精品解析：山东省淄博市高青县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题

2022级高三第一学期期中考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 3. 已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若向量，则或 D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 已知函数的定义域为，，，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 当时， D. 函数有个零点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则___________. 13. 已知，若为偶函数，则实数__________. 14. 平移，给出下列4个论断： ①图象关于对称； ②图象关于点对称； ③最小正周期是； ④在上是增函数； 以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题： （1）____________. （2）____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知平面四边形，，，，，. （1）求； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间； （2）若存在，使得，求实数的取值范围. 17. 记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足. （1）求数列{}与数列{}的通项公式； （2）数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值． 19. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高三第一学期期中考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果． 【详解】解：复数满足，所以． 所以的共轭复数是． 故选：B． 3. 已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解. 【详解】 如图所示，正四棱柱为，正四棱锥， 设底边边长，高， 则， 又正四棱柱的侧面积， 正四棱锥的侧面积， 则，解得， 所以正四棱锥体积， 故选：B. 4. 在中，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量和表示即得. 【详解】 如图所示，由题意， . 故选：C. 5. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出和的关系，代入计算可得m的值. 【详解】由已知，得， 又，又， 所以，解得或（舍去） 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，然后平方得到. 【详解】由得， 平方得， 即，得. 故选：C 7. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案 【详解】令，， 当在上单调递增时， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且，则且， 解得，必有，故必要性成立； 当时，取，可知在上有小于零的情况， 此时无意义，即充分性不成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C． 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小. 【详解】由题意得，. 令，则， 令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得， ∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数. ∵，， ∴当时，， ∴在上为增函数. ∵， ∴， ∴. ②令， 则， ∴在上为增函数. ∵, ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若向量，则或 D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解. 【详解】A选项：，所以，所以，故A错误； B选项：若得，则，显然不成立，故B正确； C选项：因为,若向量， 则或，故C正确； D选项：设的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为所以， 又因为向量在向量上的投影向量为， 所以 则的夹角为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由正弦定理计算判断即可；B选项由余弦定理计算判断即可；C选项由三角形面积公式计算判断即可；D选项利用余弦定理可求得，进而可得，结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确； 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误； 的面积为，故C正确； 由余弦定理，得，因为，所以， 因为，是的角平分线，所以， 所以. 在中，由正弦定理，得·解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，，，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 当时， D. 函数有个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抽象函数关系式可推导得到，由周期性知A正确； 根据得到为的对称点，知B错误； 利用可推导得到在时的解析式；结合可知C正确； 将问题转化为，图象交点个数问题，利用数形结合的方式可知D正确. 【详解】对于A，，， ，即， ，即是以为周期的周期函数， ，A正确； 对于B，，图象关于点对称，B错误； 对于C，当时，，. 的图象关于点对称，的定义域为，. ，满足， 当时，，C正确； 对于D，由得：， 的值域为，则由得：， 作出，的部分图象，如图所示， 由图可知，它们有个交点，故函数有个零点，D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由等差数列角标和性质求得的值，再由等比数列角标和性质求得的值，代入即可求得的值. 【详解】等差数列中，，则， 等比数列中，，则，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知，若为偶函数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题可设函数为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数的值. 【详解】已知为上的奇函数， 若为偶函数，则函数为奇函数， 又，则， 故，整理得， 所以，解得， 则，其定义域为符合定义域对称， 则函数为奇函数，所以. 故答案为：1. 14. 平移，给出下列4个论断： ①图象关于对称； ②图象关于点对称； ③最小正周期是； ④在上是增函数； 以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题： （1）____________. （2）____________. 【答案】 ①. ②③⇒①④； ②. ①③⇒②④ 【解析】 【分析】（1）由①得；再由②得，，以及、的范围，求得、的值，从而得函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得③④正确，故得①②⇒③④. （2）由③可得，故，再由①得，，结合的范围可得，故函数，由此推出②④成立. 【详解】（1）：②③⇒①④. 由③得， 由②得，，结合，可得， ∴， 故函数的增区间为，. ∴在区间上是增函数，图象关于对称； （2）还可①③⇒②④. 由③得， 由①得，.再由可得， 故函数， 故可得①③⇒②④. 故答案为：（1）①②⇒③④；（2）①③⇒②④. 【点睛】本题考查三角函数的性质，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知平面四边形，，，，，. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求，根据勾股逆定理知，即可求. （2）由（1）得，应用正弦定理即可求的值. 【详解】（1）在△中，由余弦定理，有， ，即， . （1）在四边形中，， ∴， 在△中，由正弦定理，则. 16. 已知函数. （1）若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间； （2）若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调增区间为；单调减区间为 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，通过为极值点，求，进而确定单调区间； （2）将转换成构造函数，通过，，三类情况讨论单调性即可求解. 【小问1详解】 是的极值点，故， 当时，， ， 可知是的极大值点，故， 的单调增区间为；单调减区间为. 【小问2详解】 由得， 易知 当时，满足题意； 当时，令， 在上单调递增，则，不符合题意； 当时， 由得，由得， 于是有在上单调递减，在上单调递增， ，所以当，，使得， 也即，使得， 综上，的取值范围是. 17. 记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足. （1）求数列{}与数列{}的通项公式； （2）数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式计算可得，即可求出；根据可得，验证，即可求解； （2）由题意，根据等比数列前n项求和公式和裂项相消求和法计算即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， ，即，，. ，① ，② 所以①-②得，， .当时，，符合. . 【小问2详解】 ，依题有： . 记，则. 记， 则 . 所以. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再借助正弦函数的性质求解作答. （2）由已知及（1）求出角A，再利用余弦定理与基本不等式求解作答. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期为； 由，得， 所以函数的单调递增区间是． （2）因及（1），得，即有， 则，而为锐角，因此，， 又，由余弦定理得：，即， 当且仅当时取“=”，于是得，， 所以面积的最大值． 19. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）证明：方法一： 等价于 当时， 令 令，则在区间上单调递增    ∵， ∴存在，使得，即 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增 ∴ ∴，故 方法二： 当时， 令，则， 令，则 当时，；当时， ∴在区间上单调递减，上单调递增． ∴，即 ∴， 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解； （2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间； （3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. 【小问1详解】 ，则， 由已知，解得 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 所以，， 则在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，得， ①时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②时，，则在上单调递增； ③时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 略. 【关键点点睛】 解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $