精品解析：甘肃省漳定西市县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范国：必修第一册第1~3章. 一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集个数的计算公式，计算出集合的子集个数. 【详解】因为集合，所以集合的子集个数为个. 故选：D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题可得答案； 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得为. 故选：B. 3. 命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性的定义，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 因为，所以， 因为p是真命题， 所以， 故选：C 4. 关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（ ） A. 或2 B. 1或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况解不等式，再结合已知求解即可. 【详解】因为， 所以，当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 所以实数的值等于. 故选：D. 5. “”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断. 【详解】时，恒成立，故C错误； 且时，，当且仅当时取等， 故在有最大值2，故B、D错误； 故选：A. 7. 函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合奇偶性，单调性利用单调性的逆用解抽象函数不等式. 【详解】因为任意都有 所以函数在上单调增， 又为偶函数，， 所以，解得， 解集为. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得函数的周期性、对称性，然后逐一分析即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，故，， 又因为是偶函数，则， ， 所以，， 所以，即函数的周期为8， 由可得， 由可得， 对于①，，正确； 对于②，，正确； 对于③，，正确； 对于④，，正确； 故选：D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数，从而得解. 【详解】对于选项A，因为，， 所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同， 所以是同一个函数，故A正确； 对于选项B，因为，两个函数的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，因为的定义域为， 的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，因为， 所以两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC选项；利用作差法判断D选项. 【详解】对A，若，，则，故A错； 对B，当时，，但是当时，不一定大于，例如时，，所以是的充分不必要条件，故B正确； 对C，当时，，所以不是的充要条件，故C错； 对D，，因为，，所以，，即，即，故D正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，则的最小值是2 D. 若，则的最小值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由结合基本不等式求最值判断A；由，令则原式等价于结合基本不等式求最值判断B；由结合基本不等式求最值判断C；由题设，再应用“1”的代换求的最值，即可判断D；注意最值取值条件. 【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A正确； 由，则，且， 令，则，， 所以原式为，当且仅当，即时等号成立，B正确； 由且，则，故，当且仅当时等号成立， 所以的最小值是4，C错误； 由题设，而， 又，当且仅当时等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，.则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，从而得到，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 显然，所以，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 13. 已知，则使成立的x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组或，即得解. 【详解】解：∵，∴或， ∴或，即， ∴使成立的x的取值范围是． 故答案为： 14. 设函数是定义在上的奇函数且，对任意的，都有成立．若对任意的都有恒成立，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意判断出在上单调递减，根据对任意的都有恒成立，可列式对任意的恒成立，根据临界条件求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以当且时，有等价于， 所以在上单调递减． 所以． 因为对任意的都有恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 设，则，解得 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）代入求出集合，求出即得解； （2）由题意可得集合是集合的真子集，列不等式组解不等式组即得解. 【小问1详解】 当时，， ， ，. 【小问2详解】 由是成立的充分不必要条件，则⫋， ，则 等号不能同时取得，解得（时不符合），无解， 即实数的取值范围是 16. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）判断在上的单调性． 【答案】（1） （2）既不是奇函数也不是偶函数，理由： ∵函数的定义域为关于原点对称， ，同时， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）单调递增函数 【解析】 【分析】（1）根据分母不等于零得到的定义域； （2）根据奇偶性的定义判断即可； （3）根据单调性的定义判断单调性即可. 【小问1详解】 函数的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 任取，且， 则， 由于，，且，∴，， 所以，故在上单调递增. 17. 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【小问1详解】 对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 【小问2详解】 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米800元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两侧墙长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）4米； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可. （2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解. 【小问1详解】 因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米， 则屋子的前面墙的长度为米，设甲工程队报价为元， 因此（元）， 显然， 当且仅当，即时取等号， 所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元. 【小问2详解】 依题意，对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 显然， 当且仅当，即时取等号，于是，又，则， 所以当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功. 19. 定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立. (1)求的值； (2)证明:函数是上的递增函数； (3)求实数的取值范围. 【答案】（1）4，8 （2）因为 任取 因为当时， 所以 所以， 所以函数是上的递增函数， （3） 【解析】 【分析】1）用赋值法令求解. （2）利用单调性的定义证明，任取，由 ，则有，再由条件当时，得到结论. （3）先利用将转化为，再将恒成立，利用函数是上的递增函数，转化为恒成立求解. 【详解】（1）令 所以 所以 （2）略 （3）因为 又因为恒成立 且函数是上的递增函数， 所以，(其中)恒成立 所以若对一切(其中)，恒成立. 当 ，即时 所以，解得； 当时，，，解得； 当， 所以且 解得 综上：实数的取值范围 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范国：必修第一册第1~3章. 一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（ ） A. 或2 B. 1或 C. D. 5. “”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若，，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，则的最小值是2 D. 若，则的最小值是4 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，.则实数_______. 13. 已知，则使成立的x的取值范围是_____． 14. 设函数是定义在上的奇函数且，对任意的，都有成立．若对任意的都有恒成立，则实数t的取值范围是______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）判断在上的单调性． 17. 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米800元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两侧墙长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 19. 定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立. (1)求的值； (2)证明:函数是上的递增函数； (3)求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $