明的速度是多少？ 请同学们在学案上尝试解决. 这个问题我们可以这样解决： 先审题，发现题中有以下数量：路程、速度及时间， 它们之间的相等关系如下：速度ⅹ时间=路程；小明的速度+2=小李的速度；小李的路程+小明的路程=60 选择一个适当的未知数，依次设元，列方程，解方程，检验。 解：设小明的速度为x千米/时，则小李的速度为（x+2）千米/时. 由题意得：2x+2（x+2）=60 解方程得：x=14 检验：x=14适合方程，且符合题意 答：小明的速度为14千米/时. 【设计意图】将教材中的例2背景也改为亚运会，做到前后一贯性，让学生更好的感受数学来源于生活；通过例2，师生共同用方程解决小学熟悉的相向而行的行程问题，让学生更好地掌握用方程解决实际问题的一般步骤，体验数学建模思想。 3. 变式体验 让学生在学案纸上“小试牛刀” 1.甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道跑步.甲的速度是乙速度的 5/3倍.他们从同一起点、朝同一方向同时出发，5分钟后甲第一次追上乙，则乙跑步的速度为 . 2.三个连续奇数的和为57，则这三个数分别是 . 【设计意图】练习1的设计着眼于本节课类型的实际问题，练习2的设计着眼于纯数学问题，通过这两个练习题既让学生自我当堂检验学习掌握情况，及时查漏补缺，又让学生对于用方程数学建模的有效性有更深入的认识。 4. 反思提升 最后，我们一起反思提升，本节课内，我们用一元一次方程解决了亚运会相关的实际问题，具体方法为：将实际问题通过审题、设元、列方程，抽象成数学问题，解方程，得到数学问题的解，检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需重新回到开始。在这个过程中，我们发现正确分析问题中的相等关系是用方程解决问题的基础，经历了数学建模过程，体验了方程是刻画现实世界的有效的数学模型。不仅如此，我们还对小学已涉及过的方程有了新的理解，实现了算术思维到代数思维的思维飞跃！ 课后，请大家完成以下3组习题，继续，用方程建模的数学研习之路！同学们，今天的学习到这里就结束了，我们下次再见！ 【设计意图】用思考性问题帮助学生回顾本节课知识点的，梳理用方程解决实际问题的思路，进一步明确正确分析问题相等关系是基础，点明建模思想及小学数学与初中数学的思维提升，为后续用数学解决实际问题的研究和运用积淀经验。 学科网（北京）股份有限公司 $$