吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

白城市实验高级中学2024-2025学年度高二上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法中正确的是(　　) A. 已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B. 已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C. 平面到两点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D. 平面到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 2. 若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　) A. B. 1 C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过P(12，－6)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是(　　) A. 2x＋3y－6＝0 B. 2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0 C. x＋y－6＝0 D. 3x＋2y－12＝0或4x＋3y－30＝0 5. 若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　) A. 2 B. C. D. 6. 若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（    ） A. 183 B. 182 C. 181 D. 180 7. 设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A. 2 B. C. D. 3 8. （2023·天津市河北区期中）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则(　　) A. 曲线－＝1是黄金双曲线 B. 如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，那么b2＝ac(c为半焦距) C. 如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线 10. (多选)过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程是(　　) A. －y2＝1 B. x2－＝1 C. －x2＝1 D. y2－＝1 11. (2023·江西省赣西外国语学校期中)已知过点的直线与椭圆交于A、两点，则弦长可能是(　　) A. 1　 B. 　 C. 　 D. 3 12. 已知直线和圆，则(　　) A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. (2023·山东省滨州市惠民县期中)已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 14. 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________. 15. 已知A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点，这三点________(填“是”或“否”)在同一直线上． 16. (2023·江西省宜春市丰城市东煌学校期中)已知直线的倾斜角，直线与的交点为A，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程. 18. 如图所示，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，E，F，G分别是BC，PC，CD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAE； (2)在线段BG上是否存在点H，使得FH∥平面PAE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 19. 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 20. 若a∈N，又三点，，共线，求的值． 21. 已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 22. 如图，在正方体 中，M，N分别为棱 和 的中点，求CM和 所成角的余弦值. 参考答案 1. 【答案】C 【解析】|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2，所以A错误；平面内到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的点不存在，所以B错误；点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则所求动点的轨迹是椭圆，所以C正确；平面内到点F1，F2距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误． 2. 【答案】D 【解析】∵a2＋b2＝2c2，∴圆心到直线的距离d＝＝＝ .设弦长为l，则l＝2＝. 3. 【答案】A 【解析】直线和平行，则， 等价于，即， 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 【答案】B 【解析】设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为b＋1，直线方程为＋＝1，∵P(12，－6)在直线上，∴＋＝1⇒b＝3或b＝2，则直线方程为2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0．故选B． 5. 【答案】A 【解析】由题意得，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心(2,0)到渐近线的距离为d＝＝＝，化简得3a2＝b2，结合b2＝c2－a2得双曲线的离心率为2. 6. 【答案】A 【解析】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得. 故选:A. 7. 【答案】A 【解析】联立 得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解， ∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离． 又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1， 而d1＋1为点P到准线x＝－1的距离， 故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离， 从而d1＋1＋d2的最小值为F到直线3x＋4y＋12＝0的距离， 即＝3， 故d1＋d2的最小值为2. 8. 【答案】A 【解析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 9. 【答案】BD 【解析】对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1， 所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠＝，故A错误； 对于B，若双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，则e＝＝， 由c2＝a2＋b2， 所以b2＝－a2＝a2＝ac，故B正确； 对于C，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x， 则F(c，0)到该渐近线的距离d＝＝b， 而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误； 对于D，当x＝c时，y2＝b2＝， 令M，N， 则＝，＝， 所以·＝c2－＝0，则b2＝ac， 由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确. 10. 【答案】AC 【解析】∵＝，∴b2＝2a2， 当焦点在x轴上时， 设－＝1，将点(1,1)代入，得a2＝， 此时双曲线的标准方程为－y2＝1， 同理，当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－x2＝1. 11. 【答案】BC 【解析】当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：， 联立方程组消去，并整理得，易得， 设，，则，， ， ， 当斜率不存在时，故． 故选:BC． 12. 【答案】BCD 【解析】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 13. 【答案】4 【解析】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在，使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 14. 【答案】60° 【解析】由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0， 两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝ |b|2， 代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝60°. 15. 【答案】是 【解析】由题意可知直线AB的斜率kAB＝＝2， 直线BC的斜率kBC＝＝2. 因为kAB＝kBC， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点B， 所以A，B，C三点在同一直线上． 16. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为， 所以，，故． 故答案为：. 17. 【答案】解　解方程组得 所以直线l1与l相交，且交点为E(3，－2)， 故点E也在直线l2上. 在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A(2，0)， 设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)， 于是有解得 即点B的坐标为. 故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0. 18. 【答案】(1)证明　因为四棱锥P－ABCD的底面是正方形，且PA⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所以直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，因为E，F，G分别是BC，PC，CD的中点，所以E(2,1,0)，F(1,1,1)，G(1,2,0)，所以 ＝(－1,2,0)， ＝(0,0,2)， ＝(2,1,0)，所以 · ＝0，且 · ＝0.所以BG⊥AP，BG⊥AE，且AE∩AP＝A，AE，AP⊂平面PAE，所以BG⊥平面PAE. (2)解　假设在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE.设 ＝λ (0≤λ≤1)，由(1)得 ＝(2,0,0)， ＝(1,1,1)，则 ＝ ＋ ＝ － ＋λ ＝(1－λ，2λ－1，－1)．因为FH∥平面PAE，BG⊥平面PAE，所以 · ＝(－1)·(1－λ)＋2(2λ－1)＋0×(－1)＝5λ－3＝0，解得λ＝ .所以，在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE.其中 ＝ . 19. 【答案】解 　圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径长为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意可得解得所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 20. 【答案】解　∵A、、三点共线，∴直线、的斜率相等， ∴， 解之得：． 21. 【答案】解　(1)将圆C的方程化标准方程为x2＋(y－1)2＝5， 所以圆心为C(0，1)，半径r＝. 圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离D＝＝<1<， 因此直线l与圆C相交. (2)设圆心C到直线l的距离为D， 则D＝＝. 又D＝，则＝，解得m＝±1， 所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 22. 【答案】解：设正方体的棱长为a，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则C(0，a，0) a) 所以 所以 所以 所以CM与 所成角的余弦值为 试卷第3页 共10页 ◎ 试卷第4页 共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$