精品解析：天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高一上学期第一次质量检测数学试题

天津市第一中学滨海学校2024级高一数学学科 第一次质量检测试卷 本训练分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟． 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式的解集非空，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且满足，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 5. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 满足的集合的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 9. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 11. 已知，，且，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 12. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 函数的定义域为______． 14. 设，，若，则实数的值为_________． 15. 若，则的最小值为________. 16. 已知全集，集合与集合的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______． 17. 已知且，则的取值范围是______． 18. 已知集合，．若，则实数的取值范围是______． 19. 若两个正数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 20. 设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是______． 三．解答题（本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知非空集合，． （1）若，求； （2）若“”的充分条件是“”，求实数的取值范围． 22. 设命题，不等式恒成立：命题． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 23. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集． 24. 设二次函数. （1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2024级高一数学学科 第一次质量检测试卷 本训练分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟． 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 已知不等式的解集非空，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式、函数、方程的关系计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故选：B 4. 若，且满足，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确. 【详解】选项：若，，则，可知错误； 选项：若，，则，可知错误； 选项： 又 ，可知正确； 选项：当时，，可知错误. 本题正确选项： 【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题. 5. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据全集和补集的概念可直接得结果. 【详解】因为，，所以或. 故选：B 6. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可． 【详解】根据题意，，故，则， 则,0,,,，由集合的互异性知且， 故,0,,,，则，即或（舍， 当，时，,0,,,，符合题意， 所以． 故选：A． 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式中“常数”代换，即可求得. 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号. 故选：. 8. 满足的集合的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集、子集的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以， 所以集合是集合与集合的子集的并集所得， 集合的子集共有个，所以集合有个. 故选：D 9. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不等式解集表示出，然后将转化为，由此列出不等式完成求解. 【详解】由解得或，所以或， 由解得，所以， 又因为，所以， 所以，所以，即的取值范围是， 故选：A. 10. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 11. 已知，，且，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 12. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 【详解】不等式化为， 当时，不等式无解， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 故选：. 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解． 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，解得，即， 所以的定义域为， 故答案为：. 14. 设，，若，则实数的值为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据，对集合进行分类讨论，即可求得的值. 【详解】因为，则， 因为， 当时，则，满足， 当时，则，因为,所以或，则或， 综上，或或. 故答案为：或或. 15. 若，则的最小值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据基本不等式直接求最值. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：6 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 16. 已知全集，集合与集合的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由图形可以看出，阴影部分所示的集合是，故先化简两个集合，即可求解. 【详解】由题意， 故，集合有3个元素， 故答案为：3 17. 已知且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出，结合不等式性质可求结论. 【详解】设，则， 所以， 故，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 18. 已知集合，．若，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由，有或，解不等式可得． 【详解】显然集合非空，要使， 应有或，解得或， 故答案为：或 19. 若两个正数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件适当变形，再结合均值不等式求出的最小值，只需，解出实数的范围即可. 【详解】解：因为为正数且满足， 所以， 所以 当且仅当，即时等号成立. 因为不等式恒成立， 所以只需，即， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 20. 设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，由条件可得，，，由此证明为奇数且，证明时，都最小，由此可得结论. 【详解】不妨设，则， 因为，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以， ， ， 因为为正整数，， 所以，，都为奇数，， 故为大于等于的奇数， 又当时，函数，，都随的增大而增大， 所以当时，同时取最小值，此时取最小值， 当时，，，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在与通过假设，由此求出的表达式，结合整除知识，证明为大于等于的奇数. 三．解答题（本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知非空集合，． （1）若，求； （2）若“”的充分条件是“”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 时，，或， 因为，所以. 【小问2详解】 若“”的充分条件是“”，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 22. 设命题，不等式恒成立：命题． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. （2）根据真假或假真，列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立. 当时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. 【小问2详解】 由得， 所以，解得. 若真假，则“”且“或”，则. 若假真，则“或”且“”，则. 综上所述，的取值范围是或. 23. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可； （2）当时，不等式等价于，从而分类讨论即可求出不等式所对应的解集． 【小问1详解】 若关于的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式， 解得或， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 若，则， 1）当时，由解得； 2）当时，方程的两根为， 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得或； 当时，，解不等式得或； 当时，由得． 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 24. 设二次函数. （1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； 【小问2详解】 存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $