2.2.2双曲线的简单的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.2.2 直双曲线的简单几何性质 高中数学 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 1.理解并掌握双曲线范围、对称性和顶点的几何性质. 2.能利用双曲线的简单性质求标准方程. @demon 和盘托出 知识点1：双曲线的范围 问题1：如何用方程(代数方法)研究曲线 中x的范围？ ∴x≤-a或x≥a，且y∈R. 因此，双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域. 范围： x≤-a或x≥a，且y∈R. -a a F1 F2 x O y @demon 三学理解 知识点2：双曲线的对称性 问题2：请观察双曲线方程 图象说明双曲线的对称性. F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) P1 P2 P3 双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心. @demon 三学理解 知识点3：双曲线的顶点 在 中，令y=0，得x=±a， 双曲线和x轴有两个交点 双曲线的顶点 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. A1 A2 B1 B2 x O y 实轴 虚轴 F1 F2 @demon 三学理解 知识点4：双曲线的离心率 我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示. ∵c＞a＞0， 问题1： 决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大，你知道这是为什么吗？ ∴ 越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. @demon 三学理解 知识点5：双曲线的渐近线 由双曲线的对称性可知，焦点在x轴的双曲线的两支在向外无限延伸时与直线 和 无限逼近. 一般地，直线 和 称为双曲线 的渐近线. 一般地，直线 和 称为双曲线 的渐近线. @demon 三学理解 方程 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 离心率 渐近线 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b @demon 强化记忆 例1:求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线. 解：将x2-4y2=1化为标准方程 ∴实半轴长a=1，虚半轴长b= ，半焦距 ∴焦点坐标为 中心坐标为 顶点坐标为 实轴长为2，虚轴长为1. @demon 应用练习 例2:求双曲线9x2-16y2=-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线. 解：把双曲线的方程9x2-16y2=-144化为标准方程 ∴实轴长2a=6，虚轴长2b=8； 焦点坐标为(0，-5)，(0，5)； 顶点坐标为(0，-3)，(0，3)； 渐近线方程： 如图，首先画出x=±4，y=±3，作出矩形； 然后作出矩形的对角线，得到渐近线 最后以渐近线为参照画出双曲线. x y O A1 A2 B2 B1 @demon 应用练习 例3:已知双曲线顶点间距离是16，离心率 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标. 解：可设双曲线方程为 ∵2a=16，即a=8， ∴双曲线的方程为 渐近线方程 焦点坐标为F1(-10，0)，F2(10，0). @demon 应用练习 归纳总结 由双曲线的方程求几何性质的步骤 化标准 对于非标准形式的双曲线方程要先化成标准形式 定位置 根据方程确定焦点在x轴上还是在y轴上 写出a2,b2的值，由a2+b2=c2得出c2的值 求参数 根据上面所求a,b,c,由焦点所在的坐标轴得出所求的几何性质 写性质 @demon 应用练习 练一练 1.求双曲线9y2-4x2＝-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：把双曲线的方程9y2-4x2＝-36化为标准方程 ∴实轴长2a=6，虚轴长2b=4； 焦点坐标为 离心率为 顶点坐标为(-3，0)，(3，0)； 渐近线方程为 @demon 检测总结 练一练 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)渐近线方程为y=±2x，实轴长为2且焦点在x轴上； (2)顶点为(0,-6)，(0,6)，渐近线方程为 ； (3)渐近线方程为 ，且经过点 . @demon 检测总结 0号作业：牢记强化记忆部分 1号作业：课本P67 练习2、3 2号作业：课本P68 A组1、3、4 作业布置 $$