精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年上学期八年级阶段考试 数学试题

2024-2025学年第一学期八年级阶段考试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 班级：___________姓名：___________座号：___________考号：___________注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断，将一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧能完全重合的图形是轴对称图形． 【详解】根据轴对称图形定义，可知C为轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，需对定义有清晰的理解，找到对称轴是解题的关键． 2. 一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（　　） A. 10厘米 B. 30厘米 C. 100厘米 D. 110厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．易求得第三边长的取值范围，看选项中哪个适合这个范围即可． 【详解】解：设第三边的长x，则， ∴， 满足条件的只有厘米， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式的乘法，单项式的除法，以及积的乘方法则逐项分析即可． 【详解】A．与不是同类项，不能合并，故原式不正确； B．，故原式不正确； C．，故原式不正确； D．，故原式正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，单项式的除法，以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 7. 已知，则的值为（　　） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值，幂的定义，根据幂的定义，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意知，，证明，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 10. 如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　） A. 28 B. 24 C. 14 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标规律求解． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 如图，已知，若添加一个条件后可以证明，则这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法，由全等三角形的判定，即可得到答案． 【详解】解：添加一个条件， 在和中， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是______． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先求出，再过点作于点，根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 14. 如图，将沿直线折叠，使点与点重合，已知，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，根据题意可得，进而根据的周长，即可求解． 【详解】解：将沿直线折叠后，使得点与点重合， ， ， 的周长． 故答案为：． 15. 如图，阴影部分图形的面积为____________（用含有、的代数式表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可以用含有的式子分别表示出阴影部分的长和宽，从而可以表示出面积. 【详解】由勾股定理可知，阴影部分的宽为，阴影部分的长为，所以面积为 【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求出阴影部分长方形的长与宽是解题的关键. 16. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当点在边上时，连接，过点作于，根据平行线之间距离相等可得：，由含角的直角三角形性质可得：，再结合三角形面积即可得出，最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点在边上时，过点作于点，利用角平分线判定定理可得出：平分，即点与点重合，再利用平行线性质即可． 【详解】解：当点在边上时，如图，连接，过点作于， ∵，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，如图，过点作于点， ∵， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴平分，即点与点重合， ∵， ∴， 即， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，角平分线性质和判定定理，平行线性质，等腰三角形性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方计算，再合并同类项即可； （3）根据多项式除以单项式运算法则计算即可； （4）根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式运算法则进行化简，再代入数值计算即可． 【详解】解： 当时，原式 20. 如图，在中，． （1）作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余； （1）作线段的垂直平分线交斜边于点； （2）根据垂直平分线的性质可得，，进而根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 21. 如图，在中，是的角平分线，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2） 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线性质得到，证明，则； （2）由（1）可知．根据，，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知． ∵，， ∴． 22. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3． （1）下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与； ②与； ③与； ④与． （2）多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”． 【答案】（1）②③④ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 ，不是常数， ①组多项式不是互为“对消多项式”； ，是常数， ②组多项式是互为“对消多项式”； ，是常数， ③组多项式是互为“对消多项式”， ，是常数， ④组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：②③④ 【小问2详解】 ， ， 与（m，n为常数）互为“对消多项式”， ，，为常数， 解得：，， ， 它们的“对消数”为3； 23. 阅读理解： 若满足，求的值． 解：设， 则， ， ． 解决问题： （1）若满足，则___________； （2）若满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积． （1）设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； （2）设，，利用完全平方公式变形求解即可； （3）利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设，则：，， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【小问2详解】 设，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 如图可得， 设，，则，， ∵，且， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 24. 已知是等边三角形，点是直线上一点，以点为顶点作．过点作，交射线于点，求证：．当点为的中点时，如图1，小明同学很快就证明了结论，他的做法是：取的中点，连接，然后证明，从而得到． （1）请完整写出小明同学的证明过程； （2）如图2，当点为线段上的任意一点时，求证：； （3）当点在的延长线上，且满足（其他条件不变）时，若，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：取的中点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为的中点时，点为的中点 ∴， 是等边三角形， ， ， 又， ， 而，， ， 在和中 ， )， ； （2） 证明：在上截取，连接，如图所示： 是等边三角形， ，， 又， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， 而，， ， 在和中 ， )， ； （3） 【解析】 【分析】（1）当点为的中点时，根据题意证明，从而得到． （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得出，证出，由证明，即可得出结论； （3）根据已知条件得出是直角三角形，，进而根据，，得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据四边形的面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， ∵ ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又 ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形的面积为 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质，勾股定理的逆定理；通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，以点为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，若，求点的坐标； （2）如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，若点为点关于轴的对称点，判断点与直线的关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，连接交于点，当平分时，求线段的长（用含有的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 点在直线上， 证明：连接交轴于，连接，如图： ， ，则是等腰直角三角形，， ， ， ，， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形，则， 点为点关于轴的对称点， 是等腰直角三角形， ， 点在直线上； （3） 【解析】 【分析】（1）过作轴于；证明，根据可得，，即可得的坐标为； （2）连接交轴于，连接，证明，可得，，知，即得，故， 是等腰直角三角形，从而是等腰直角三角形，则则点在直线上； （3）如图所示，延长交于点，证明得出，进而证明得出，即可求解． 【小问1详解】 解：过作轴于，如图： ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，延长交于点， 由（2）可得， 又∵， ∴， ∵平分 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， ∵等腰直角，， ∴ ∵平分 ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级阶段考试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 班级：___________姓名：___________座号：___________考号：___________注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（　　） A. 10厘米 B. 30厘米 C. 100厘米 D. 110厘米 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知，则的值为（　　） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图，在中，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10. 如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　） A. 28 B. 24 C. 14 D. 7 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为_____________． 12. 如图，已知，若添加一个条件后可以证明，则这个条件可以是___________． 13. 如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是______． 14. 如图，将沿直线折叠，使点与点重合，已知，则的周长为___________． 15. 如图，阴影部分图形的面积为____________（用含有、的代数式表示）. 16. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，，求的度数． 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 如图，在中，． （1）作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 如图，在中，是的角平分线，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，求的面积． 22. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3． （1）下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与； ②与； ③与； ④与． （2）多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”． 23. 阅读理解： 若满足，求的值． 解：设， 则， ， ． 解决问题： （1）若满足，则___________； （2）若满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为多少？ 24. 已知是等边三角形，点是直线上一点，以点为顶点作．过点作，交射线于点，求证：．当点为的中点时，如图1，小明同学很快就证明了结论，他的做法是：取的中点，连接，然后证明，从而得到． （1）请完整写出小明同学的证明过程； （2）如图2，当点为线段上的任意一点时，求证：； （3）当点在的延长线上，且满足（其他条件不变）时，若，直接写出四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，以点为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，若，求点的坐标； （2）如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，若点为点关于轴的对称点，判断点与直线的关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，连接交于点，当平分时，求线段的长（用含有的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $