精品解析： 内蒙古自治区包头市青山区内蒙古北方重工业集团有限公司第四中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

内蒙古自治区包头市青山区内蒙古北方重工业集团有限公司第四中学 2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】±±3． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个． 2. 如图所示，三个正方形中有两个的面积分别为，则等于（　　） A. 9 B. 15 C. 81 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．由图形中的直角三角形及正方形的面积公式列出关系式，将已知面积代入即可求出所求的面积． 【详解】解：根据图形及勾股定理得：， ， ． 故选：C． 3. 下列实数：（每相邻两个1之间依次增加一个0，中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数：每相邻两个1之间依次增加一个0），中，无理数有每相邻两个1之间依次增加一个0，，共4个． 故选：D． 4. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与2 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值的定义，化简各选项的值，从而做出判断． 【详解】解：A、化简结果是与2，互为相反数，符合题意； B、化简结果是与，不互为相反数，不符合题意； C、的相反数应该是2，不互为相反数，不符合题意； D、化简结果2与2，不互为相反数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的定义，熟练掌握算术平方根，立方根，绝对值的定义是解题的关键． 5. 已知：在中，、、分别是、，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A中、，， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； B中、，， ， 故不是直角三角形， 故选项符合题意； C中、，，， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； D中、， 设，，， ， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； 故选：B． 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据37的取值范围即可求出的取值范围,从而得出结论． 【详解】∵＜＜， ∴6＜＜7， ∴的值应在6和7之间． 故选：B． 【点睛】此题考查的是求算术平方根的取值范围,掌握利用被开方数的取值范围,计算算术平方根的取值范围是解决此题的关键． 7. 如图，数轴上点表示实数是为原点，，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，利用勾股定理求得的长是解题的关键．首先由勾股定理求得的长，然后根据以及点在数轴上的位置即可知道点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：． ， 点A表示的数为． 故选：C． 8. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 9. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练的证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的∠BAC＝90°，正方形ABED的面积是9，正方形ACHI的面积是16，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形AOLP是矩形． ∵∠CBF＝90°， ∴∠ABC＋∠OBF＝90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴∠OBF＝∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC＝OB， 同理可得△ACB≌△PGC（AAS）， ∴PC＝AB， ∴OA＝AP， ∴矩形AOLP是正方形， ∵正方形ABED的面积是9，正方形ACHI的面积是16， ∴， ∴AO＝AB＋AC＝3＋4＝7， ∴KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11， ∴矩形KLMJ的面积为10×11＝110． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个比小的无理数：______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】无理数有三种形式：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③含有π的数. 【详解】∵16<33， ∴， ∴, 故答案为：(答案不唯一) 12. 已知一个正数的平方根是和，则__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的平方根有两个且互为相反数，所以，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：5． 13. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 15. 如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键．将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ， 故答案为：． 16. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ， ， 大正方形的面积． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1 （2） （3） （4）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解； （2）根据二次根式的乘除混合运算求解； （3）先算乘法，再算减法； （4）先根据乘法分配律和零指数次幂，再算加法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为得出方程求解即可． 【详解】解：设需要的地板砖的边长是，根据题意可得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：需要的地板砖的边长是． 19. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 20. 如图所示的一块地，，，，，．求这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， 故这块地的面积是． 21. 将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解本题的关键．先根据题意求出求出，由勾股定理可得出，设，根据勾股定理得出，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：矩形， ， 由折叠可得， ， ， 在Rt中，根据勾股定理得：， 设，则有， 在Rt中，根据勾股定理得：， 解得：， ． 22. 观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： （1）______； （2）______；（为正整数） （3）题：计算______． 题：利用上面所揭示的规律计算： ． 【答案】（1） （2） （3）A：1；B： 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化，进行计算即可解答； （3）题：利用积的乘方和平方差公式进行计算即可解答； 题：先利用上面的规律化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：题： ， 故答案为：； 题： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，数字类的变化规律探究，准确熟练地进行计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区包头市青山区内蒙古北方重工业集团有限公司第四中学 2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. D. － 2. 如图所示，三个正方形中有两个的面积分别为，则等于（　　） A. 9 B. 15 C. 81 D. 12 3. 下列实数：（每相邻两个1之间依次增加一个0，中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与2 5. 已知：在中，、、分别是、，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 如图，数轴上点表示实数是为原点，，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的实数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的∠BAC＝90°，正方形ABED的面积是9，正方形ACHI的面积是16，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个比小的无理数：______． 12. 已知一个正数的平方根是和，则__． 13. 已知，则的值为__________． 14. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 15. 如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为___________． 16. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为___________． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 19. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 20. 如图所示的一块地，，，，，．求这块地的面积． 21. 将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处，若，求的长． 22. 观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： （1）______； （2）______；（为正整数） （3）题：计算______． 题：利用上面所揭示的规律计算： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $