精品解析：辽宁省抚顺市2024-2025学年八年级上学期数学期中检测卷

2024-2025辽宁省抚顺市八年级（上）十月学情调查 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】解析：解：根据三角形的三边关系，得 A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，不能组成三角形，故此选项错误； C、，能够组成三角形，故此选项正确； D、，不能组成三角形，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 在中，，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解： 在中，，， ， 的形状是直角三角形， 故选：B． 4. 如图，在中，，，平分 ，则的度数是（ ）． A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可求，再根据角平分线的定义可求，最后再次由三角形内角和定理即可求出． 【详解】∵，， ∴． ∵平分 ， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，角平分线的定义．熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5. 正多边形的一个外角等于，这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为360°，而正多边形的每一个外角都相等，于是360°÷外角度数即得正多边形的边数． 【详解】360°÷45°=8 故正多边形的边数为8 故选：B． 【点睛】本题考查多边形外角和定理，关键是掌握这一定理． 6. 如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ，根据即可证明． B、∵，，，根据即可证明． C、∵，∴，∵，，根据 即可证明． D、∵，，，不能判定． 故选：D． 7. 如图，点， ， ， 在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据全等三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质，即可求解． 【详解】解： ， ， ，点， ， ， 在同一条直线上， ， 故选：A． 8. 如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 8 B. C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到 ，，的距离相等，则、、面积的比实际为 ，，三边的比． 【详解】 点是三条角平分线的交点， 点到 ，的距离相等， 、面积的比：： ． 的面积为 ， 的面积为 ． 故选：D． 9. 如图， 是的边 上一点，交于点 ，，，若，，则 的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用证明和全等，进而得出，即可求出 的长． 【详解】解： ， ． ，， （）． ． 又， ， 故选：C． 10. 如图，已知点 ， ，分别在的三边上，将沿 ，翻折，顶点 ， 均落在内的点处，且与 重合于线段，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，关键是通过折叠的性质得到相等的线段和角，利用三角形外角性质将、转化为与、相关的角，再结合折叠推出的，求出与的和，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接、，由折叠的性质得， ，， ， ， ，即， 根据三角形内角和定理，得； 又由折叠的性质得，， ，， ，同理， ， ， ， ， ； 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，，则的度数为 _____． 【答案】 ##30度 【解析】 【分析】根据垂线定义得出，根据直角三角形两锐角互余，结合，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂线定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用分类讨论思想成为解题的关键． 分腰长为4和9两种情况，分别运用三角形三边关系判定能否组成三角形，再求出周长即可解答． 【详解】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，由，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立； ②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，由，能构成三角形，则其周长． 故答案为：22． 14. 如图，中， ， ， ，分别为边， ， 上的点，，．若，则______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由 ，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，于点 ，以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线分别交， 于点 ，，，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形的内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．由可得 ，进而得到，由作图可知，平分 ，得到，推出，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 由作图可知，平分 ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）在中，，求的度数； （2）如图，在中，，是的角平分线，交 的延长线于点E，求的度数． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的角平分线； （1）根据三角形内角和列方程求解即可； （2）根据三角形内角和求出 和，再根据角平分线求出，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， ， ，； （2）在中，，， ∴， ∵ ∴， ∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 的度数为． 17. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 18. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸 、 两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸 、 两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点 所在河岸同侧的平地上取点 和点 ，使得点 、 、 在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点 ，使得； 测得 的长度为米． 请你根据以上方案求出 、 两点间的距离 ． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出米． 【详解】解：，， ， ∵ ， 在与中， ， ， 又， 米． 19. 如图，中，，点 在 边上，连接． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：在下方作，交 的延长线于点 ； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作一个角等于已知角，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）以点 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交 、、于点、、 ，再以点 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接，交 的延长线于点 ，即可求解； （2）由角的和差以及三角形的外角性质可得：，，结合，，即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 证明：，， ， ， 又， ． 20. 如图，在中，，点 在 边上，于点 ，点在边上，，，连接． （1）求证：平分 ； （2）若，，求线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，进而根据角平分线的判定定理，即可得证； （2）证明，可得，进而根据已知条件可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分 ； 【小问2详解】 解：在 与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． （1）如图1，是“友好三角形”， ，与互为“友好角”，且，于点 ．请说明、都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”， ，求的度数； （3）如图2，在中，，， 是边上一点（不与点 ， 重合），连接，若 是“友好三角形”，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为或 （3）的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理求出，，再利用“友好三角形”的定义解答即可； （2）根据“友好三角形”的定义分为和两种情况讨论，根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意推出，根据“友好三角形”的定义分为六种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，即可求解． 【小问1详解】 证明： 是“友好三角形”， 与互为“友好角”，， ， ， ， ， ，， 于 ， ， 在中，， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 在中，， ， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 和都是“友好三角形”； 【小问2详解】 是“友好三角形”， ， 与(或)互为“友好角”， 若，则， ， ， ， ， 若，则， ， ； 综上所述，的度数为或； 【小问3详解】 点 在边上，不与点 ， 重合， ， ， ， 是“友好三角形”， ①当时， ， ， ； ②当时，（不合题意舍去）， ③当时，， （不合题意舍去）； ④当时，，（不合题意舍去）； ⑤当时，，，符合题意， ； ⑥当时，， ， （不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 22. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，点D在 边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； （2）如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． （3）如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接 并延长交于点G，求的度数． 【答案】（1）和，30； （2）①，证明见解析；②； （3）①，，证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定义与外角的性质，得到，，证明，得到，，进而得到，推出，即可得到答案； （2）①证明，得到，即可得到答案； ②根据全等三角形的性质，得到，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，从而得出，即可求出的度数． （3）①证明，得到，，进而推出，即可得到答案； ②过点 作于点，于点，证明，得到，推出平分，从而得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， 在 和 中， ， ， ，， ， ， ， ， 图中与线段相等的线段是和，， 故答案为：和，30； 【小问2详解】 解：①，证明如下： ， ，即， 在 和 中， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：①，，证明如下： ， ，即， 在 和 中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图，过点 作于点，于点, ， ， ， 在和中， , ， ， ，， 平分， 由①可知，， ， ． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过 作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段， 之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点 ，使，射线，点 在线段 上，点在射线 上，连接 ，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点 、使，射线，点 在线段的延长线上，点在射线 上，连接 ，，且，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①选择小明同学的解题思路：过 作，交的延长线于，结合，可得是等腰直角三角形，推出，证明可得，，最后根据线段的和差即可证明；②选择小涛同学的解题思路：在上截取，连接，可得为等腰直角三角形，推出，证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （2）过 作于 ，则，证明可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （3）过 作于 ，则，证明，得到，再证明，可得，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过 作，交的延长线于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； ②选择小涛同学的解题思路， 证明：如图2，在上截取，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ； （2）证明：如图3，过 作于 ，则， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ； （3）如下图，过 作于 ，则， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025辽宁省抚顺市八年级（上）十月学情调查 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在中，，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 4. 如图，在中，，，平分 ，则的度数是（ ）． A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 5. 正多边形的一个外角等于，这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点， ， ， 在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 8 B. C. 6 D. 5 9. 如图， 是的边 上一点，交于点 ，，，若，，则 的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，已知点 ， ，分别在的三边上，将沿 ，翻折，顶点 ， 均落在内的点 处，且与 重合于线段，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，，则的度数为 _____． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为______． 14. 如图，中， ， ， ，分别为边， ， 上的点，，．若，则______． 15. 如图，在中，，于点 ，以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线分别交， 于点 ，，，则______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）在中，，求的度数； （2）如图，在中，，是的角平分线，交 的延长线于点E，求的度数． 17. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸 、 两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸 、 两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点 所在河岸同侧的平地上取点 和点 ，使得点 、 、 在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点 ，使得； 测得 的长度为米． 请你根据以上方案求出 、 两点间的距离 ． 19. 如图，中，，点 在 边上，连接． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：在下方作，交 的延长线于点 ； （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 如图，在中，，点 在 边上，于点 ，点在边上，，，连接． （1）求证：平分 ； （2）若，，求线段 的长． 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． （1）如图1，是“友好三角形”， ，与互为“友好角”，且，于点 ．请说明、都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”， ，求的度数； （3）如图2，在中，，， 是边上一点（不与点 ， 重合），连接，若 是“友好三角形”，直接写出的度数． 22. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，点D在 边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； （2）如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． （3）如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接 并延长交于点G，求的度数． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过 作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段， 之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点 ，使，射线，点 在线段 上，点在射线 上，连接 ，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点 、使，射线，点 在线段的延长线上，点在射线 上，连接 ，，且，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $