精品解析：江西省上高二中2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷

高二年级数学月考试卷2024.11.3 一．单选题（5分×8=40分） 1. 已知是关于x的方程的一个根，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是关于x的方程的一个根，， 所以是关于x的方程的一个根， 于是有， 故选：D 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据的充要条件求得或，再由充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】若，则，解得或． 若，则直线，直线，可知； 若，则直线，直线，可知， 综上所述：或． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令， 由即 所以 故选择A 【考点定位】考查复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等问题. 4. 已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得直线过定点，求得，，数形结合可求的取值范围. 【详解】由直线方程，可知直线过定点， ，， 作出示意图如图所示：直线与线段相交， 则可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 5. 若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故选：B. 6. 如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】将直三棱柱展开成矩形， 如下图，连接，交于，此时最小， ∵，则，而， 由且都在面，则面， 又，则面，即面， 点为侧棱上的动点，当最小时，即，得， 又为直角三角形，此时三棱锥的体积为： . 故选：C 7. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可. 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 8. 如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】对A，点P在平面内运动时，四棱锥的底面积和高均不变，所以体积不变；对B，D，建系利用向量法求解；对C，根据线面角的定义，讨论点在各个表面的情况求解得答案. 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长， 所以四棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，.设，， 则，. 设直线与所成角为θ，则， 因为，当时，可得，所以； 当时，，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误； 对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内， 因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内， 则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是； 若点P在平面内，作平面，如图②所示， 因为，所以. 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P的轨迹长度为. 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 对于D，如图③，由前面建系得，，，， 设，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，故D正确． 故选：D. 二．多选题（6分×3=18分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 经过点，的直线方程均可用表示 D. 直线和都经过点，则过两点，的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：将直线方程化为点斜式方程即可判断；对于B：首先求出斜率范围，进而得到倾斜角范围；对于C：利用两点式即可判断；对于D：将点代入两个方程分析两个方程的即可判断. 【详解】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确； 对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误； 对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确； 对于D，直线和都经过点，则 所以点，的直线方程为上，故D正确. 故选：ACD. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确； 【详解】对于A，当时，，，， 此时为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，则直线为，且经过第三象限， 但此时，故C错误； 对于D，因为，， 所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确； 故选：BD. 11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由和平面即可判断；对于C，分别取和的中点和，由即即可判断；对于D，先求证平面，接着即可求证平面，进而即可求证平面. 【详解】对于A，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在上，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在棱上， 由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，当时，取的中点的中点， 所以且，，即， 所以即，又， 所以三点共线，故在线段上，故C正确； 对于D，当时，点为的中点，连接， 由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 设与相交于点O，则，即， 又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，由正方形性质可知， 又，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于求证平面，可先由和得平面，从而得，接着求证得平面，进而，再结合即可得证平面. 三．填空题（5分×3=15分） 12. 已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为和截距不为两种情况讨论，再分别利用直线的点斜式和截距式，即可求解. 【详解】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍， 当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即， 当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点， 所以，得到，故直线方程为，即， 故答案为：或. 13. 过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知直线的斜率，利用正弦的二倍角公式得到所求直线的斜率，点斜式求出直线方程. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 即可得，所以所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即， 故答案为：. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】过和分别作，， ，， ， ， ， 则，即， ， ， ， ， 二面角的余弦值为， 故答案为：. 四．解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分） 15. （1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程. （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出直线方程，再利用待定系数法求出直线方程. （3）根据给定条件，利用直线方程的截距式，再利用待定系数法求出直线的横纵截距，进而求出直线的斜率. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，又该直线过点， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）设与直线平行的直线方程为， 又该直线过点，则，解得， 所以所求直线方程为. （3）显然直线不过原点，设其方程为，则， 整理得，即，因此，解得， 而直线，即，其斜率为， 所以所求直线的斜率为或. 16. 已知一条动直线， （1）求直线恒过的定点的坐标； （2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围； （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【小问1详解】 由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 【小问2详解】 由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得； 综上所述： 【小问3详解】 设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点． （1）求证:平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，由三棱柱性质可得平面平面， 又平面，故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助线面平行的性质定理推导即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式可得，即可得其所成角的余弦值； （3）利用空间向量夹角公式可确定点位置，再结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，而， 故两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 连接，则， 由，故， 故直线与直线所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，，则， 设平面的法向量为， 有，令，则，， 即， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由平面，平面，平面， 得，， 与底面所成角为 ． 所以三角形 为等腰直角三角形， ． 又由四边形是直角梯形，，可知， 所以为等腰直角三角形，而，故． 在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形， 可知 ． 所以 ，在等腰直角三角形 中，． 则有，所以． 又因为，，平面 ，平面． 所以平面．因为平面 ，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. （3）设，，进而表示出，，由题意列出关于的方程组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，． 设平面 的法向量为，，， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 而,所以点P到平面的距离为． 【小问3详解】 设，注意到， 所以， 所以， 设，注意到， 所以， 因为，，所以， 若平面， 则当且仅当，即当且仅当， 此时， 综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于知道若平面，则当且仅当，从而只需引入两个参数，分别表示出，由此即可顺利得解. 19. 如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在中，，，， 由余弦定理得， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴． ∵，、平面， ∴平面． 又平面， ∴平面平面． （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得，，得到线面垂直，证明出面面垂直； （2）由余弦定理得到，由等体积法求出点到平面的距离，求出直线与平面所成角的正弦值； （3），得到，线面平行，得到平面平面，又平面，故得到线面平行，故线段上存在点，使得平面且． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 由题意得，，，， ∴， ∴，， 由可得， ，解得， 设直线与平面所成角为，又因为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在线段上存在点，使得平面且, 证明如下：是边长为3的等边三角形，且， 故，为等边三角形， 在平面内，， ∴， 又平面，平面， ∴平面； 在平面内，，， ∴． 又平面，平面， ∴平面， 又， ∴平面平面，又平面， ∴平面． ∴在线段上存在点，使得平面且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学月考试卷2024.11.3 一．单选题（5分×8=40分） 1. 已知是关于x的方程的一个根，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则= A. B. C. D. 4. 已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 二．多选题（6分×3=18分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 经过点，的直线方程均可用表示 D. 直线和都经过点，则过两点，的直线方程为 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 三．填空题（5分×3=15分） 12. 已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为________． 13. 过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为________. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 四．解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分） 15. （1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程. （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率. 16. 已知一条动直线， （1）求直线恒过的定点的坐标； （2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围； （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点． （1）求证:平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 19. 如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $