精品解析：湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

长郡梅溪湖中学高二年级2023-2024-2期中检测试题卷 数学 满分：150分 时量：120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求对数型函数的定义域，然后求交集即可. 【详解】， 又， 所以. 故选：A. 2. “”是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要分件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解决，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 因为“”是“或”充分不必要条件， 所以“”是“”充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数定义域的求解，二次根式与对数函数的性质，掌握函数有意义的条件是解题的关键． 要使函数有意义，需满足根号内非负，对数真数大于0，分母不为0，列不等式组求解． 【详解】解：要使函数有意义，需满足： 解得： ∴． ∴函数的定义域为． 故选：B． 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性分别判断出的范围，然后可得到结果. 【详解】由对数函数单调性可知：， 由指数函数单调性可知：， 由幂函数单调性可知：， 所以， 故选：D. 6. 设是定义域为的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的周期性可得（3），，结合（2）分析可得（2）（5），进而可得（1）和（1）（4），；结合奇偶性与周期性可得，进而可得，综合可得答案． 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，则， 又由是周期为3的周期函数，则（3），， 又由（2），则（2）（5）， 又由函数为奇函数，则（1）， 则有（1）（4），， 又由函数是以3为周期的奇函数，故有且， 则有， 则有， 综合可得：方程在区间内解至少有：，，，，，0，1，2，3，4，5，，，，，共15个； 故选． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析，属于基础题． 7. 已知函数是奇函数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，利用基本不等式求最值即可. 【详解】令，得，故函数的定义域为． 因为是奇函数，则其定义域关于原点对称， 可得，即， 此时，可得， 可得是奇函数，即符合题意； 故， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为， 故选：C． 8. 定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 函数是周期函数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故为奇函数， 若为偶函数，则，与条件不符，故A错误； 对B：由，则， 又，即， 即，又定义在上， 故为奇函数，故B正确； 对C：由，，， 所以，则， 所以，， 所以，所以， 则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确； 对D：由是周期函数的周期函数， 由，令，则，即， 令，则，即， 由，， 则，则关于对称，则关于对称， 又为奇函数，即关于中心对称， 故关于对称，则， 则，故D正确. 故选：A. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是. B. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是. C. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是. D. 若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用真数恒大于0求出范围判断A；举例说明判断B；利用对数型复合函数单调性求出范围判断C；利用零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，由函数的定义域是，得，恒成立， 则，解得，A正确； 对于B，当时，函数的真数能取尽一切正数，即此函数值域是，B错误； 对于C，由且知，函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，即，又，因此，C正确； 对于D，在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有， 由函数零点存在性定理得，函数在内有零点，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则满足的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，由已知条件可得，解此不等式即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以对任意的，， 则， 所以函数的图象关于直线对称， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 即，平方得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由换底公式将化简，由函数的单调性建立不等式并求解即可. 【详解】， 因为在上单调递减，而在上单调递增， 所以，又， 或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，由等差数列的前n项和公式求得公差，即得通项公式；由作差法得数列为等比数列，由等比数列的通项公式求解. （2）由（1）求出，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到所求和． 【小问1详解】 由，得，即，解得，则， 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式为； 由，得当时，，两式相减得，即， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）及，得， 令数列的前n项和为， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）时，在上单调递增； 时，在、上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）结合二次函数的性质，对分类讨论计算即可得. 【小问1详解】 当时，， ， 所求切线方程为，整理得：； 【小问2详解】 ， 因为，故时，在上单调递增， 当时，对于， 若，则，此时在上单调递增， 若，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上所述：时，在上单调递增； 时，在、上单调递增，在上单调递减. 18. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 （1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解； （2）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，结合全概率公式，即可求解； （ii）根据题意，利用条件概率的计算公式和贝叶斯公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关 此时， 所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. 【小问2详解】 解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球， 则, 所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率： . （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 甲球员打中锋的概率为. 19. 已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求三棱锥的体积， ②若，异面直线和所成角的余弦值； ③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②；③存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义求得，结合离心率求得，再求出后即得椭圆标准方程； （2）①求得点坐标，确定折叠后新坐标，然后由体积公式计算体积；②建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角；③建立解析中所示空间直角坐标系，设折叠前，，折叠后A，B在新图形中对应点记为，，，由三角形周长求得，设方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，，用坐标表示变形后代入，求出值，从而可得结论． 【小问1详解】 由椭圆的定义知：，， 所以的周长，所以， 又椭圆离心率为，所以，所以，， 由题意，椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①由直线l：与， 由得或， 所以（因为点A在x轴上方）以及， ，， ②O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ，，，， ，． 记异面直线和所成角为，则； ③设折叠前，，折叠后A，B在新图形中对应点记为，，， 折叠前周长是8，则折叠后周长是， 由，，故， 设方程为， 由，得， ，， 在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）； ，， 所以，（ⅰ） 又， 所以，（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）可得， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡梅溪湖中学高二年级2023-2024-2期中检测试题卷 数学 满分：150分 时量：120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要分件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义域为的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 9 7. 已知函数是奇函数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 8. 定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 函数是周期函数 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是. B. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是. C. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是. D. 若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值是__________. 13. 已知函数，则满足的的取值范围是______. 14. 已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 18. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 （1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求三棱锥的体积， ②若，异面直线和所成角的余弦值； ③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $