1.2.3直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 1.2.2 直线与圆的位置关系 高中数学 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 1. 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系； 2. 能运用直线与圆的位置关系，求解圆的弦长与切线方程. @demon 和盘托出 知识点：直线与圆的位置关系的判断 在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离. A B O l A O l O l 思考：如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？ @demon 三学理解 直线与圆的位置关系可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来决定，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来决定. 一般地，已知直线l：Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2，则圆心C(a,b)到直线l的距离 (A,B不全为0). 当d<r时，直线l与圆C相交；当d=r时，直线l与圆C相切；当d>r时，直线l与圆C相离. @demon 三学理解 此外，也可以由方程组 解的情况来判断直线l和圆C的位置关系： 当方程组有两组不同的实数解时，直线l与圆C相交； 当方程组只有一组实数解(两组相等的实数解)时，直线l与圆C相切； 当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离. @demon 三学理解 例1:已知直线l:2x+y-3=0,圆M：(x-a)2+y2=5.(1)指出圆心M的位置特征； (2)求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离. 解：(1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点. (2)根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为 当d< ，即-1<a<4时，直线l与圆M相交(如图)； 当d= ，即a=-1或a=4时，直线l与圆M相切； 当d> ，即a＜-1或a>4时，直线l与圆M相离. @demon 三学理解 例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程. 解法1:当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，代入圆C的方程，得(y-3)2=4， 此方程有两个不相等的实数根，即直线l与圆C相交，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，得到方程组 ① ② 将②代入①消去y并整理，得(k2+1)x2-2(3k+1)x+5=0.③ @demon 三学理解 例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程. 将②代入①消去y并整理，得(k2+1)x2-2(3k+1)x+5=0.③ 由直线与圆相切可得方程③有两个相等的实数根， 解得k=-2或 因此所求切线l的方程为y=-2x或y= x. @demon 三学理解 例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程. 解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆心C(1,3)到直线l的距离为1≠ ，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0, 由相切条件可得 解得k=-2或 因此所求切线l的方程为y=-2x或y= x. 思考：如何求过一点P的圆的切线方程？ @demon 三学理解 例3:已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0. (1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明. 解：(1)将圆的方程化为标准方程，得(x-1)2+(y-1)2=2，即圆P是以点(1,1)为圆心， 为半径的圆(如图). @demon 三学理解 例3:已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0. (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明. 解：(2)因为圆心P到直线m的距离 所以直线m与圆P相交. 设交点为A,B，圆P的半径为r，易知△PAB是等腰三角形， 腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA=PB=r= ，底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d. 所以由勾股定理，得|AB|= 故直线m被圆P截得的弦长为2. @demon 三学理解 判定直线与圆的位置关系的方法有两种： (1)根据性质, 由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断 (几何法) (2)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断(代数法) 联立方程组 ，消元得到一个一元二次方程. @demon 强化记忆 求过一点P的圆的切线方程步骤： 先判断点P与圆的位置关系 若点P在圆上，切线有一条 若点P在圆外，切线有两条 ①点P在圆上时: 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y0或 x=x0. 特别注意: 切线的斜率不存在的情况，不要漏解. ②点P在圆外时: (1)几何法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程. (2)代数法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ=0求出k，可得切线方程. @demon 强化记忆 直线与圆相交时弦长的求法： 几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边. 由垂径定理，得 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧. O A d r B y x @demon 强化记忆 练一练 (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为________ 相交 1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________ 相切 (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________ 相离 @demon 应用练习 练一练 2. 已知直线l: y=x+1 和圆O: x2+y2=4 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值. 解：设圆心O(0,0)到直线的距离为d，则 故弦长|AB|的值为 . @demon 应用练习 √ √ @demon 检测总结 由题意知点P在圆上且P为切点. @demon 检测总结 3.直线y＝－2x＋5被圆O：x2＋y2＝10截得的弦AB的长为________. @demon 检测总结 0号作业：背诵记忆本节的强化记忆内容 1号作业：课本P35 1、2 2号作业：课本P36 练习1、2 3号作业：课本P36 联系3 作业布置 由条件可知，直线l的斜率存在.设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线与圆相切知＝1，解得k＝0或k＝.故直线l的倾斜角为0°或60°. 1.(多选)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角可以是 A.0° B.30° C.45° D.60° x－y＋2＝0 ∵点P与圆心(2，0)连线的斜率为＝－， ∴切线的斜率为，∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 2.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________________. O点到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝，又∵r2＝10，∴＝10－5＝5，∴|AB|＝2. 2 $$