精品解析：云南省昆明市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

昆明市第三中学高2026届高二年级上学期期中考试 数学试卷 命题人：李刘祥 孙大猛 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的倾斜角与斜率k的关系，可以求出的值． 【详解】设直线的倾斜角为，且， 将直线方程化为， 直线的斜率，故. 故选：A 2. 已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解. 【详解】如图，四面体，是的中点， 因为是的中点，所以 所以. 故选：A. 3. 焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到椭圆焦点的位置，然后根据题中的数据求出后可得所求的标准方程． 【详解】由题意知椭圆的标准方程为， 且，所以， 所以， 又， 所以可得， 因此椭圆的标准方程为． 故选：C. 4. 在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：D. 5. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 6. “”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】依题意，，解得或， 所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 8. 过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设点在直线上，可得点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O的方程得出直线AB的方程，进而可得直线AB恒过定点， 将问题转化为求点C、N之间的距离，结合圆C的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果. 【详解】由题意知，设点在直线上，则， 过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则， 所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：， 又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为， 即，因为，所以，所以， 当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点， 所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径， 又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为. 故选：A 二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共18分. 9. 椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的焦距为3 B. 椭圆C的长轴长为10 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C上存在点P，使得为直角 【答案】BC 【解析】 【分析】由椭圆方程，计算，由焦距、长轴、离心率的定义可判断ABC，当点P为上顶点或者下顶点时，最大，分析可判断D 【详解】由题意， 椭圆的焦距为，A错误； 椭圆的长轴长为，B正确； 椭圆的离心率，C正确； 当点P为上顶点或者下顶点时，最大，此时又为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得为直角，D错误 故选：BC 10. 已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的一个焦点坐标为 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】首先求得双曲线离心率的表达式，利用基本不等式求得为何值时离心率取得最小值.进而求得双曲线的渐近线、焦点以及焦点到渐近线的距离. 【详解】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲线的渐近线方程为，故A，B正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C错误；焦点到渐近线的距离为，故D错误. 故选：AB． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及利用基本不等式求最值，解答本题的关键是用表示出双曲线的离心率，利用基本不等式求最小时的值． 11. 已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的面积为定值 D. 若在轴上，则为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点坐标求出抛物线方程，利用抛物线性质解决焦点弦相关问题. 【详解】由椭圆的方程可知，椭圆的右焦点坐标为，则抛物线焦点为， 所以，抛物线的标准方程为，准线方程为， 抛物线的焦点弦中，通径最短，通径长为，则，A选项正确； 显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，， 联立，得，， 得，，所以，， 则， 因为与垂直，所以直线的斜率为，其方程为， 联立，解得，即， 所以点M到直线AB的距离， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，即选项B正确； 的面积 当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为4，即选项C错误； 若在轴上，则，此时为通径，设，， ，，满足， 则为直角三角形，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可． 【详解】直线与直线平行， 所以， 直线与直线的距离为 ． 故答案为：． 13. 圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_____. 【答案】满足方程：的任意均可 【解析】 【分析】 先求出双曲线的渐近线，然后根据对称性设出圆的圆心，再利用圆与直线相切，得到半径，从而得到所求圆的方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 要使圆与两条渐近线相切， 设圆的圆心为，， 则圆的半径为：， 所以所求圆的方程为：，， 故答案为：满足方程：的任意均可. 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，根据直线与圆相切求圆的方程，属于中档题. 14. 设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，设直线l与圆C的切点为，过点作于点Q，则，由题意求出，进而求出、，结合双曲线的定义化简计算即可求解. 【详解】设直线l与圆C的切点为，则，， 由，得， 过点作于点Q，则， 由O为的中点，得， 因为为锐角，所以， 有，得， 所以，由双曲线的定义知， ，即，解得， 又，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：共77分. 15. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： 【小问2详解】 设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 16. 在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求直线DF与平面BEF所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直． 以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 设平面BEF的法向量为，因为，， 所以，解得，令，得，故． 设平面DEF的法向量为，因为，， 所以令，得． 因为，所以，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直； （2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知， 平面BEF的一个法向量为， 则， 所以， 即直线DF与平面BEF所成的角为． 17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 【答案】（1）椭圆的方程为；抛物线的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程和离心率可得，即可得椭圆方程，根据焦点可得抛物线方程； （2）设的坐标，利用点差法即可得斜率. 【小问1详解】 由椭圆方程可知：， 因为，解得， 又因为，所以椭圆的方程为； 可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为， 可得，即 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交， 如图所示： 设，中点为， 则，，， 因为两点在椭圆上， 可得，两式相减可得， 整理可得， 即，可得， 所以直线的斜率为. 18. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． （1）证明：； （2）若点在棱上，且平面，求线段的长； （3）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：连接，因为为棱台，所以四点共面， 又因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以； （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）建立适当的空间直角坐标系，设出的长，表示出直线的方向向量及平面的法向量后计算即可得； （3）分别求出两平面的法向量，由平面夹角公式、二面角的定义即可列出方程，计算即可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点，连接， 因为底面是菱形，且，所以是正三角形， 所以，即， 由于平面，以为原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则， 设，则，， ，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，即， 由平面，则， 即有， 解得，即； 【小问3详解】 假设点存在，设点的坐标为，其中， 可得， 设平面的法向量，则， 令，即，所以， 又由平面的法向量为， 所以，解得， 由于二面角为锐角，则点在线段上， 所以，即， 故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为. 19. 如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值. 【答案】（1） （2）为定值，，理由如下： 当直线的斜率不存在时，其方程为， 与y轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去y整理得， 恒成立， 所以， 又因为直线与y轴的交点为C，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且， 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证. （3） 设，显然的斜率存在，，， 设的方程是， 由消去y得， 则，即， 由韦达定理得， 根据已知，可得， 即， 又，， 代入上式整理得， 则或， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点与M重合，舍去， 故直线经过定点， 又因为， 所以D在以线段MK为直径的圆上. 所以F为线段MK的中点，即， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示，化简即可； （3）设的方程是，与椭圆方程联立，由条件，可得，则或，可证直线经过定点，又因为，所以D在以线段MK为直径的圆上，可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点， 所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线E的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2026届高二年级上学期期中考试 数学试卷 命题人：李刘祥 孙大猛 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A. B. C. D. 3. 焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 6. “”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共18分. 9. 椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的焦距为3 B. 椭圆C的长轴长为10 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C上存在点P，使得为直角 10. 已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的一个焦点坐标为 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 11. 已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的面积为定值 D. 若在轴上，则为直角三角形 三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 13. 圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_____. 14. 设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______. 四、解答题：共77分. 15. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 16. 在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求直线DF与平面BEF所成角的大小． 17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 18. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． （1）证明：； （2）若点在棱上，且平面，求线段的长； （3）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $