1.2.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 2.1 圆的标准方程 高中数学 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 1.根据圆的定义掌握圆的标准方程及其特点. 2.能准确判断点与圆的位置关系. 3.会求解简单的圆的标准方程的问题. @demon 和盘托出 回顾：1.确定一个圆的基本要素是什么？ 圆心、半径 2.圆的定义是什么？ 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆. 圆心 半径 说明：在几何学中，通常我们将满足某条件的点的集合也叫作满足某条件的点的轨迹. x y O @demon 三学理解 知识点1：圆的标准方程 思考：在平面直角坐标系中，如何把圆的问题转化为数和方程的问题，用代数运算来求解呢？ 设圆心C(a,b),半径为r.如图，下面求圆上任意一点的横、纵坐标满足的关系式. 设P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点，根据圆的定义，点P在圆C上的充要条件是：|PC|=r. P(x, y) C(a,b) x y O @demon 三学理解 也就是说，若点P在圆C上，则|PC|=r；反之，若点P满足|PC|=r，则点P在圆C上. 根据两点间距离公式,即 两边平方,得 ① 平面内圆C上的点P的坐标(x,y)满足方程①，反之，以满足方程①的(x,y)为坐标的点P一定在圆C上. P(x, y) C(a,b) x y O @demon 三学理解 概念讲解 圆的标准方程： ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2，圆心 A (a，b)，半径 r. (1)若点M (x,y)在圆A上，点M 的坐标就满足方程； (2)若点M坐标(x,y)满足方程，则点M与圆心A间的距离为r，故点M在圆A上. @demon 三学理解 知识点2：点与圆的位置关系 当点P不在圆C上时，一定有(x−a) 2 + (y−b) 2 ≠ r 2，此时，存在以下两种情况：(x−a) 2 + (y−b) 2 ＞ r 2或(x−a) 2 + (y−b) 2 ＜ r 2． 而点P不在圆C上时，也恰好有两种情况：点P在圆C内或点P在圆C外. @demon 三学理解 归纳总结 点P(x0,y0) 与圆 C：(x-a)2+(y-b)2 = r2 的位置关系： 位置关系 图示 距离判断 方程判断 点 P 在圆上 |PC| = r (x0－a)2 + (y0－b)2 = r2 点 P 在圆外 点 P 在圆内 O x y C r P O x y C P O x y C P |PC| > r (x0－a)2 + (y0－b)2 > r2 |PC| < r (x0－a)2 + (y0－b)2 < r2 @demon 三学理解 1、背诵记忆圆的标准方程 2、背诵记忆点与圆的位置关系，以及判断方法 @demon 强化记忆 例1:根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： (1)x2+(y-1)2=4； (2)(x-1)2+(y+1)2=2. 解：(1)根据圆的标准方程，可得该圆的圆心为(0,1)，半径为2. (2)将方程(x-1)2+(y+1)2=2化为(x-1)2+[y-(-1)]2=( )2， 根据圆的标准方程，可得该圆的圆心为(1,-1)，半径为 . @demon 应用练习 例2:已知两点A(1,2)和B(3,-2). (1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程； (2)求以AB为直径的圆的方程. 解：(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x-1)2+(y-2)2=r2. 由圆A经过点B(3,-2)，得(3-1)2+(-2-2)2=r2. 解得r2=20. 所以圆A的方程为(x-1)2+(y-2)2=20(如图). @demon 应用练习 例2:已知两点A(1,2)和B(3,-2). (2)求以AB为直径的圆的方程. (2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则(a,b)是圆心的坐标. 根据已知条件，得 将点B(3,-2)代入圆的方程(x-2)2+y2=r2， 解得r2=(3-2)2+(-2)2=5. 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5(如图). @demon 应用练习 例3:求圆心为 A (2,−3)，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M1 (5,−7)， M2 (−2,−1) 是否在这个圆上. 解：将圆心坐标和半径代入圆的标准方程得：( x − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25， 将点M1 (5,−7)，M2 (−2,−1) 分别代入方程 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 的左边， 得：(5 − 2) 2 + (−7 + 3) 2 = 25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程； (−2 − 2) 2 + (−1 + 3) 2 = 20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程； 综上，圆的标准方程为 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25；点M1在圆上，点M2不在圆上. @demon 应用练习 √ 2.已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是 A.(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B.(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C.(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D.(x－1)2＋(y＋3)2＝116 √ @demon 检测总结 √ 4.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为_____________________. @demon 检测总结 5.已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4.5 设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3， ∴a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. @demon 检测总结 0号作业：牢记圆的标出方程，以及点与圆的位置关系判定方法 1号作业：课本P30 1、4 2号作业：课本P30 3 3号作业：课本P31练习1 作业布置 1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为 A.(－1，5)， B.(1，－5)， C.(－1，5)，3 D.(1，－5)，3 3.圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为 A.－1或－3 B.－1或3 C.1或－3 D.1或3 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25 在Rt△AOC中，|OC|＝ ＝＝3. $$