精品解析：广东省广州市艺术中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广州市艺术中学 高一年级2024学年第一学期数学期中考试 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、学号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂好6位学号的考号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 5．本次考试不允许使用函数计算器． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“，使得”的否定为（ ） A. B. ，使得 C. D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义即可得解. 【详解】命题“，使得”的否定为. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求得. 【详解】由可得，，解得，，故, 因，故. 故选：B. 3. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】由得不到，如，故充分性不成立， 反之，由可以得到，故必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选:C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及当时函数值的正负即可判断. 【详解】因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C； 又时，，排除选项D，故选项B正确. 故选：B. 5. 已知不等式的解集是或，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集确定不等式的形式为一元二次不等式，再利用根与系数关系求解. 【详解】根据不等式解集可确定，不等式为一元二次不等式，且， 令，方程两根，， 根据根与系数关系有，， 则有解得，所以. 故选：A 6. 函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可. 【详解】自变量可取或内的任意值，∴定义域为或. 函数值范围为或，即，∴值域为. 故选：C. 7. 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的单调性，变换得到，解不等式即可. 【详解】偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减， ，即，故，解得. 故选：A. 8. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件得到，从而得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 当且仅当，且，即时取等号， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案. 【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项. 函数，均为偶函数. 又二次函数在上为增函数. ，当时，函数可化为，在上为增函数. 故选项B，D满足条件. 故选：BD 10. 下列命题中真命题的有（ ） A. 若a，b，，且，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式性质以及基本不等式取等的条件以及举反例即可得. 【详解】对于选项A，则，因此不等式两边同时除以，即可得，因此选项A正确； 对于选项B，，当且仅当时，等号成立，但此时无解，因此最小值不为2，所以选项B错误； 对于选项C，，而，，因此选项C正确； 对于选项D，当时，，因此选项D错误. 故选：AC 11. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数． B. “”的充分不必要条件是“”． C. 已知，，则的取值范围是． D. 在上的最小值为1． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数定义域及解析式判断A，应用充分不必要定义判断B，应用不等式的性质判断C，化简函数，再根据计算的范围即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为， 且， 所以两个函数的定义域相同，解析式也相同， 即表示同一个函数，故A正确； 对于B，满足的数不一定满足， 满足的数一定满足，故B错误. 对于C，因为， 又，则， 所以，即， 所以的取值范围是，故C正确； 对于D，因为， 又因为， 所以，即， 所以，即， 所以， 故， 所以函数的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，先求出 ，再计算 . 【详解】 ，又 ； 故答案为：9. 13. 已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 14. 若关于的不等式对恒成立，则实数的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分离参数可得在恒成立，结合基本不等式即可得到结果. 【详解】要使不等式对恒成立，即在恒成立， 因为，当且仅当时，即时取等号， 所以，即实数的范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求实数的值； （2）画出函数的图象并求出函数在区间上的值域． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）讨论a的取值，结合解析式可得答案； （2）由解析式可得函数图像，即可得值域. 【小问1详解】 当，； 当，. 综上：或 【小问2详解】 由题可得图象如下： 则在区间上的值域为. 16. 已知集合，． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． （1）当时，求； （2）若__________，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 无论条件①还是②都有或；若条件③成立，则或. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合，由交集、补集的概念即可得解； （2）由题意条件①与②都等价于是的子集，条件③等价于是的补集的子集，只需分集合是否是空集，列不等式进行讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，，． 所以，所以或； 【小问2详解】 若①成立，则当且仅当是的子集，若②成立，则当且仅当是的子集， 所以条件①与②等价， 若条件①或②成立， 此时若是空集，则，解得， 若不是空集，即，且是的子集，则，解得， 所以， 从而无论条件①还是②都有或； 若条件③成立， 若是空集，则，解得， 若不是空集，即，且是的补集的子集，而或， 则或，解得或， 所以或， 从而若条件③成立，则或， 综上所述，无论条件①还是②都有或；若条件③成立，则或. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值 （2）用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） 设， ， ， 由， ， 故， 所以在上单调递减， 此时. 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）利用单调性定义求解. 【小问1详解】 解：由， 可得， 此时，符合题意； 【小问2详解】 略 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，有． （1）求的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若，解不等式． 【答案】（1）0； （2）增函数，证明如下： 任取，，且， 则， ∵，∴， ∴，即， 所以在上是增函数． （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可求得的值； （2）利用单调性的定义进行证明，任取，，且则，再结合当时，有，可得，从而可证得结论； （3）由，可求得，从而原不等式可化为，再利用单调性可得，从而可求出结果. 【小问1详解】 令，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， ∴， 由，得， 所以 ， 所以原不等式的解集为. 【点睛】此题考查抽象函数单调性的判断，考查利用单调性解不等式，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市艺术中学 高一年级2024学年第一学期数学期中考试 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、学号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂好6位学号的考号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 5．本次考试不允许使用函数计算器． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“，使得”的否定为（ ） A. B. ，使得 C. D. ，使得 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知不等式的解集是或，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 6. 函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中真命题的有（ ） A. 若a，b，，且，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数． B. “”的充分不必要条件是“”． C. 已知，，则的取值范围是． D. 在上的最小值为1． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则________． 13. 已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则______． 14. 若关于的不等式对恒成立，则实数的范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求实数的值； （2）画出函数的图象并求出函数在区间上的值域． 16. 已知集合，． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． （1）当时，求； （2）若__________，求实数的取值范围． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值 （2）用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值． 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，有． （1）求的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若，解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $