精品解析：安徽省六安市裕安区新世纪中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（A班）

六安市新世纪中学高二年级A班九月份月考数学试卷 必修第二册第六章---第八章 一､单选题（每题5分共40分） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式上下同乘以进行分母实数化即可求解. 【详解】由题意可得 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. 6 B. C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算与数量积运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：C. 3. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，，从而求出面积. 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 4. 马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（ ）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及球冠的面积公式即可求得答案. 【详解】如图，由题意知包装盒总高度为，即球冠所在球的半径为， 圆柱底面圆的半径为，设球冠的高为， 则，即或（舍去）， 故圆柱高为， 故包装盒的表面积为， 故选：D 5. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则与相交或平行，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，则或，故C错误； 若，则，故D错误； 故选：D 6. 空间四边形中，，，分别是，的中点，，则异面直线，所成的角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】 取AC中点G，连接EG、FG，可知∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在△EFG中，由余弦定理可得cos∠EGF，结合角的范围可得答案． 【详解】取AC中点G，连接EG、FG， 由三角形中位线的知识可知：EGBC，FGAD， ∴∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角， 在△EFG中，cos∠EGF， ∴∠EGF＝120°，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°， 故选：B． 【点睛】本题考查异面直线所成的角，涉及解三角形的应用，属中档题． 7. 如图，AB为圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据是圆的直径，得出是直角三角形；平面，得出、是直角三角形；平面，得出是直角三角形，即可得结论. 【详解】是圆的直径， ， 是直角三角形； 又平面，平面 ，，； 、是直角三角形； 又平面， 平面，面， ， 是直角三角形； 四面体的四个面中，直角三角形有4个． 故选：A． 8. 如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ） A. B. 16 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 二､多选题（每题6分，选错多选不得分，选对部分答部分分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B. 互为相反向量的两个向量的模相等 C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D. 向量与共线存在不全为零的实数，使 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基底的定义即可判断A；根据相反向量的定义即可判断B；根据向量的定义即可判断C；根据共线向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，由平面基底的概念可知， 只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误； 对于B，方向相反模模相等的两个向量为相反向量，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量与共线存在不全为零的实数，使，故D正确. 故选：BD. 10. 已知、表示不同的平面，、表示不同的直线，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；根据已知条件判断线面、线线位置关系，可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若，，则，A对； 对于B选项，若，，则，B对； 对于C选项，若，，则，因为，则或，C错； 对于D选项，若，且，则、平行、相交或异面，D错. 故选：AB. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面为等边三角形，，平面平面，点M在线段PC上运动（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面平面 C. 存在点M使得 D. 存在点M使得‖平面 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线的定义分析判断，对于B，根据面面垂直的性质可得线面垂直，再利用面面垂直的判定分析判断，对于C，利用反证法分析判断，对于D，根据线面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于A，因为平面，与平面相交于点，而点不在直线上， 所以与是异面直线，所以A正确， 对于B，因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面，所以B正确， 对于C，取的中点，连接，因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 假设，因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 这与四边形是正方形相矛盾，所以不成立，所以C错误， 对于D，因为四边形是正方形，所以‖，因为平面，平面， 所以‖平面，所以当点与点重合时，才有‖平面， 因为点M在线段PC上运动（不含端点），所以不存在点M使得‖平面，所以D错误. 故选：AB 三､填空题（每空5分共15分） 12. 若复数满足，则对应的点位于第_______象限. 【答案】四 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以复数对应的点位于第四象限. 故答案为：四 13. 长方体的表面积是24，它过同一个顶点的三条棱长之和为6，则它的体对角线长是______. 【答案】 【解析】 【分析】设出长宽高，表示出表面积和棱长之和，得到关系式即可求解. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，可得， 所以长方体的体对角线为. 故答案为： 14. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①； ②与成60°角； ③与成异面直线且； ④若与平面所成角为，则． 其中正确的序号是__________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】首先还原几何体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与是异面直线，直线不平行，故①错误； 连接、,将平移到，则与所成角,为等边三角形，即可,故②正确； 连接,将平移到，则与所成角,为等边三角形，同理成角，故③错误； 平面，与平面所成角为， 故④正确. 故答案为: ②④ 四､解答题（满分77分） 15. （1）化简； （2）把满足，的向量、用、表示出来. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）去括号，合并同类项即可得出结果； （2）建立方程组，解出和即可. 【详解】（1）原式； （2）由已知得， ①②得，①②得， 因此，，. 【点睛】本题考查向量加减法的运算律，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 把代入，得， 整理得，所以，解得. 17. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm． （1）求石凳的体积； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【小问1详解】 正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. 【小问2详解】 石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元. 18. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明：如图：连接BD，设，连接OM， AI ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）证明：如图：连接，NB， AI 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面. （1）求证：； （2）当，直线与平面所成角为时， （i）求证：平面平面； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为， 所以是菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）（i）当时，因为， 所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （ii） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，进而得，接着由是菱形得，从而得平面，进而得证. （2）（i）求证平面即可由面面垂直的判定定理得证平面平面； （ii）分别作交于，作交于，连接，进而得平面，从而得是二面角的平面角，接着由等面积法求出和即可由得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，所以， 因为，且，，，故， 作交于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 作交于，连接， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 因为即，所以， 因为即，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【点睛】思路点睛：本题在求二面角时采用的方法是定义法，通过作交于和作交于，从而作出二面角的棱的垂面，进而得到二面角的平面角，再由等面积法求出和即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市新世纪中学高二年级A班九月份月考数学试卷 必修第二册第六章---第八章 一､单选题（每题5分共40分） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 6 B. C. 18 D. 3. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（ ）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高） A. B. C. D. 5. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 空间四边形中，，，分别是，的中点，，则异面直线，所成的角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 7. 如图，AB为圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ） A. B. 16 C. D. 12 二､多选题（每题6分，选错多选不得分，选对部分答部分分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B. 互为相反向量的两个向量的模相等 C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D. 向量与共线存在不全为零的实数，使 10. 已知、表示不同的平面，、表示不同的直线，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面为等边三角形，，平面平面，点M在线段PC上运动（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面平面 C. 存在点M使得 D. 存在点M使得‖平面 三､填空题（每空5分共15分） 12. 若复数满足，则对应的点位于第_______象限. 13. 长方体的表面积是24，它过同一个顶点的三条棱长之和为6，则它的体对角线长是______. 14. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①； ②与成60°角； ③与成异面直线且； ④若与平面所成角为，则． 其中正确的序号是__________． 四､解答题（满分77分） 15. （1）化简； （2）把满足，的向量、用、表示出来. 16. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 17. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm． （1）求石凳的体积； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 18. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 19. 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面. （1）求证：； （2）当，直线与平面所成角为时， （i）求证：平面平面； （ii）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $