精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试卷

高一数学第二次月考检测 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的知识求得. 【详解】集合是自然数集，所以 故选：B 2. 已知α是第二象限角，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角所在的象限及平方关系求得，，利用商数关系求其正切值. 【详解】由题设，，故. 故选：B 3. 已知：，，则是的（ ）条件 A. 既不充分又不必要 B. 充要 C. 必要不充分 D. 充分不必要 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式，得到不等式解集，根据真包含关系得到是的必要不充分条件. 【详解】等价于，解得， 由于是的真子集，故是的必要不充分条件. 故选：C 4. ()的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方差公式及对数的运算性质化简求值. 【详解】由原式. 故选：C 5. 恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（ ）年（参考数据：) A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】B 【解析】 【分析】设经过年达到富裕水平，有，结合指对数互化及对数运算性质求结果. 【详解】设经过年达到富裕水平，则有， 两边取对数，得年， 所以，至少要经过4年，该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平. 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的奇偶性和特殊值，，即得解 【详解】由题意，的定义域为， ，故为奇函数，排除C； ，排除A，，排除B. 故选： 7. 已知函数的最小正周期为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由周期性得，再由对称性与单调性判断， 【详解】因为的最小正周期为，所以，所以， 令得，即在上单调递增， 令得，即在上单调递减， 因为， 而，，， 所以由三角函数性质得 故选：D. 8. 2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A. 乙、甲、丙 B. 甲、乙、丙 C. 乙、丙、甲 D. 丙、甲、乙 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出提价后的价格，结合基本不等式，分析即可得答案. 【详解】设提价前价格为1， 则甲提价后的价格为：， 乙提价后价格为：， 丙提价后价格为：， 因为， 所以， 所以，即乙>甲>丙. 故选：A 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意，部分选对得2分，错选不得分．） 9. 关于命题：“，”，下面结论中正确的是（ ） A. 是一个真命题 B. 是一个假命题 C. 的否定：“，” D. 的否定：“，” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据时，判断A，B选项，根据全称命题的否定是特称命题判断CD. 【详解】解：对于A，B选项，当时，，故A选项错误，B选项正确； 对于C，D选项，的否定：“，”，故C选项错误，D选项正确. 故选：BD 10. 下列函数中，最小值等于4的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式进行求解，但等号成立的条件不满足，A错误；BC选项，由基本不等式求出最小值为4；D选项，举出反例. 【详解】A选项，因为，所以， 由基本不等式得，当且仅当， 即时，等号成立，显然无解，故A错误； B选项，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； D选项，若，则，，D错误. 故选：BC 11. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A. 摩天轮离地面最近的距离为4米 B. 若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则 C. 若在，两个时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D. ，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【答案】BC 【解析】 【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D. 【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确； 分钟后，转过的角度为，则，B正确； 周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值， 则，又高度相等，则关于对称，则，则； 令，解得，令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，， 当时，，所以在只有一个解； 故选:BC. 【点睛】关键点睛: 本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断. 12. 有四个命题，其中正确命题有（ ） A. 函数是最小正周期为的周期函数 B. 锐角中恒成立 C. 函数在区间上是增函数 D. 若，则，. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A将函数两侧平方结合倍角正弦公式得，确定其最小正周期即为原函数周期；B根据锐角三角形的性质得、即可判断；C应用单调性定义，结合三角函数、指数函数的单调性证明判断；D根据函数值写出的通项判断. 【详解】A：由，易知该函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，对； B：由题意，且，则， 同理且，则， 所以，对； C：令，则， 由在上递减，在上递增，且在定义域上递增， 所以在上递减，在上递增，故， 所以，即函数在上递减，错； D：由，可得或且，即，，对. 故选：ABD 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．16题为2+3分） 13. 已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角是_________弧度 【答案】 【解析】 【分析】设扇形半径为，圆心角为，根据扇形的弧长公式和面积公式列方程即可求解． 【详解】设扇形半径为，圆心角为，则 ，解得 故答案为：. 14. 函数的值域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 15. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________. 【答案】. 【解析】 【分析】由条件得出，进而求得，根据正弦函数的单调性得出，即可得正实数的取值范围． 【详解】解：由题可知，，函数在上单调递减， 可得函数的半个周期大于或等于，即， 则，， 由， 解得：，， 而，所以当时，， 则正实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查由正弦型函数的单调性求参数范围，涉及正弦函数的周期和单调性的应用，属于中档题． 16. 如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到的距离分别为， B是直线上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线交于点C. 设. 设的面积为，则________，的最小值为__________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据题设有，结合已知用，表示出，根据二倍角正弦公式及正弦函数的值域范围求最小值. 【详解】由题设，又AC⊥AB， 所以， 而，故. 故答案为：， 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程．） 17. 求值： （1）; （2）. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）根据特殊三角函数及诱导公式化简求值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 18. 已知函数. （1）化简； （2）若，求下列表达式的值：①；②. 【答案】（1） （2）①，②； 【解析】 【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可； （2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【小问1详解】 解：因为，所以； 【小问2详解】 解：由，得 ① ② 19. 已知． （1）写出的最小正周期及的值； （2）求的单调递增区间及对称轴． 【答案】（1）最小正周期为，； （2）单调增区间为；对称轴为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数性质求出周期，再将代入计算作答 （2）根据已知条件，结合正弦函数的单调性，以及对称轴的性质，求解作答． 【小问1详解】 依题意，， 所以的最小正周期，. 【小问2详解】 由（1）知， 由得：， 所以函数的单调递增区间是； 由得，， 所以函数的对称轴为. 20. 已知函数（为常数）是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若函数满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 在上任取,，设， 因为，所以，则， 所以 即 所以在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可； （2）首先判断函数的单调性，再根据定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解得即可； 【小问1详解】 解：因为是定义在上的奇函数，所以， 即，即，所以，即；解得， 所以 【小问2详解】 函数是上的减函数，证明略； 【小问3详解】 解：因为是定义在上的奇函数 所以可化为 又在上单调递减， 所以 解得 21. 年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 【答案】（1）选择函数更合适，解析式为 （2）11个 【解析】 【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断； （2）设至少需要x个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解． 【小问1详解】 若选， 将，和，代入可得，，解得， 故， 将代入，，不符合题意； 若选， 将，和，代入可得，，解得， 故， 将代入可得，，符合题意； 综上所述，选择函数更合适，解析式为 【小问2详解】 设至少需要x个单位时间， 则，即，两边同时取对数可得，， 则， ， 的最小值为11， 故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个． 22. 已知函数是R上的偶函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数图象与x轴有公共点，求实数a的取值范围； （3）设函数（且），若函数与的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质有，列方程求参数，注意验证是否为偶函数即可； （2）问题化为关于x的方程有解，由对数函数性质求右侧值域即得范围； （3）问题化为关于x的方程有且只有一个解，令，得有解，结合对应二次函数性质并讨论参数m求取值范围. 【小问1详解】 因为是上的偶函数， 所以，即，解得， 经检验：当时，满足题意. 【小问2详解】 因为，所以， 因为时，图象与x轴有公共点， 即关于x的方程有解， 令，则， 因为，所以，所以， 所以，实数a的取值范围是． 【小问3详解】 因为函数与的图象只有一个公共点， 即关于x的方程有且只有一个解， 所以， 令，得（*）， 记， ①当时，函数图象开口向上，且恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以，符合题意； ②当时，因为，所以只需，解得， 方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意， 综上m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第二次月考检测 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知α是第二象限角，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知：，，则是的（ ）条件 A. 既不充分又不必要 B. 充要 C. 必要不充分 D. 充分不必要 4. ()的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（ ）年（参考数据：) A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，则（    ） A. B. C. D. 8. 2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A. 乙、甲、丙 B. 甲、乙、丙 C. 乙、丙、甲 D. 丙、甲、乙 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意，部分选对得2分，错选不得分．） 9. 关于命题：“，”，下面结论中正确的是（ ） A. 是一个真命题 B. 是一个假命题 C. 的否定：“，” D. 的否定：“，” 10. 下列函数中，最小值等于4的函数是（ ） A. B. C. D. 11. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A. 摩天轮离地面最近的距离为4米 B. 若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则 C. 若在，两个时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D. ，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 12. 有四个命题，其中正确命题有（ ） A. 函数是最小正周期为的周期函数 B. 锐角中恒成立 C. 函数在区间上是增函数 D. 若，则，. 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．16题为2+3分） 13. 已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角是_________弧度 14. 函数的值域为____________. 15. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________. 16. 如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到的距离分别为， B是直线上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线交于点C. 设. 设的面积为，则________，的最小值为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程．） 17. 求值： （1）; （2）. 18. 已知函数. （1）化简； （2）若，求下列表达式的值：①；②. 19. 已知． （1）写出的最小正周期及的值； （2）求的单调递增区间及对称轴． 20. 已知函数（为常数）是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若函数满足，求实数的取值范围. 21. 年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 22. 已知函数是R上的偶函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数图象与x轴有公共点，求实数a的取值范围； （3）设函数（且），若函数与的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $