精品解析：湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一上学期10月考试数学试卷

公安三中2024级高一上学期10月考试数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合．设，下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 4. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 5. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有3人 C. 仅参加跑步比赛的有5人 D. 同时参加两项比赛的有16人 6. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设且，则的最大值是（ ） A. 400 B. 100 C. 40 D. 20 8. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C. 命题，，则， D. ，表示同一集合 10. 若实数a，b满足，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为_____________. 13. 两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）； 17. 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. （1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. （2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 19. 已知，关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公安三中2024级高一上学期10月考试数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得B，再根据交集的概念运算即可. 【详解】由得，所以，故. 故选：B 2. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 3. 已知集合．设，下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，即可得与的关系. 【详解】由，， 故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，则，A错误； 选项B，当，时，，但，不成立，B错误； 选项C，当时，， C正确； 选项D，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D错误. 故选:C． 5. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有3人 C. 仅参加跑步比赛的有5人 D. 同时参加两项比赛的有16人 【答案】C 【解析】 【分析】结合文氏图，利用容斥原理计算． 【详解】如图，同时参数跳远和跑步的有人， 仅参加跳远比赛的有人， 仅参加跑步比赛的有人， 同时参加两项比赛的有人， 故选：C． 6. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论与两种情况，结合根的判别式得到不等式，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 7. 设且，则的最大值是（ ） A. 400 B. 100 C. 40 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 8. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，就第二个含参的不等式分类讨论其解集，借助于数轴表示即可求得参数的范围. 【详解】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C. 命题，，则， D. ，表示同一集合 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解，即可求解A；根据恒成立问题求解，即可根据充分不必要条件的定义求解B；根据命题的否定即可求解C，根据集合相等的定义即可求解D. 【详解】对于A，由可得，故，解得， 故不等式的解集是，故A错误； 对于B，命题“，”为真命题，则， ，，则， 则是命题为真命题的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题，，则，，故C错误； 对于D，，故与表示同一集合，D正确. 故选：BD. 10. 若实数a，b满足，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理，即可求解. 【详解】由题意，实数a，b满足， 根据不等式的性质，可得，所以A正确； 由，可得，所以，所以B不正确； 由不等式的基本性质，可得，所以C正确； 由，左右都乘以，可得，可得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知，下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基本不等式求最值后判断各选项：选项A，利用.选项B，利用.选项C，没有定值，先利用不等式进行放缩，然后解不等式得最值.选项D，根据定值的要求把两项都与相应常数求代数和，然后凑出积为定值，再求得最值． 【详解】由已知， 选项A，， 当且仅当时等号成立，A错， 选项B，，则， 所以，当且仅当， 即时等号成立，B正确； 选项C，由得， 当且仅当时等号成立，又，故解得，C正确； 选项D， ， 当且仅当即时等号成立，D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：用基本不等式求最值，需要满足三个条件：一正，二定，三相等，即在中，首先两项均为正，其次需有定值才能有最值，即和定积最大，积定和最小，第三，要取得等号成立（即最值取得到），需要能成立，否则也不能得出最值．一正常常在已知条件中就能满足或者简单变形一下即可满足，难点是二定，这个定值有时需要凑配，本题中选项ABD均凑配出了定值，“1”的代换是凑配定值常用方法． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系列式求解即可； （2）分和两种情况，结合交集运算列式求解即可； 【小问1详解】 因为，则， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则 ，解得； 综上所述：实数的取值范围是或. 【小问2详解】 因为， 当时，由（1）知； 当时，可得或，解得或； 综上所述：实数的取值范围是或. 16. 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）变形给定不等式，利用解一元二次不等式的方法求解即得. （2）（3）移项通分化不等号一边为0，再转化为不等式组求解. 【小问1详解】 不等式化为，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式化为，即，则，解得或， 所以原不等式的解集为 【小问3详解】 不等式化为，即， 则或，解，得， 解，得，因此或， 所以原不等式的解集为. 17. 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. （1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. （2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）4m，14400元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，则 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. 【小问2详解】 由题意可得.对恒成立. 即 令 . 令， 则在上单调递增. 且时，. . 即的取值范围为. 18. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由为： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2） （i）证明：由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立；（ii） 【解析】 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 19. 已知，关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为：或；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：. （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【小问1详解】 由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. 【小问2详解】 原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 【小问3详解】 问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 【点睛】方法点睛：求参数的的取值范围，可以分离变量，化成，恒成立的问题，再结合基本不等式，求式子，的最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $