精品解析：江苏省徐州市沛县第五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 数学试题 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， ， 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三点可以作一个圆 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系及三角形的外接圆与外心知识进行解答. 【详解】解：A．经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误； B．三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误； C．等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确； D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系及三角形的外接圆与外心，难度不大． 3. 一元二次方程配方后化为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 5. 坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向右平移5个单位 C. 向下平移5个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点，二次函数的平移问题． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，求解即可． 【详解】解：∵二次函数为， 当函数向下平移5个单位时，函数解析式变为：， 此时与x轴有两个交点分别为：与，相距2个单位， ∴当函数向下平移5个单位时，能够满足题意； 故选：C． 6. 如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作半径于E，如图，利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可． 【详解】解：过点作半径于E， m， 在中，， ． 答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 7. 已知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离，然后再利用d与r的大小关系进行判断；在直线与圆的问题中,充分利用构造的直角三角形来解决问题，直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交. 【详解】∵的解为x=4或x=-1， ∴r=4， ∵4＜6，即r＜d， ∴直线和⊙O的位置关系是相离. 故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式，掌握直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键. 8. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①根据图示知，抛物线开口方向向下，则． 对称轴，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ． 故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， 故②正确； ③，即时，，对称轴为直线， 当时， 故③不正确； ④顶点坐标为，则抛物线的对称轴直线， ， ． 故④正确； 根据图象，抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间， ∴当时，则，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，设是一元二次方程的两个根，则，． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：12． 10. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即无解． 由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 11. 抛物线先沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移；根据“左加右减、上加下减”的规律，进行解答即可． 【详解】抛物线先沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零有两个不相等实数根，即可解出答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等实数根 ∴ 解得 故答案：且． 【点睛】本题主要考查了根判别式知识点，准确记住判别式的公式是解题关键． 13. 抛物线顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为． 14. 如图，四点都在上，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，利用圆的内接四边形对角互补计算即可，熟练掌握内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵、、、四点都在上，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：32 16. 如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【答案】57 【解析】 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 三、解答题（本大题共10题，共92分） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用因式分解法法求解即可． 熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 ∵, ∴， ∴， 解得． 18. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 19. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设年买书资金平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 20. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D点．求线段BC和AD的长度． 【答案】BC=8cm，AD=cm 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∠ACD＝∠BCD再利用勾股定理计算出BC，AD的长即可 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC8（cm）， ∵∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵∠ADB＝90°， ∴AD2+BD2＝AD2， ∴AD2+AD2＝102，AD＝5cm； 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 21. 已知二次函数抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像； （2）根据图像，直接写出： ①当函数值时，自变量的取值范围； ②当时，函数值的取值范围． 【答案】（1），见解析 （2）①② 【解析】 【分析】(1)把坐标代入解析式转化方程组计算即可． (2) ①计算抛物线与轴的交点坐标，根据题意计算即可． ②利用数形结合思想计算即可．熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵二次函数抛物线经过，． ∴ 解得， 故抛物线的解析式为．画图像如下： ． 【小问2详解】 ①根据题意，得， 解得， 当函数值时，自变量的取值范围是． ②∵， ∴对称轴为直线， ∴在自变量范围内， ∴函数值的最大值为； ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，函数值最小，， 故函数值的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法，函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，AC平分∠DAE． (1)DE与⊙O有何位置关系？请说明理由． (2)若AB＝6，CD＝4，求CE的长． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2）CE=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用切线的判定解答即可； （2）过C作CF⊥OD于F，根据勾股定理和等面积公式解答即可． 【详解】（1）相切 理由：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠EAB， ∴∠EAC=∠OAC， 则∠OCA=∠EAC， ∴OC∥AE， ∵AE⊥DE， ∴OC⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）过C作CF⊥OD于F， ∵AB是⊙O的直径， ∴CO=AB=3， ∴在△COD中，OC⊥DE，CD=4， 代入OD2=OC2+CD2得OD=5 由等面积求得CF= ∵CF⊥OD，AE⊥DE，AC平分∠EAB， ∴CE=CF=． 【点睛】考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 23. 某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个．设销售价为元/个． （1）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润（元）与销售价（元/个）之间的函数关系式； （2）当取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当时，利润最大为320元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的销售利润问题，求二次函数的最值，解题的关键是理解题意． （1）根据销售利润单个的利润销售量，列出函数解析式即可； （2）运用二次函数的性质解决问题，由题意可知所以时，w最大为320． 【小问1详解】 解： 即； 【小问2详解】 解： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时， 随增大而增大， ∴当时，， 答：当时，利润最大为320元． 24. 【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 （1）请就图①中为何最长进行证明． （2）已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． （3）如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． （4）如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2或6 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （4）取点，连接，并延长交于点，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【小问1详解】 解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． 【小问2详解】 （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为6； 综上所述，的半径为2或6． 故答案为：2或6． 【小问3详解】 连接，交于点D，由（1）可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【小问4详解】 取点，连接，并延长交于点， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质，直线外一点到圆的距离等，掌握题意中的模型是解题的关键． 25. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ （4）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）根据列出二次函数解析式求解即可； （4）过作轴交直线于，求出，知，可求出，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得或，解出的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； 【小问3详解】 解： ∵ ∴当时，， 此时 【小问4详解】 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试 数学试题 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三点可以作一个圆 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 3. 一元二次方程配方后化为（　　） A B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向右平移5个单位 C. 向下平移5个单位 D. 向下平移2个单位 6. 如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知⊙半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 8. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 10. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 11. 抛物线先沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应函数表达式是________． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 抛物线顶点坐标是__________． 14. 如图，四点都在上，若，则_____________． 15. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则___________． 16. 如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 三、解答题（本大题共10题，共92分） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 19. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 20. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D点．求线段BC和AD的长度． 21. 已知二次函数抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像； （2）根据图像，直接写出： ①当函数值时，自变量的取值范围； ②当时，函数值的取值范围． 22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，AC平分∠DAE． (1)DE与⊙O有何位置关系？请说明理由． (2)若AB＝6，CD＝4，求CE长． 23. 某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个．设销售价为元/个． （1）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润（元）与销售价（元/个）之间的函数关系式； （2）当取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 （1）请就图①中为何最长进行证明． （2）已知点到圆上点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． （3）如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． （4）如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 25. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ （4）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$