立体几何问题专题特训-2025届高三数学一轮复习

立体几何问题专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•海淀区校级三模）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（　　） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若l⊥β，α⊥β，则l∥α D．若l∥α，α⊥β则l⊥β 2．（2024•河南模拟）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．8π C．10π D．12π 3．（2024•金凤区校级一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1，CC1的中点，过点E作平面α，使得α∥平面BDF，且平面α与A1C1交于点M，则FM＝（　　） A． B． C． D． 4．（2024•四川模拟）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线B1D∩平面ACD1＝E，F，F是BC的中点，G是线段B1F上的动点，则直线GE与侧面ADD1A1的交点P的轨迹长为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•大连模拟）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，，则该正四棱台的体积为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•襄城区校级模拟）如图，在四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为（　　） A．3π B．9π C．36π D．48π 7．（2024•高新区校级模拟）如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（　　） A．1 B． C． D． 8．（2024•九龙坡区模拟）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝5cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积（单位：cm2）是（　　） A．60π B．76π C．92π D．96π 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•盐湖区一模）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（　　） A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α D．若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β （多选）10．（2024•保定三模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，E，F，M，N分别为棱AA1，A1D1，AB，DC的中点，点P是面B1C的中心，则下列结论正确的是（　　） A．E，F，M，P四点共面 B．平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形 C．EF∥平面PMN D．平面MEF⊥平面PMN （多选）11．（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（　　） A．异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为 B．点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP∥平面B1EF时，DP的最大值为 C．过点D1，E，F的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面周长为 D．当三棱锥B1﹣BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为6π 三．填空题（共3小题） 12．（2024•盐湖区一模）已知圆锥的高为5，其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为 　 　． 13．（2024•浙江模拟）在四面体PABC中，，，，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则的值为 　 　． 14．（2024•红谷滩区校级模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M，N分别为线段AD，PC上一点，AM＝2MD． （1）若N为PC的中点，证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面CMN所成角的正弦值的最大值． 16．（2024•南关区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l． （1）证明：直线l⊥平面PAC； （2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的角为θ，求当AQ为何值时，． 17．（2024•海州区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2，E、G分别为PC、PA的中点． （1）求证：平面BCG⊥平面PAC； （2）假设在线段AC上存在一点N，使PN⊥BE，求的值． 18．（2024•垫江县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M是棱PB的中点，平面CDM与棱PA交于点N． （1）求证：MN∥平面ABCD； （2）Q为平面CDNM内一动点，E为线段BC上一点； ①求证：NQ⊥AP； ②当AQ+QE最小时，求的值． 19．（2024•德阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，∠A1AB＝∠A1AC，D为BC的中点，过B1C1的平面交棱AB于E，交AC于F． （1）求证：平面A1AD⊥平面EB1C1F； （2）设M为B1C1的中点，平面EB1C1F交AD于P，且PD＝2PA．若PM＝AB＝6，且，求四棱锥B﹣EB1C1F的体积． 立体几何问题专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•海淀区校级三模）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（　　） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若l⊥β，α⊥β，则l∥α D．若l∥α，α⊥β则l⊥β 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或平面α与平面β相交，故A错误； 对于B，由直线与平面垂直的判断方法，若l∥α，l⊥β，则α⊥β，故B正确； 对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故C错误； 对于D，若l∥α，α⊥β则l与平面β相交或l∥β或l⊂β，故D错误． 故选：B． 2．（2024•河南模拟）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．8π C．10π D．12π 【解答】解：因为底面半径r＝2， 所以底面周长为2πr＝4π， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形， 所以圆锥的母线长l＝＝3， 所以该圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×3＝6π． 故选：A． 3．（2024•金凤区校级一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1，CC1的中点，过点E作平面α，使得α∥平面BDF，且平面α与A1C1交于点M，则FM＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：以D为坐标原点O，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，由题意可得E（2，0，1），F（0，2，1），A1（2，0，2）， C1（0，2，2），B（2，2，0）， ＝（﹣2，2，0），设＝λ＝（﹣2λ，2λ，0）， 即M（﹣2λ+2，2λ，2）， 则＝（0，2，1），（﹣2，0，1）， 设平面BDF的法向量为＝（x，y，z）， 则，即， 令x＝1，则＝（1，﹣1，2）， ＝（﹣2λ，2λ，1）， 因为α∥β，所以⊥＝0， 即1×（﹣2λ）﹣1×2λ+2×1＝0，解得λ＝， 即M（1，1，2）， 所以|MF|＝＝． 故选：C． 4．（2024•四川模拟）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线B1D∩平面ACD1＝E，F，F是BC的中点，G是线段B1F上的动点，则直线GE与侧面ADD1A1的交点P的轨迹长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线B1D∩平面ACD1＝E，F，F是BC的中点，G是线段B1F上的动点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图， 则B1（2，2，2），F（1，2，0）， ∵直线B1D∩平面ACD1＝E，F，设BD∩AC＝M，如图， 在矩形BDD1B1中，∵DM∥D1B1，∴△DME～△B1D1E，∴， ∴点E满足，∴， 设平面EFB1的法向量为， 且，， 可得，即，不妨取， 由于直线GE与侧面ADD1A1的交点P，设点P（x，0，z）， 可得P，E，F，B1四点共面， 且，显然， 得方程z＝2x，显然方程z＝2x在平面ADD1A1内表示一条直线， 当z＝0时，点P（0，0，0），此时两点P，D重合， 当z＝2时，x＝1，点P（1，0，2），设线段A1D1的中点为T，此时两点P，T重合， ∴直线GE与侧面ADD1A1的交点P的轨迹为线段DT，且． 故选：A． 5．（2024•大连模拟）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，，则该正四棱台的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2， ∴上下底面正方形的中心到相应正方形顶点的距离分别为，，又侧棱， ∴该正四棱台的高为＝， ∴该正四棱台的体积为＝． 故选：A． 6．（2024•襄城区校级模拟）如图，在四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为（　　） A．3π B．9π C．36π D．48π 【解答】解：将四面体P﹣ABC补形成长方体，长、宽、高分别为2，1，2， 外接球直径等于体对角线长，故2R＝， 所以外接球表面积为S＝4πR2＝9π． 故选：B． 7．（2024•高新区校级模拟）如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：令四棱锥P﹣ABCD的各条棱长均为2，则，由E是PB的中点，得， 显然不共面，，又∠BAD＝90°，∠PAD＝∠PAB＝60°， ＝， 因此cos＜＞＝， 所以则异面直线AE与BD所成角的余弦值为． 故选：D． 8．（2024•九龙坡区模拟）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝5cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积（单位：cm2）是（　　） A．60π B．76π C．92π D．96π 【解答】解：由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为8π×5＝40π，圆柱的底面面积为π×42＝16π， 所以此陀螺的表面积为40π+20π+16π＝76π（cm2）． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•盐湖区一模）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（　　） A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α D．若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β 【解答】解：对A选项，∵a∥α，b∥α，∴a∥b或a与b相交或a与b异面，∴A选项错误； 对B选项，∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b，∴B选项正确； 对C选项，∵a∥b，b∥α，∴b与α内的某条直线平行， ∴a也平行该直线，又a⊄α，∴a∥α，∴C选项正确； 对D选项，∵a∥α，α∥β，a⊄β，∴a∥β，∴D选项正确． 故选：BCD． （多选）10．（2024•保定三模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，E，F，M，N分别为棱AA1，A1D1，AB，DC的中点，点P是面B1C的中心，则下列结论正确的是（　　） A．E，F，M，P四点共面 B．平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形 C．EF∥平面PMN D．平面MEF⊥平面PMN 【解答】解：对于A：如图经过E，F，M三点的平面为一个正六边形EFMHQK，点P在平面外， 所以E，F，M，P四点不共面，所以选项A错误； 对于B：分别连接E，F和B，C1，则平面PEF即平面C1BEF，截面C1BEF是等腰梯形，所以选项B正确； 对于C：分别取BB1，CC1的中点G，Q，则平面PMN即为平面QGMN， 由正六边形EFMHQK，可知HQ∥EF，所以MQ不平行于EF， 又EF，MQ⊂平面EFMHQK，所以EF∩MQ＝W， 所以EF∩平面QGMN＝W， 所以EF不平行于平面PMN，故选项C错误； 对于D：因为△AEM，△BMG是等腰三角形，所以∠AME＝∠BMG＝45°， 所以∠EMG＝90°，所以M⊥MG， 因为M，N是AB，CD的中点，易证MN∥AD， 由正方体可得AD⊥平面ABB1A1， 所以MN⊥平面ABB1A1，又ME⊂平面ABB1A1，所以EM⊥MN， 因为MG，MN⊂平面PMN，所以EM⊥平面GMN， 因为EM⊂平面MEF， 所以平面MEF⊥平面PMN，故选项D正确． 故选：BD． （多选）11．（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（　　） A．异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为 B．点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP∥平面B1EF时，DP的最大值为 C．过点D1，E，F的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面周长为 D．当三棱锥B1﹣BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为6π 【解答】解：对于A选项，∵DD1∥BB1， ∴在Rt△BB1F中∠BB1F即为异面直线DD1与B1F所成的角， ∴， ∴异面直线DD1与B1F所成的角的余弦值为．故A正确； 对于C选项，过点D1、E、F的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1， ∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，则过点D1、E、F的平面必与AA1与CC1交于两点， 设过点D1、E、F的平面必与AA1与CC1分别交于M、N， ∵过点D1、E、F的平面与平面AA1D1D和平面BB1C1C分别交于D1M与FN，∴D1M∥NF，同理可得D1N∥ME， 如图过点D1、E、F的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形为五边形D1MEFN， 如图以D为原点，分别以方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz， 设AM＝m，CN＝n， 则M（2，0，m），N（0，2，n），E（2，1，0），F（1，2，0），D1（0，0，2）， ∴，，，， ∵D1M∥NF，D1N∥ME， ∴，解得， ∴，，∴，， ∴在Rt△D1A1M中，D1A1＝2，，∴，同理：， 在Rt△MAE中，，AE＝1，∴，同理： 在Rt△EBF中，BE＝BF＝1，∴， ∴， 即过点D1、E、F的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面周长为．故C正确； 对于B选项，取A1D1的中点M，D1C1的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，A1S，SF， ∵SF∥AB∥A1B1，SF＝AB＝A1B1， ∴四边形A1B1FS为平行四边形，∴AA1∥B1F，∵A1S∥DM，∴MD∥B1F， 同理可得DN∥B1E， 又∵DM⊄面B1EF，B1F⊂面B1EF，DN⊄面B1EF，B1E⊂面B1EF， ∴DM∥面B1EF，DN∥/面B1EF， 又∵DM∩DN＝D，DM，DN⊂面DMN， ∴面DMN∥面B1EF， 又∵DP∥面B1EF，P∈面A1B1C1D1， ∴P轨迹为线段MN， ∴在△DMN中，过D作DP⊥MN，此时DP取得最小值， 在Rt△DD1M中，D1M＝1，D1D＝2，∴， 在Rt△DD1N中，D1N＝1，D1D＝2，∴， 在Rt△MD1N中，D1N＝1，D1M＝1，∴， ∴如图，在Rt△DPN中，， 即DP的最小值为，而DP的最大值为．故B错误； 对于D选项，如图所示，取EF的中点O1，则O1E＝O1F＝O1B，过O1作OO1∥BB1， 且使得，则O为三棱锥B1﹣BEF的外接球的球心， 所以OE为外接球的半径， ∵在Rt△EBF中，， ∴， ∴．故D项正确， 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•盐湖区一模）已知圆锥的高为5，其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为 　　． 【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示： 设圆锥PE的外接球为球O，易知PE⊥AB，且PE＝5，OP＝3，则OE＝PE﹣OP＝5﹣3＝2， 故圆锥PE的底面半径为， 因此该圆锥的体积为． 故答案为：． 13．（2024•浙江模拟）在四面体PABC中，，，，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则的值为 　　． 【解答】解：∵，，， ∴，，， ∴，，， 作出底面图形，延长DE，AC交于点G，如图所示： 由，可得，设，又， ∴＝，又E，D，G三点共线， ∴，∴t＝，∴，又， ∴，∴， 又S△ADE＝S△BDE，且， ∴＝＝， ∴＝． 故答案为：． 14．（2024•红谷滩区校级模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是 　　． 【解答】解：取棱AB的中点G，连接HG，FG． 因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以HG∥AC， 则∠FHG或其补角是异面直线HF与AC所成的角． 设AB＝2，则HG＝1，正方形ABFD中，，正三角形CFB中，． 在△GHF中，由余弦定理可得， 则异面直线HF与AC所成角的余弦值是． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M，N分别为线段AD，PC上一点，AM＝2MD． （1）若N为PC的中点，证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面CMN所成角的正弦值的最大值． 【解答】≤解：（1）证明：取BP的中点T，连接AT，TN， 由已知及AM＝2MD得AM＝2， ∵N为PC的中点， ∴TN∥BC，， 又AD∥BC， ∴TN∥AM，且TN＝AM， ∴四边形AMNT为平行四边形， ∴MN∥AT， ∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB． （2）取BC的中点E，连接AE，建立如图所示的空间坐标系A﹣xyz， 则， 不妨设， 则， ， 设平面CMN的一个法向量为， 则，即， 取y＝2，则， 设直线AN与平面CMN所成角为θ， 则sinθ＝＝＝ ＝≤＝， 故直线AN与平面CMN所成角的正弦值的最大值为． 16．（2024•南关区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l． （1）证明：直线l⊥平面PAC； （2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的角为θ，求当AQ为何值时，． 【解答】（1）证明：∵E，F分别为PB，PC中点， ∴BC∥EF， 又EF⊆平面EFA，BC⫋平面EFA， ∴BC∥平面EFA 又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC＝l， ∴l∥BC． ∵AC⊥BC， ∴EF⊥BC， ∵PA＝PC＝AC＝2， ∴AE⊥PC， ∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC， ∴BC⊥平面PAC， ∵l∥BC ∴直线l⊥平面PAC， （2）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0）， E（，0，），F（，2，），P（1，0，），Q（2，y，0） ∴＝（1，0，）为平面AEF的法向量，＝（0，2，0），＝（1，y，﹣） ∴cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝， 设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β＝， ∴sinα＝||，cosβ＝||，sinα＝cosβ， 即1＝|y|，求解y＝±1，y＝0，A（2，0，0）， 存在Q（2，1，0）或Q（2，﹣1，0）， 即当AQ＝1时，α+β＝． 17．（2024•海州区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2，E、G分别为PC、PA的中点． （1）求证：平面BCG⊥平面PAC； （2）假设在线段AC上存在一点N，使PN⊥BE，求的值． 【解答】（1）证明：因为PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PB⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BP＝B，且AB，BP在平面PAB内， 所以BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，则BC⊥PA， 又AB＝PB＝2， △PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点， 所以BG⊥PA， 又BG∩BC＝B，BG，BC在平面BCG内， 所以PA⊥平面BCG， 又因为PA⊂平面PAC， 所以平面BCG⊥平面PAC； （2）解：以B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 那么B（0，0，0，），A（2，0，0），，， 因此，，， 设，那么， 由PN⊥BE，得， ，解得． 因此，因此． 18．（2024•垫江县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M是棱PB的中点，平面CDM与棱PA交于点N． （1）求证：MN∥平面ABCD； （2）Q为平面CDNM内一动点，E为线段BC上一点； ①求证：NQ⊥AP； ②当AQ+QE最小时，求的值． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB，AB⊂平面ABP，CD⊄平面ABP， ∴CD∥平面ABP，又CD⊂平面CDNM， 平面CDNM∩平面ABP＝MN，∴CD∥MN， 又CD⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； （2）①证明：由平面PAD⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD， AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，故AB⊥平面PAD， 又AP⊂平面PAB，故AB⊥AP， 由（1）知，AB∥MN，故AP⊥MN， 又M是PB的中点，则N是PA中点，△PAD为正三角形， 故AP⊥ND，又MN∩ND＝N， 所以AP⊥平面CDNM，故AP⊥NQ， ②解：由AQ＝PQ，AQ+QE＝PQ+QE， 当Q为PE与平面CDNM的交点时，PQ+QE取得最小值PE， 故当AQ+QE最小时，PE取得最小值，此时PE⊥BC， 由AB⊥AP，可得PB2＝PA2+AB2， 同理PC2＝PD2+CD2＝PA2+AB2＝PB2， 故PE⊥BC时，E为BC中点，取PE中点T，连接MT，如图所示， 则有MT∥BE且， 则有△MTQ∽△CEQ，． 19．（2024•德阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，∠A1AB＝∠A1AC，D为BC的中点，过B1C1的平面交棱AB于E，交AC于F． （1）求证：平面A1AD⊥平面EB1C1F； （2）设M为B1C1的中点，平面EB1C1F交AD于P，且PD＝2PA．若PM＝AB＝6，且，求四棱锥B﹣EB1C1F的体积． 【解答】解：（1）证明：连接A1B，A1C． 因为∠A1AB＝∠A1AC，AB＝AC，AA1＝AA1， 所以△A1AB≌△A1AC，所以A1B＝A1C． 因为D为BC的中点，所以BC⊥A1D． 因为AB＝AC，D为BC的中点，所以BC⊥AD． 因为A1D∩AD＝D，A1D，A D⊂平面A1AD， 所以BC⊥平面A1AD． 又B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面A1AD． 又B1C1⊂平面E B1C1F， 所以平面A1AD⊥平面E B1C1F． （2）由题意得：，， 因为BC∥B1C1，B1C1⊂平面E B1C1F，BC⊄平面E B1C1F， 所以 BC∥平面E B1C1F， 由于平面E B1C1F∩平面ABC＝EF，E F⊂平面ABC， 所以BC∥EF，故． 所以四棱锥B﹣EB1C1F的顶点B到底面E B1C1F的距离等于点D到底面E B1C1F的距离． 作DT⊥PM，垂足为T，则由（1）知平面A1AD⊥平面E B1C1F，且交线为MD，MD⊂平面A1AD，所以DT⊥平面E B1C1F 故DT＝PDsin∠MPD＝3． 底面E B1C1F的面积为． 所以四棱锥B﹣EB1C1F的体积为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$